Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2014, Del 1 – Oppgave 8

Uten hjelpemidler – 1.5 poeng

I en eske ligger det to grå kuler og tre røde kuler.

a) Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig én rød kule.
b) Du legger kulen tilbake i esken. Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig to røde kuler når den FØRSTE kulen ikke legges tilbake i esken før du trekker den andre kulen.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne sannsynligheten for å trekke én rød kule, og deretter sannsynligheten for å trekke to røde kuler etter hverandre uten tilbakelegging.

Strategi og formel: I a) bruker vi $P = \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ direkte. I b) er trekningene AVHENGIGE (ingen tilbakelegging mellom trekk 1 og 2), så vi må oppdatere både antall røde kuler OG totalt antall kuler etter første trekning, og MULTIPLISERE sannsynlighetene for de to trekningene.

Trinnvis utregning:

a) Totalt $2+3=5$ kuler, 3 røde
$P = \frac{3}{5}$
b) Første trekning: $P(\text{rød}) = \frac{3}{5}$
etter én rød kule tatt ut er det 2 røde igjen av 4 totalt
andre trekning: $P(\text{rød}) = \frac{2}{4}$
siden hendelsene er avhengige, multipliserer vi: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Svar: a) $\frac{3}{5}$ , b) $\frac{3}{10}$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1.5 poeng)

Poeng	Krav
1,5/1,5	Begge deloppgaver riktig løst: a) $\frac{3}{5}$ , b) $\frac{3}{10}$ , med vist mellomregning for begge.
1/1,5	Én av deloppgavene riktig løst, eller begge har riktig metode med en mindre regnefeil.
0/1,5	Ingen av deloppgavene riktig løst, eller ingen fremgangsmåte vist.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å bruke $\frac{3}{5}$ for BEGGE trekningene, som om kulen ble lagt tilbake: legg merke til at oppgaveteksten eksplisitt sier at bare kulen fra a) legges tilbake, ikke den første kulen i b).
Sjekk at eleven oppdaterer BÅDE telleren (2 røde igjen, ikke 3) OG nevneren (4 kuler igjen totalt, ikke 5) i andre trekning: en vanlig delvis-feil er å bare oppdatere den ene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2014, Del 1, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2023, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 2 poeng

Emira utforsker store talls lov ved å kaste terning med seks sider. Hun lager et dataprogram som kaster terning for henne. Nedenfor vises Emiras forslag til en kode til dataprogrammet:

«SETT antall_terningkast = et heltall som brukeren skriver inn. GJENTA antall_terningkast GANGER: SETT tall = et tilfeldig tall fra og med 1 til og med 6. LEGG tall TIL en liste. SKRIV listen til skjermen.»

a) Forklar hva som skjer når dataprogrammet blir kjørt.
b) Emira vil lage en tabell for å vise at det er like stor sannsynlighet for å få de ulike resultatene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvilken verdi for antall_terningkast vil du anbefale Emira å velge? Begrunn svaret ditt.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva programmet gjør, og anbefale (med begrunnelse) hvor mange terningkast Emira bør simulere for å vise at alle seks utfall er like sannsynlige.

Strategi og formel: I a) sporer vi pseudokoden steg for steg: en løkke som gjentar et valgt antall ganger, trekker ett tilfeldig tall fra 1 til 6 hver gang, og samler alle tallene i en liste som skrives ut til slutt. I b) bruker vi de store talls lov: jo FLERE simulerte kast, jo nærmere kommer den empiriske fordelingen (andelen av hvert tall i listen) den teoretiske sannsynligheten $\frac{1}{6}$ for hvert utfall: et lite antall kast kan gi en skjev fordeling helt tilfeldig.

