Rekker og egenskaper

En ARITMETISK rekke har et FAST leddvis tillegg $d$ mellom naboledd: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . En GEOMETRISK rekke har en FAST kvotient $r$ mellom naboledd: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ . Summen av de $n$ første leddene har egne formler for hver type. En UENDELIG geometrisk rekke har en SUM bare hvis $|r| < 1$ – da nærmer leddene seg null raskt nok til at summen stopper å vokse.

Aritmetisk sum

$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$

Geometrisk sum

$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \neq 1$

Uendelig geometrisk sum

$S = \frac{a_1}{1 - r}, \quad |r| < 1$

Aritmetisk vs. geometrisk rekke
Type	Leddformel	Kjennetegn
Aritmetisk	aₙ = a₁ + (n−1)d	fast differanse d
Geometrisk	aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹	fast kvotient r

Tips

Sjekk FØRST om differansen mellom ledd er FAST (aritmetisk) eller om KVOTIENTEN mellom ledd er fast (geometrisk) – de to rekketypene bruker helt ulike formler.
En uendelig geometrisk rekke har KUN en sum når $|r| < 1$ . Er $r \geq 1$ eller $r \leq -1$ , vokser leddene i det uendelige, og summen finnes ikke.

Eksempel: Summere et vedlikeholdsfond

En bedrift setter av $5\ 000$ kr til et vedlikeholdsfond det første året, og økningen er $1\ 500$ kr mer for hvert påfølgende år, i $8$ år totalt. Hvor mye er satt av totalt etter $8$ år?

Fra rekke til totalsum
Størrelse	Verdi
a₁	5 000 kr
d	1 500 kr
n	8
Sum S₈	82 000 kr

Løsning:

Dette er en aritmetisk rekke med $a_1 = 5\ 000$ og $d = 1\ 500$ , over $n = 8$ ledd
bruk summeformelen: $S_8 = \frac{8}{2}\left(2 \cdot 5\ 000 + (8-1) \cdot 1\ 500\right)$
regn ut innsiden av parentesen: $2 \cdot 5\ 000 = 10\ 000$ og $7 \cdot 1\ 500 = 10\ 500$ , som gir $10\ 000 + 10\ 500 = 20\ 500$
gang med $\frac{8}{2} = 4$ : $4 \cdot 20\ 500$ . Totalt er $82\ 000$ kr satt av til fondet etter $8$ år.

Alternativ forklaring/metode: Bruk gjennomsnittsformelen $S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}$

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Summere gjennomsnittet av første og siste ledd

En alternativ (og likeverdig) versjon av aritmetisk sum-formel: finn først det siste leddet, $a_8 = 5\ 000 + 7 \cdot 1\ 500 = 15\ 500$ kr, og gang gjennomsnittet av første og siste ledd med antall ledd: $S_8 = 8 \cdot \frac{5\ 000 + 15\ 500}{2} = 8 \cdot 10\ 250 = 82\ 000$ kr – samme svar. Denne versjonen kan være lettere å huske, siden den bare krever gjennomsnittet av to tall ganget med antallet.

Sum via gjennomsnitt
Steg	Verdi
a₈	15 500 kr
Gjennomsnitt (a₁+a₈)/2	10 250 kr
S₈ = 8 · gjennomsnitt	82 000 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En aritmetisk rekke har $a_1 = 2$ og $d = 3$ . Hva er $a_5$ ?

Vis fasit

Finn a5
a1	d	a5
2	3	14

a1=2, d=3, n=5
a5 = 2 + 4 gange 3 = 14

L-12Hva kjennetegner en geometrisk rekke?

Vis fasit

Kjennetegn
Type	Kjennetegn
Geometrisk	Fast kvotient r

Geometrisk rekke har konstant forhold mellom ledd
fast kvotient r

L-13En geometrisk rekke har

a_1 = 3

r = 2

. Hva er

a_3

Vis fasit

Finn a3
a1	r	a3
3	2	12

a1=3, r=2
a3 = 3 gange 2 opphøyd i 2 = 3 gange 4 = 12

Middels(3)

M-11En aritmetisk rekke har

a_1 = 10

d = -2

. Hva er

S_6

(summen av de 6 første leddene)?

Vis fasit

Finn S6
a1	d	n	S6
10	−2	6	30

a1=10, d=-2, n=6
S6 = $\frac{6}{2}$ gange (2 gange 10 + 5 gange (-2)) = 3 gange (20-10) = 30

M-12En geometrisk rekke har $a_1 = 3$ og $r = 2$ . Hva er $S_6$ ?

Vis fasit

Finn S6
a1	r	n	S6
3	2	6	189

a1=3, r=2, n=6
S6 = 3 gange (2 opphøyd i 6 minus 1) delt på (2-1) = 3 gange 63 = 189

M-13En geometrisk rekke har

a_1 = 100

r = 0,5

. Hva er

a_5

Vis fasit

Finn a5
a1	r	a5
100	0,5	6,25

a1=100, r=0,5
a5 = 100 gange 0,5 opphøyd i 4 = 100 gange 0,0625 = 6,25

Vanskelig(3)

V-11Finn den uendelige summen av den geometriske rekken med

a_1 = 8

r = 0,5

Vis fasit

Finn den uendelige summen
a1	r	S∞
8	0,5	16

a1=8, r=0,5, og |r|<1 så summen finnes
S = 8 delt på (1-0,5) = 16

V-12Finn den uendelige summen av den geometriske rekken med

a_1 = 50

r = 0,2

Vis fasit

Finn den uendelige summen
a1	r	S∞
50	0,2	62,5

a1=50, r=0,2, og |r|<1 så summen finnes
S = 50 delt på (1-0,2) = 62,5

V-13Hvorfor har den geometriske rekken med

a_1 = 4

r = 1,5

IKKE en uendelig sum?

Vis fasit

Har rekken en uendelig sum?
r	\|r\|	Uendelig sum?
1,5	1,5 > 1	Nei

r=1,5 gir |r|>1
leddene blir stadig større i stedet for å avta
summen vokser mot uendelig, ingen endelig sum finnes