Uavhengige og avhengige hendelser

To hendelser er UAVHENGIGE hvis utfallet av den ene IKKE påvirker sannsynligheten for den andre (f.eks. to terningkast). De er AVHENGIGE hvis den første hendelsen endrer sannsynligheten for den neste (f.eks. å trekke kort UTEN å legge tilbake). For uavhengige hendelser MULTIPLISERER du sannsynlighetene.

Uavhengige hendelser

$P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)$

Tips

Spør deg selv: «Endrer utfallet av den første hendelsen sjansene for den andre?» Svarer du ja, er hendelsene avhengige, og du må justere sannsynligheten for den andre hendelsen.
En terning eller mynt har ALDRI hukommelse – selv om du har fått mynt fem ganger på rad, er sannsynligheten for mynt neste kast fortsatt nøyaktig $\frac{1}{2}$ (kalt «gamblerens feilslutning»).

Eksempel: Trekke to kuler uten tilbakelegging

En pose har 3 røde og 2 blå kuler. Du trekker to kuler ETTER HVERANDRE uten å legge tilbake. Hva er sannsynligheten for rød begge ganger?

Sannsynlighet endres etter første trekning
Trekning	Røde igjen	Totalt igjen	P(rød)
1.	3	5	$\frac{3}{5}$
2. (etter rød)	2	4	$\frac{2}{4}$

Løsning:

Posen har 3 røde og 2 blå kuler, altså 5 totalt
første trekning: $P(\text{rød}) = \frac{3}{5}$
etter at én rød kule er tatt ut, er det 2 røde igjen av totalt 4 kuler
andre trekning: $P(\text{rød}) = \frac{2}{4}$
siden hendelsene er avhengige, multipliserer vi: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
svaret er $P = \frac{3}{10}$ .

Alternativ forklaring/metode: Tegn opp alle mulighetene i et tre

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Trediagram (sannsynlighetstre)

I stedet for å regne direkte, tegn et sannsynlighetstre med alle mulige utfall for hver trekning som grener, og skriv sannsynligheten på hver gren. Multipliser sannsynlighetene langs én «vei» gjennom treet for å finne sannsynligheten for akkurat den kombinasjonen av utfall.

Sannsynlighetstre for to trekninger
Gren	P
1. rød	$\frac{3}{5}$
2. rød (etter 1. rød)	$\frac{2}{4}$

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Du kaster en mynt og en terning. Er utfallet av terningen avhengig av myntkastet?

Vis fasit

Mynt og terning
Hendelse	Påvirker terningen?
Myntkast	nei, uavhengige

Myntkastet påvirker ikke terningen på noen måte
nei, hendelsene er uavhengige

L-22Du trekker to kort fra en kortstokk UTEN å legge det første tilbake. Er trekningene uavhengige eller avhengige?

Vis fasit

To kort uten tilbakelegging
Trekning	Kort igjen
1.	52
2. (uten tilbakelegging)	51, avhengige

Å ikke legge tilbake det første kortet endrer hvilke kort som er igjen
avhengige hendelser

L-23Du kaster en mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for mynt begge gangene?

Vis fasit

Mynt begge ganger
Kast	P(mynt)
1.	$\frac{1}{2}$
2.	$\frac{1}{2}$
Begge	$\frac{1}{4}$

To myntkast er uavhengige
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , altså $\frac{1}{4}$

Middels(3)

M-21Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for å få 6 på begge?

Vis fasit

6 på begge terningene
Terning	P(6)
1.	$\frac{1}{6}$
2.	$\frac{1}{6}$
Begge	$\frac{1}{36}$

P(6 på én terning) er $\frac{1}{6}$ , og de to kastene er uavhengige
$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ , altså $\frac{1}{36}$

M-22En pose har 4 røde og 6 blå kuler. Du trekker to kuler ETTER HVERANDRE uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for blå begge ganger?

Vis fasit

Blå begge ganger, uten tilbakelegging
Trekning	P(blå)
1.	$\frac{6}{10}$
2. (etter blå)	$\frac{5}{9}$
Begge	$\frac{1}{3}$

Første: $\frac{6}{10}$ . Etter én blå ute, er det 5 blå av 9 igjen: $\frac{5}{9}$
$\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ , altså $\frac{1}{3}$

M-23En elev har fått kron fem ganger på rad. Hva er sannsynligheten for kron på neste kast?

Vis fasit

Kron etter fem kron på rad
Tidligere utfall	Påvirkning
5 kron på rad	ingen
Neste kast	fortsatt $\frac{1}{2}$

Mynten har ingen hukommelse – tidligere kast påvirker ikke neste kast
sannsynligheten er fortsatt $\frac{1}{2}$

Vanskelig(3)

V-21En pose har 5 røde og 5 blå kuler. Du trekker tre kuler etter hverandre uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for rød alle tre gangene?

Vis fasit

Rød alle tre gangene
Trekning	P(rød)
1.	$\frac{5}{10}$
2.	$\frac{4}{9}$
3.	$\frac{3}{8}$
Alle tre	$\frac{1}{12}$

Første: $\frac{5}{10}$ , andre (4 røde av 9): $\frac{4}{9}$ , tredje (3 røde av 8): $\frac{3}{8}$
$\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} = \frac{1}{12}$ , altså $\frac{1}{12}$

V-22To hendelser A og B har P(A)=0,4 og P(B)=0,5, og de er uavhengige. Hva er P(A og B)?

Vis fasit

P(A og B) for uavhengige hendelser
Hendelse	P
A	0,4
B	0,5
A og B	0,2

P(A)=0,4 og P(B)=0,5, og siden hendelsene er uavhengige multipliserer vi
$0,4 \cdot 0,5 = 0,2$

V-23Forklar hvorfor «gamblerens feilslutning» (troen på at et tilfeldig resultat er «forfalt» etter en serie) er feil, med utgangspunkt i uavhengighet.

Vis fasit

Gamblerens feilslutning
Påstand	Sannhet
Serie påvirker neste kast	feil
Hendelser er uavhengige	sannsynligheten endres ikke

Uavhengige hendelser påvirkes ikke av tidligere utfall, uansett hvor lang en «serie» har vært
gamblerens feilslutning er feil fordi hendelsene er uavhengige