Trinnvis utregning:

a) Programmet spør brukeren om et antall kast
gjentar deretter like mange ganger: trekker ett tilfeldig tall fra 1 til 6 og legger det til en liste
til slutt skrives hele listen med alle terningkastene ut
b) med FÅ kast (f.eks. 10) kan tallene tilfeldig bli skjevt fordelt, men med et STORT antall kast (f.eks. 10 000) jevner de tilfeldige avvikene seg ut, og andelen av hvert tall nærmer seg $\frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$

Svar: a) Programmet simulerer et valgt antall terningkast og skriver ut alle resultatene som en liste. b) Et stort antall kast (f.eks. minst 10 000), fordi store talls lov sier at fordelingen nærmer seg $\frac{1}{6}$ for hvert tall jo flere kast som simuleres.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	a) Korrekt forklaring av hele løkken (antall kast, tilfeldig trekning, lagring i liste, utskrift). b) Anbefaler et stort antall kast, med en begrunnelse som eksplisitt viser til store talls lov.
1/2	a) eller b) korrekt besvart, men ikke begge – f.eks. riktig sporing av koden uten en holdbar begrunnelse i b), eller omvendt.
0/2	Verken a) eller b) korrekt besvart.

Sensor-tips

I a) er det ikke nok å si «programmet kaster en terning»: full forklaring krever at eleven nevner ALLE de tre delene: brukervalgt antall kast, at hvert kast er tilfeldig og uavhengig, og at resultatene samles i en liste som skrives ut.
I b) er selve TALLET Emira velger (10 000, 1 000, 100 …) mindre viktig enn BEGRUNNELSEN: enhver anbefaling om «flere kast» med riktig henvisning til store talls lov bør telle, mens et lite tall (f.eks. 10) uten begrunnelse ikke bør gi poeng, selv om eleven skriver et stort tall uten å forklare hvorfor.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2023, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Norske biler har registreringsnummer som består av to bokstaver og fem siffer. Se eksempelet nedenfor. Det første av de fem sifrene kan ikke være 0.

Hvor mange norske biler kan ha registreringsnummer med bokstavene EK?

$0 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
$9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor mange registreringsnummer det finnes med bokstavene EK, når første siffer ikke kan være 0.

Strategi og formel: Bokstavene er gitt, så vi teller bare mulighetene for hvert av de fem sifrene og multipliserer dem (multiplikasjonsprinsippet).

Trinnvis utregning:

Første siffer kan være $1, 2, \ldots, 9$ , altså $9$ muligheter
hvert av de fire neste sifrene kan være $0, 1, \ldots, 9$ , altså $10$ muligheter hver
antall nummer: $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 90\ 000$

Svar: Riktig alternativ er $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$ , altså $90\ 000$ mulige registreringsnummer.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Velger $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$ .
0/1	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

Alternativet $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$ gjelder når sifrene IKKE kan gjentas. Her kan samme siffer brukes flere ganger, så det er 10 muligheter for hvert av de fire siste.
Alternativet med $0 \cdot 10 \cdot \ldots$ tar med 0 som antall muligheter for første siffer, og det er feil: da ville svaret blitt 0.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2019, Del 1, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Thea, Eva, Anne og Caroline skal løpe hver sin del av en stafett.

Hvor mange ulike rekkefølger kan de stille seg opp i?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne antall mulige rekkefølger for fire personer.

Strategi og formel: Første løper kan velges på 4 måter, andre på 3, tredje på 2 og siste på 1. Vi multipliserer mulighetene.

Trinnvis utregning:

Første løper: $4$ valg
andre løper: $3$ valg
tredje løper: $2$ valg
siste løper: $1$ valg
antall rekkefølger: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Svar: Riktig alternativ er 24.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Velger 24.
0/1	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

16 og 256 kommer av $4 \cdot 4$ og $4^4$ . Da har en glemt at en løper ikke kan løpe to etapper: antall valg går ned for hver løper som er plassert.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2018, Del 1, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 4 poeng

Basketballsko og basketballtrøye:

Vare	Pris
Basketballsko	899 kroner
Basketballtrøye	298 kroner

a) Michael skal kjøpe et par basketballsko og en basketballtrøye. Han får 20 % rabatt.

Hvor mye må Michael betale til sammen for et par basketballsko og en basketballtrøye?
b) Sannsynligheten for at Adam skårer på et straffekast i basketball, er 0,90.

Bestem sannsynligheten for at Adam skårer på to straffekast etter hverandre.
c) En bestemt basketball har en omkrets på 74,5 cm.

Vis at volumet av denne basketballen er ca. 7 L.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisen etter rabatt, sannsynligheten for to treff på rad, og vise at volumet av basketballen er omtrent 7 liter.

Strategi og formel: I a) legger vi sammen prisene og bruker vekstfaktor 0,80. I b) multipliserer vi sannsynlighetene fordi kastene er uavhengige. I c) finner vi radius fra omkretsen, og bruker volumformelen for en kule.

