NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2014, Del 1 – Oppgave 8

Uten hjelpemidler – 1.5 poeng

I en eske ligger det to grå kuler og tre røde kuler.

  • a) Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig én rød kule.

  • b) Du legger kulen tilbake i esken. Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig to røde kuler når den FØRSTE kulen ikke legges tilbake i esken før du trekker den andre kulen.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne sannsynligheten for å trekke én rød kule, og deretter sannsynligheten for å trekke to røde kuler etter hverandre uten tilbakelegging.

Strategi og formel: I a) bruker vi P=gunstigemuligeP = \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}} direkte. I b) er trekningene AVHENGIGE (ingen tilbakelegging mellom trekk 1 og 2), så vi må oppdatere både antall røde kuler OG totalt antall kuler etter første trekning, og MULTIPLISERE sannsynlighetene for de to trekningene.

Trinnvis utregning:

  1. a) Totalt 2+3=52+3=5 kuler, 3 røde
  2. P=35P = \frac{3}{5}
  3. b) Første trekning: P(rød)=35P(\text{rød}) = \frac{3}{5}
  4. etter én rød kule tatt ut er det 2 røde igjen av 4 totalt
  5. andre trekning: P(rød)=24P(\text{rød}) = \frac{2}{4}
  6. siden hendelsene er avhengige, multipliserer vi: 35⋅24=620=310\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

Svar: a) 35\frac{3}{5}, b) 310\frac{3}{10}

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1.5 poeng)
PoengKrav
1,5/1,5Begge deloppgaver riktig løst: a) 35\frac{3}{5}, b) 310\frac{3}{10}, med vist mellomregning for begge.
1/1,5Én av deloppgavene riktig løst, eller begge har riktig metode med en mindre regnefeil.
0/1,5Ingen av deloppgavene riktig løst, eller ingen fremgangsmåte vist.

Sensor-tips

  • Den vanligste feilen i b) er å bruke 35\frac{3}{5} for BEGGE trekningene, som om kulen ble lagt tilbake – legg merke til at oppgaveteksten eksplisitt sier at bare kulen fra a) legges tilbake, ikke den første kulen i b).
  • Sjekk at eleven oppdaterer BÅDE telleren (2 røde igjen, ikke 3) OG nevneren (4 kuler igjen totalt, ikke 5) i andre trekning – en vanlig delvis-feil er å bare oppdatere den ene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2014, Del 1, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2023, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 2 poeng

Emira utforsker store talls lov ved å kaste terning med seks sider. Hun lager et dataprogram som kaster terning for henne. Nedenfor vises Emiras forslag til en kode til dataprogrammet:

«SETT antall_terningkast = et heltall som brukeren skriver inn. GJENTA antall_terningkast GANGER: SETT tall = et tilfeldig tall fra og med 1 til og med 6. LEGG tall TIL en liste. SKRIV listen til skjermen.»

  • a) Forklar hva som skjer når dataprogrammet blir kjørt.
  • b) Emira vil lage en tabell for å vise at det er like stor sannsynlighet for å få de ulike resultatene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvilken verdi for antall_terningkast vil du anbefale Emira å velge? Begrunn svaret ditt.
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva programmet gjør, og anbefale (med begrunnelse) hvor mange terningkast Emira bør simulere for å vise at alle seks utfall er like sannsynlige.

Strategi og formel: I a) sporer vi pseudokoden steg for steg: en løkke som gjentar et valgt antall ganger, trekker ett tilfeldig tall fra 1 til 6 hver gang, og samler alle tallene i en liste som skrives ut til slutt. I b) bruker vi de store talls lov: jo FLERE simulerte kast, jo nærmere kommer den empiriske fordelingen (andelen av hvert tall i listen) den teoretiske sannsynligheten 16\frac{1}{6} for hvert utfall – et lite antall kast kan gi en skjev fordeling helt tilfeldig.

Trinnvis utregning:

  1. a) Programmet spør brukeren om et antall kast
  2. gjentar deretter like mange ganger: trekker ett tilfeldig tall fra 1 til 6 og legger det til en liste
  3. til slutt skrives hele listen med alle terningkastene ut
  4. b) med FÅ kast (f.eks. 10) kan tallene tilfeldig bli skjevt fordelt, men med et STORT antall kast (f.eks. 10 000) jevner de tilfeldige avvikene seg ut, og andelen av hvert tall nærmer seg 16≈16,7%\frac{1}{6} \approx 16,7\%

Svar: a) Programmet simulerer et valgt antall terningkast og skriver ut alle resultatene som en liste. b) Et stort antall kast (f.eks. minst 10 000), fordi store talls lov sier at fordelingen nærmer seg 16\frac{1}{6} for hvert tall jo flere kast som simuleres.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)
PoengKrav
2/2a) Korrekt forklaring av hele løkken (antall kast, tilfeldig trekning, lagring i liste, utskrift). b) Anbefaler et stort antall kast, med en begrunnelse som eksplisitt viser til store talls lov.
1/2a) eller b) korrekt besvart, men ikke begge – f.eks. riktig sporing av koden uten en holdbar begrunnelse i b), eller omvendt.
0/2Verken a) eller b) korrekt besvart.

Sensor-tips

  • I a) er det ikke nok å si «programmet kaster en terning» – full forklaring krever at eleven nevner ALLE de tre delene: brukervalgt antall kast, at hvert kast er tilfeldig og uavhengig, og at resultatene samles i en liste som skrives ut.
  • I b) er selve TALLET Emira velger (10 000, 1 000, 100 …) mindre viktig enn BEGRUNNELSEN – enhver anbefaling om «flere kast» med riktig henvisning til store talls lov bør telle, mens et lite tall (f.eks. 10) uten begrunnelse ikke bør gi poeng, selv om eleven skriver et stort tall uten å forklare hvorfor.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2023, Del 2, Oppgave 5