NumiSum

Uavhengige og avhengige hendelser

To hendelser er UAVHENGIGE hvis utfallet av den ene IKKE påvirker sannsynligheten for den andre (f.eks. to terningkast). De er AVHENGIGE hvis den første hendelsen endrer sannsynligheten for den neste (f.eks. å trekke kort UTEN å legge tilbake). For uavhengige hendelser MULTIPLISERER du sannsynlighetene.

Uavhengige hendelser

P(A og B)=P(A)⋅P(B)P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)

Tips

  • Spør deg selv: «Endrer utfallet av den første hendelsen sjansene for den andre?» Svarer du ja, er hendelsene avhengige, og du må justere sannsynligheten for den andre hendelsen.
  • En terning eller mynt har ALDRI hukommelse, selv om du har fått mynt fem ganger på rad, er sannsynligheten for mynt neste kast fortsatt nøyaktig 12\frac{1}{2} (kalt «gamblerens feilslutning»).

Eksempel: Trekke to kuler uten tilbakelegging

En pose har 3 røde og 2 blå kuler. Du trekker to kuler ETTER HVERANDRE uten å legge tilbake. Hva er sannsynligheten for rød begge ganger?

Løsning:
  1. Posen har 3 røde og 2 blå kuler, altså 5 totalt
  2. første trekning: P(rød)=35P(\text{rød}) = \frac{3}{5}
  3. etter at én rød kule er tatt ut, er det 2 røde igjen av totalt 4 kuler
  4. andre trekning: P(rød)=24P(\text{rød}) = \frac{2}{4}
  5. siden hendelsene er avhengige, multipliserer vi: 35⋅24=620=310\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}
  6. svaret er P=310P = \frac{3}{10}.
Sannsynlighet endres etter første trekning
TrekningRøde igjenTotalt igjenP(rød)
1.3535\frac{3}{5}
2. (etter rød)2424\frac{2}{4}
Alternativ forklaring/metode: Tegn opp alle mulighetene i et tre

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Trediagram (sannsynlighetstre)

I stedet for å regne direkte, tegn et sannsynlighetstre med alle mulige utfall for hver trekning som grener, og skriv sannsynligheten på hver gren. Multipliser sannsynlighetene langs én «vei» gjennom treet for å finne sannsynligheten for akkurat den kombinasjonen av utfall.

Sannsynlighetstre for to trekninger
GrenP
1. rød35\frac{3}{5}
2. rød (etter 1. rød)24\frac{2}{4}

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Du kaster en mynt og en terning. Er utfallet av terningen avhengig av myntkastet?

Vis fasit
  1. Myntkastet påvirker ikke terningen på noen måte
  2. nei, hendelsene er uavhengige
Mynt og terning
HendelsePåvirker terningen?
Myntkastnei, uavhengige

L-22Du trekker to kort fra en kortstokk UTEN å legge det første tilbake. Er trekningene uavhengige eller avhengige?

Vis fasit
  1. Å ikke legge tilbake det første kortet endrer hvilke kort som er igjen
  2. avhengige hendelser
To kort uten tilbakelegging
TrekningKort igjen
1.52
2. (uten tilbakelegging)51, avhengige

L-23Du kaster en mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for mynt begge gangene?

Vis fasit
  1. To myntkast er uavhengige
  2. 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, altså 14\frac{1}{4}
Mynt begge ganger
KastP(mynt)
1.12\frac{1}{2}
2.12\frac{1}{2}
Begge14\frac{1}{4}
Middels(3)

M-21Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for å få 6 på begge?

Vis fasit
  1. P(6 på én terning) er 16\frac{1}{6}, og de to kastene er uavhengige
  2. 16⋅16=136\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}, altså 136\frac{1}{36}
6 på begge terningene
TerningP(6)
1.16\frac{1}{6}
2.16\frac{1}{6}
Begge136\frac{1}{36}

M-22En pose har 4 røde og 6 blå kuler. Du trekker to kuler ETTER HVERANDRE uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for blå begge ganger?

Vis fasit
  1. Første: 610\frac{6}{10}. Etter én blå ute, er det 5 blå av 9 igjen: 59\frac{5}{9}
  2. 610⋅59=3090=13\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}, altså 13\frac{1}{3}
Blå begge ganger, uten tilbakelegging
TrekningP(blå)
1.610\frac{6}{10}
2. (etter blå)59\frac{5}{9}
Begge13\frac{1}{3}

M-23En elev har fått kron fem ganger på rad. Hva er sannsynligheten for kron på neste kast?

Vis fasit
  1. Mynten har ingen hukommelse – tidligere kast påvirker ikke neste kast
  2. sannsynligheten er fortsatt 12\frac{1}{2}
Kron etter fem kron på rad
Tidligere utfallPåvirkning
5 kron på radingen
Neste kastfortsatt 12\frac{1}{2}
Vanskelig(3)

V-21En pose har 5 røde og 5 blå kuler. Du trekker tre kuler etter hverandre uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for rød alle tre gangene?

Vis fasit
  1. Første: 510\frac{5}{10}, andre (4 røde av 9): 49\frac{4}{9}, tredje (3 røde av 8): 38\frac{3}{8}
  2. 510⋅49⋅38=60720=112\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} = \frac{1}{12}, altså 112\frac{1}{12}
Rød alle tre gangene
TrekningP(rød)
1.510\frac{5}{10}
2.49\frac{4}{9}
3.38\frac{3}{8}
Alle tre112\frac{1}{12}

V-22To hendelser A og B har P(A)=0,4 og P(B)=0,5, og de er uavhengige. Hva er P(A og B)?

Vis fasit
  1. P(A)=0,4 og P(B)=0,5, og siden hendelsene er uavhengige multipliserer vi
  2. 0,4⋅0,5=0,20{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2
P(A og B) for uavhengige hendelser
HendelseP
A0,4
B0,5
A og B0,2

V-23Forklar hvorfor «gamblerens feilslutning» (troen på at et tilfeldig resultat er «forfalt» etter en serie) er feil, med utgangspunkt i uavhengighet.

Vis fasit
  1. Uavhengige hendelser påvirkes ikke av tidligere utfall, uansett hvor lang en «serie» har vært
  2. gamblerens feilslutning er feil fordi hendelsene er uavhengige
Gamblerens feilslutning
PåstandSannhet
Serie påvirker neste kastfeil
Hendelser er uavhengigesannsynligheten endres ikke