Trinnvis utregning:

a) samlet pris: $899 + 298 = 1\ 197$ kroner
20 % rabatt gir vekstfaktor $0{,}80$ : $1\ 197 \cdot 0{,}80 = 957{,}60$ kroner
b) uavhengige kast: $0{,}90 \cdot 0{,}90 = 0{,}81$
c) $O = 2\pi r$ gir $r = \frac{74{,}5}{2\pi} \approx 11{,}86$ cm
volum: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 11{,}86^3 \approx 6\ 983$ cm³
$1$ L er $1\ 000$ cm³, så $V \approx 7{,}0$ L

Svar: a) Michael må betale $957{,}60$ kroner. b) Sannsynligheten er $0{,}81$ (81 %). c) Volumet er $6\ 983$ cm³, altså omtrent 7 L.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Alle tre deloppgavene riktige.
3/4	To deloppgaver helt riktige og en med riktig framgangsmåte.
1-2/4	En deloppgave riktig, eller riktige framgangsmåter.
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

I b) skal sannsynlighetene multipliseres, ikke legges sammen. $0{,}90 + 0{,}90 = 1{,}80$ er større enn 1, og en sannsynlighet kan aldri være større enn 1.
I c) må en finne radius først. Omkretsen er ikke radius, og volum regnes ut med radius opphøyd i tredje.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2018, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Leon og Magnus skal spille sjakk. Nedenfor ser du resultatstatistikken til Magnus fra tidligere partier mot Leon.

Tidligere resultater	Magnus
Seier	45 %
Remis (uavgjort)	35 %
Tap	20 %

a) Finn sannsynligheten for at Magnus ikke taper neste parti mot Leon.

Svar: _____________________

De bestemmer hvem som skal begynne, ved å trekke hver sin bonde før hvert parti. De legger én hvit og én svart bonde i en pose. Den som trekker den hvite bonden, starter.

b) De skal spille to partier. Hva er sannsynligheten for at Leon trekker den hvite bonden begge gangene?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne sannsynligheten for at Magnus ikke taper, og for at Leon trekker den hvite bonden to ganger på rad.

Strategi og formel: I a) legger vi sammen sannsynlighetene for seier og remis, eller trekker tap fra 100 %. I b) er hvert trekk 1 av 2 muligheter, og trekkene er uavhengige, så vi multipliserer.

Trinnvis utregning:

a) ikke tape betyr seier eller remis: $45\ \% + 35\ \% = 80\ \%$
eller $100\ \% - 20\ \% = 80\ \%$
b) i hvert parti er sannsynligheten for hvit bonde $\frac{1}{2}$
to partier etter hverandre: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 25\ \%$

Svar: a) Sannsynligheten er 80 % (0,80). b) Sannsynligheten er $\dfrac{1}{4}$ (25 %).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	a) 80 % og b) 1/4 med riktig framgangsmåte.
1/2	Én av delene riktig.
0/2	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

I b) trekkes bondene på nytt før hvert parti. Sannsynligheten for hvit bonde er derfor 1/2 begge ganger, og vi multipliserer: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .
Svaret $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ er galt, for det ville bety at det er sikkert at Leon trekker hvit begge ganger.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Vi har tre forskjellige mynter som hver viser mynt eller kron når vi kaster dem.

Vi kaster de tre myntene én gang.

Bestem sannsynligheten for at alle myntene viser mynt eller at alle myntene viser kron.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne sannsynligheten for at tre mynter alle viser mynt, eller alle viser kron.

Strategi og formel: Hver mynt viser mynt eller kron med sannsynlighet $\frac{1}{2}$ , uavhengig av de andre. Vi finner sannsynligheten for hvert av de to utfallene og legger dem sammen, siden de ikke kan skje samtidig.

Trinnvis utregning:

alle tre viser mynt: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
alle tre viser kron: $\frac{1}{8}$
utfallene kan ikke skje samtidig, så vi legger sammen: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
alternativt: det finnes $2^3 = 8$ like sannsynlige utfall, og 2 av dem er gunstige

Svar: Sannsynligheten er $\dfrac{1}{4}$ (25 %).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Svarer $\frac{1}{4}$ (eller $0{,}25$ / 25 %).
0/1	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

Svaret $\frac{1}{8}$ gjelder bare ETT av de to utfallene (bare mynt eller bare kron). Oppgaven spør om begge, så sannsynlighetene legges sammen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Vår 2015, Del 1 – Oppgave 9

Uten hjelpemidler – 1.5 poeng

Thomas har disse 4 filmene: Avatar, Hobbiten, Gravity og Hunger Games.

