Tallmengder og intervaller

Er $\sqrt{2}$ et tall? Kan $0{,}333\ldots$ skrives som en brøk? Tall kommer i ulike «familier», og matematikere har navn på hver av dem. Her lærer du å plassere et tall i riktig tallmengde, å skrive samlinger av tall som mengder i listeform, og å beskrive hele strekninger av tall som intervaller på tallinja. Intervallene bruker du når du skal skrive løsningen av en ulikhet, og tallmengdene dukker opp hver gang noen spør om en likning har løsning blant de rasjonale eller de reelle tallene.

Bygger på: Kvadratrøtter (8. trinn)

Start: Tallmengdene N, Z, Q og R →

Vanlige feil

Vanlig feil	Gjør heller dette
Tror at $\sqrt{16}$ er irrasjonalt fordi det har et rottegn.	$\sqrt{16} = 4$ er et helt tall, og dermed rasjonalt. Bare røtter av tall som ikke er kvadrattall, som $\sqrt{2}$ og $\sqrt{20}$ , er irrasjonale.
Tror at $3{,}14$ er det samme som $\pi$ .	$3{,}14$ er en avrunding og er rasjonalt ( $\frac{314}{100}$ ). $\pi$ har uendelig mange desimaler uten mønster og er irrasjonalt.
Skriver $[3, \infty]$ med hakeparentes ved uendelig.	Uendelig er ikke et tall og kan ikke være «med». Skriv alltid rund parentes ved $\infty$ : $[3, \infty)$ .
Bruker snitt ( $\cap$ ) når ulikheten sier «eller», for eksempel « $x < -1$ eller $x > 3$ ».	«Eller» betyr union ( $\cup$ ). Snittet $(-\infty, -1) \cap (3, \infty)$ er tomt, for ingen $x$ er både mindre enn $-1$ og større enn $3$ .

Til foreldre / leksehjelper

Kompetansemål fra læreplanen (Udir)

utforske strategier for å løse ligninger, ligningssystemer og ulikheter og argumentere for tenkemåtene sine (se hos Udir)
lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emner (se hos Udir)

Tallmengder står ikke som eget kompetansemål i 1T, men er forutsetningen for å følge to av dem: å skrive løsningen av ulikheter som intervaller, og å lese matematiske bevis der det står «for alle reelle tall» eller «tallet er irrasjonalt». Eleven skal kunne plassere et tall i riktig mengde, og lese og skrive intervaller uten å nøle.

Slik kan du hjelpe

Be eleven forklare HØYT hva «irrasjonalt» betyr med egne ord, og hvorfor $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som en brøk. Klarer eleven å si det, har begrepet satt seg.
Skriv et tall på et ark og spør: «Hvilke mengder hører det til?» Prøv $-3$ , $\frac{1}{2}$ , $\pi$ og $\sqrt{9}$ . Det er $\sqrt{9}$ som oftest overrasker.
Spør «er endepunktet med eller ikke?» hver gang eleven skriver et intervall, og be om å få høre hvorfor det ble hakeparentes eller rund parentes.

Nye begreper

Mengde: En samling av ting, kalt elementer, skrevet mellom krøllparenteser.
Intervall: Alle tall mellom to grenser. Hakeparentes betyr at grensen er med, rund parentes at den ikke er det.

Pedagogikken bak

I videregående blir tall systematisk sortert i mengder, fordi mange regler bare gjelder i en bestemt mengde. Likningen $x^2 = 2$ har for eksempel ingen løsning blant de rasjonale tallene, men har det blant de reelle. Står eleven fast på intervallskrivemåten, så gå tilbake til ulikhetstegnene: tegn først tallinja, merk av om endepunktene er med, og skriv intervallet til slutt. Står eleven fast på irrasjonale tall, start med at brøker gir desimaltall som enten stopper eller gjentar seg, og spør om eleven tror det finnes tall som ikke gjør noen av delene.

Alternative metoder

Læres dette annerledes i landet du selv gikk på skole i? Se «Alternativ forklaring/metode» på: Tallmengdene N, Z, Q og R.

Vanlige feil å være oppmerksom på

Se «Vanlige feil» over for en oversikt over misforståelser å se etter, og hva som er riktig i stedet.

Tallmengder og intervaller 🔢