Thomas trekker tilfeldig én film.

a) Bestem sannsynligheten for at Thomas trekker Avatar.

Svar: ________________

Thomas trekker tilfeldig 2 av de 4 filmene og tar dem med til Markus. Markus sier: «Jeg så Gravity i går, så jeg håper du ikke tok med den filmen.»

b) Bestem sannsynligheten for at Thomas har tatt med Gravity.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne sannsynligheten for å trekke Avatar, og for at Gravity er blant de to trukne filmene.

Strategi og formel: I a) er det én gunstig film av fire. I b) kan vi telle alle mulige par, eller bruke at to av de fire filmene trekkes, så hver film har samme sjanse til å være med.

Trinnvis utregning:

a) 1 gunstig film av 4 mulige: $\frac{1}{4}$
b) mulige par av de fire filmene: Avatar–Hobbiten, Avatar–Gravity, Avatar–Hunger Games, Hobbiten–Gravity, Hobbiten–Hunger Games og Gravity–Hunger Games, altså $6$ par
par med Gravity: $3$
sannsynlighet: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
alternativt: to av fire filmer trekkes, så sjansen for hver enkelt film er $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Svar: a) Sannsynligheten er $\dfrac{1}{4}$ . b) Sannsynligheten for at Thomas har tatt med Gravity er $\dfrac{1}{2}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1.5 poeng)

Poeng	Krav
1,5/1,5	a) $\frac{1}{4}$ og b) $\frac{1}{2}$ med riktig framgangsmåte.
1/1,5	Én av delene riktig.
0/1,5	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

I b) trekkes to filmer, så sannsynligheten er ikke $\frac{1}{4}$ igjen. Tell hvor mange av de seks parene som inneholder Gravity.
Alternativ: sannsynligheten for at Gravity IKKE er med, er $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ , så sannsynligheten for at den er med er også $\frac{1}{2}$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2015, Del 1, Oppgave 9

Utdanningsdirektoratet

Vår 2014, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 3 poeng

Et svømmebasseng har 8 baner.

a) På hvor mange ulike måter kan 8 svømmere stille seg opp på de 8 banene?

Anne og Eva skal svømme 100 m og starter samtidig. Anne bruker 1 min 20 s. Eva bruker 1 min 40 s.

b) Med hvor mange meter vinner Anne?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne antall måter 8 svømmere kan stå opp på 8 baner, og hvor mange meter Anne vinner med.

Strategi og formel: I a) velger vi en svømmer for hver bane etter tur, så antall valg går ned for hver bane. I b) finner vi hvor langt Eva har kommet når Anne er i mål.

Trinnvis utregning:

a) bane 1: $8$ valg, bane 2: $7$ valg, og så videre
$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40\ 320$
b) Anne bruker $80$ s og Eva $100$ s
Evas fart: $100 : 100 = 1$ m/s
når Anne er i mål etter $80$ s, har Eva svømt $80$ m
Anne vinner med $100 - 80 = 20$ m

Svar: a) De kan stille seg opp på $40\ 320$ måter. b) Anne vinner med 20 meter.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) 40 320 og b) 20 meter.
2/3	a) riktig og b) delvis riktig (for eksempel riktig fart for Eva).
1/3	Én deloppgave delvis riktig.
0/3	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

I a) er svaret 8! (8 fakultet), ikke $8 \cdot 8$ . Hver gang en svømmer er plassert, finnes det en færre å velge mellom.
I b) er ikke svaret 20 s eller 20 %. Spørsmålet gjelder avstand: hvor langt Eva har kommet når Anne er i mål.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2014, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Høst 2013, Del 1 – Oppgave 9

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

PIN-koder på mobiltelefoner består av 4 sifre.

Hvert siffer kan være et tall fra og med 0 til og med 9.

Hvor mange ulike PIN-koder er det mulig å lage?

A) 10
B) 100
C) 10 000
D) 100 000

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor mange ulike firesifrede PIN-koder det finnes.

Strategi og formel: Hvert av de fire sifrene kan velges på 10 måter, uavhengig av de andre. Da multipliserer vi antall valg.

Trinnvis utregning:

antall valg for hvert siffer: $10$
fire siffer: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\ 000$

Svar: Det er $10\ 000$ ulike PIN-koder (alternativ C).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Alternativ C: 10 000.
0/1	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

Koden 0000 er også en gyldig PIN-kode, så vi regner med alle sifrene fra 0 til 9 på hver plass.
Alternativ A (10) er antall valg for ett siffer, ikke for hele koden.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Høst 2013, Del 1, Oppgave 9

Utdanningsdirektoratet

Vår 2010, Del 1 – Oppgave 14

Uten hjelpemidler – 1.5 poeng

Rulett er et sjansespill. Et amerikansk ruletthjul har 18 røde lommer, 19 svarte lommer og 1 grønn lomme.

Hjulet snurres rundt. En kule trilles rundt i motsatt retning og stopper i én av lommene.

a) Utfallsrommet har ________ utfall.
b) Hva er sannsynligheten for at kula stopper i en svart lomme?

Svar: _______________ (brøk) ______________ % (prosent)

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne antall mulige utfall og sannsynligheten for en svart lomme.

Strategi og formel: Antall utfall er antall lommer. Sannsynligheten er antall svarte lommer delt på antall lommer.

Trinnvis utregning:

a) $18 + 19 + 1 = 38$ lommer
38 utfall
b) gunstige: $19$
$P(\text{svart}) = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\ \%$

Svar: a) Utfallsrommet har $38$ utfall. b) Sannsynligheten er $\dfrac{1}{2}$ $50\ \%$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1.5 poeng)

Poeng	Krav
1,5/1,5	38 utfall og $\frac{19}{38} = \frac{1}{2} = 50\ \%$ .
1/1,5	38 utfall og riktig brøk, men prosenten mangler eller er feil.
0,5/1,5	Bare a) riktig.
0/1,5	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

Den grønne lommen hører også til utfallsrommet. Det er 38 lommer til sammen, ikke 37.
Brøken $\frac{19}{38}$ kan forkortes til $\frac{1}{2}$ , som er 50 %.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2010, Del 1, Oppgave 14

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 1 – Oppgave 28

En kode består av 4 sifre, f.eks. 1-3-6-4 og 0-3-3-7.

Hvor mange slike koder er det mulig å lage?

Svar: __________________________ koder.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor mange firesifrede koder det finnes.

Strategi og formel: Hvert av de fire sifrene kan velges på 10 måter, uavhengig av de andre. Da multipliserer vi antall valg.

Trinnvis utregning:

antall valg for hvert siffer: $10$ (sifrene 0 til 9)
fire siffer: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\ 000$

Svar: Det er $10\ 000$ mulige koder.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	10 000 koder.
Feil	Annet svar.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 1 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Kodene 0-0-0-0 og 0-0-0-1 er også gyldige koder. Det er derfor 10 000 koder, ikke 9 000.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 1, Oppgave 28

Utdanningsdirektoratet

Vår 2013, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 4 poeng

I butikken kan Live velge mellom 11 typer tannbørste, 10 typer tannkrem og 8 typer tanntråd.

a) På hvor mange ulike måter kan Live velge én type tannbørste, én type tannkrem og én type tanntråd?

Tannlegen anbefalte Live å kjøpe en bestemt type tannbørste og en bestemt type tanntråd som de har i butikken. Men Live har glemt hva tannlegen anbefalte, og velger tilfeldig én type tannbørste og én type tanntråd.

b) Bestem sannsynligheten for at dette er de typene som tannlegen anbefalte.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne antall kombinasjoner av tannbørste, tannkrem og tanntråd, og sannsynligheten for å treffe de anbefalte typene.

Strategi og formel: I a) multipliserer vi antall valg. I b) er det én gunstig kombinasjon av tannbørste og tanntråd, og vi regner ut sannsynligheten for hver og ganger.

Trinnvis utregning:

a) $11 \cdot 10 \cdot 8 = 880$ måter
b) sannsynligheten for å velge anbefalt tannbørste: $\frac{1}{11}$
sannsynligheten for å velge anbefalt tanntråd: $\frac{1}{8}$
begge deler: $\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{88} \approx 0{,}011$

Svar: a) Live kan velge på $880$ måter. b) Sannsynligheten er $\dfrac{1}{88}$ , altså ca. 1,1 %.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	a) 880 og b) $\frac{1}{88}$ med begrunnelse.
3/4	Små feil, for eksempel riktig metode i b) men regnefeil.
2/4	a) riktig og b) delvis riktig.
1/4	Bare a) riktig, eller bare riktig metode i b).
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Bildene av tannbørsten og tanntråden Live velger, er ikke nødvendige for å løse oppgaven. Hvilken børste og tråd hun velger, endrer ikke sannsynligheten.
I b) velger Live børste og tanntråd, ikke tannkrem. Derfor skal bare $\frac{1}{11}$ og $\frac{1}{8}$ ganges.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2013, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 9 poeng

Stortingssalen har 188 plasser. 169 av disse plassene tilhører representantene, resten av plassene tilhører Regjeringen.

a) Hvor mange plasser har Regjeringen?

For å endre Grunnloven må minst $\dfrac{2}{3}$ av alle de 169 representantene være til stede.

b) Hvor mange representanter må minst være til stede for å endre Grunnloven?

Plassene i Stortingssalen er inndelt i seksjoner fra A til U, og hver plass har et nummer. Figuren viser et utsnitt av salkartet med seksjonene A, B, C og L. Representantene fra Sogn og Fjordane sitter på disse plassene:

Plass	Representant	Parti
120	Reidar Sandal	Arbeiderpartiet (AP)
121	Erling Sande	Senterpartiet (SP)
122	Åge Starheim	Fremskrittspartiet (FRP)
123	Ingrid Heggø	Arbeiderpartiet (AP)
124	Gunvald Ludvigsen	Venstre (V)

c) Bruk kartet og finn ut hvilke seksjoner representantene fra Sogn og Fjordane sitter i.

Fire representanter fra Aust-Agder skal plasseres på fire plasser som er merket 1, 2, 3 og 4.

d) På hvor mange ulike måter kan de fire representantene fra Aust-Agder plasseres på disse fire plassene?

De 169 representantene sitter på plassene fra 1 til 169.

e) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt representant sitter i seksjon L? Oppgi svaret som brøk, desimaltall og prosent.

Figuren er gjenskapt av Numisum etter Udirs original.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut antall plasser, finne seksjoner på salkartet, telle ordninger og finne en sannsynlighet.

Strategi og formel: I a) trekker vi fra. I b) tar vi to tredeler og runder opp. I c) leser vi seksjonen på kartet. I d) bruker vi antall rekkefølger av fire. I e) teller vi plassene i seksjon L og deler på 169.

Trinnvis utregning:

a) $188 - 169 = 19$ plasser
b) $\frac{2}{3} \cdot 169 = 112{,}67$
må være minst $113$ representanter
c) plass 120 står i seksjon A, plass 121 og 122 i seksjon B, og plass 123 og 124 i seksjon C
d) $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ måter
e) seksjon L har plassene 147, 148, 98, 97 og 66, altså $5$ plasser
alle er under 169, så de er representanter
$P = \frac{5}{169} = 0{,}0296 = 3{,}0\ \%$

Svar: a) Regjeringen har $19$ plasser. b) Minst $113$ representanter. c) Seksjon A, B og C. d) $24$ måter. e) Sannsynligheten er $\dfrac{5}{169}$ $\approx$ $0{,}030$ $\approx$ $3{,}0\ \%$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 9 poeng)

Poeng	Krav
9/9	Alle delene riktige med utregning.
7/9	Fire deler riktige.
5/9	To til tre deler riktige.
3/9	Én til to deler riktige.
1/9	Delvis riktig i én del.
0/9	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Salkartet i originaloppgaven har alle seksjoner fra A til U. Her er bare seksjonene som trengs (A, B, C og L) gjenskapt med riktige plassnumre.
I b) kan ikke svaret være 112, for da er ikke 2/3 nådd. Runder opp til neste hele representant.
I e) er plassene i seksjon L de som ligger i den smale seksjonen merket L, ikke alle plassene i nærheten.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2009, Del 2, Oppgave 1