Rekker og egenskaper

En ARITMETISK rekke har et FAST leddvis tillegg $d$ mellom naboledd: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . En GEOMETRISK rekke har en FAST kvotient $r$ mellom naboledd: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ . Summen av de $n$ første leddene har egne formler for hver type. En UENDELIG geometrisk rekke har en SUM bare hvis $|r| < 1$ . Da nærmer leddene seg null raskt nok til at summen stopper å vokse.

Aritmetisk sum

$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$

Geometrisk sum

$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \neq 1$

Uendelig geometrisk sum

$S = \frac{a_1}{1 - r}, \quad |r| < 1$

Aritmetisk vs. geometrisk rekke
Type	Leddformel	Kjennetegn
Aritmetisk	aₙ = a₁ + (n−1)d	fast differanse d
Geometrisk	aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹	fast kvotient r

Tips

Sjekk FØRST om differansen mellom ledd er FAST (aritmetisk) eller om KVOTIENTEN mellom ledd er fast (geometrisk). De to rekketypene bruker helt ulike formler.
En uendelig geometrisk rekke har KUN en sum når $|r| < 1$ . Er $r \geq 1$ eller $r \leq -1$ , vokser leddene i det uendelige, og summen finnes ikke.

Eksempel: Summere et vedlikeholdsfond

En bedrift setter av $5\ 000$ kr til et vedlikeholdsfond det første året, og økningen er $1\ 500$ kr mer for hvert påfølgende år, i $8$ år totalt. Hvor mye er satt av totalt etter $8$ år?

Løsning:

Dette er en aritmetisk rekke med $a_1 = 5\ 000$ og $d = 1\ 500$ , over $n = 8$ ledd
bruk summeformelen: $S_8 = \frac{8}{2}\left(2 \cdot 5\ 000 + (8-1) \cdot 1\ 500\right)$
regn ut innsiden av parentesen: $2 \cdot 5\ 000 = 10\ 000$ og $7 \cdot 1\ 500 = 10\ 500$ , som gir $10\ 000 + 10\ 500 = 20\ 500$
gang med $\frac{8}{2} = 4$ : $4 \cdot 20\ 500$ . Totalt er $82\ 000$ kr satt av til fondet etter $8$ år.

Fra rekke til totalsum
Størrelse	Verdi
a₁	5 000 kr
d	1 500 kr
n	8
Sum S₈	82 000 kr

Alternativ forklaring/metode: Bruk gjennomsnittsformelen $S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}$

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Summere gjennomsnittet av første og siste ledd

En alternativ (og likeverdig) versjon av aritmetisk sum-formel: finn først det siste leddet, $a_8 = 5\ 000 + 7 \cdot 1\ 500 = 15\ 500$ kr, og gang gjennomsnittet av første og siste ledd med antall ledd: $S_8 = 8 \cdot \frac{5\ 000 + 15\ 500}{2} = 8 \cdot 10\ 250 = 82\ 000$ kr: samme svar. Denne versjonen kan være lettere å huske, siden den bare krever gjennomsnittet av to tall ganget med antallet.

Sum via gjennomsnitt
Steg	Verdi
a₈	15 500 kr
Gjennomsnitt (a₁+a₈)/2	10 250 kr
S₈ = 8 · gjennomsnitt	82 000 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En aritmetisk rekke har $a_1 = 2$ og $d = 3$ . Hva er $a_5$ ?

Vis fasit

a1=2, d=3, n=5
a5 = $2 + 4 \cdot 3 =$ 14

Finn a5
a1	d	a5
2	3	14

L-12Hva kjennetegner en geometrisk rekke?

Vis fasit

Geometrisk rekke har konstant forhold mellom ledd
fast kvotient r

Kjennetegn
Type	Kjennetegn
Geometrisk	Fast kvotient r

L-13En geometrisk rekke har $a_1 = 3$ og $r = 2$ . Hva er $a_3$ ?

Vis fasit

a1=3, r=2
a3 = $3 \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4 =$ 12

Finn a3
a1	r	a3
3	2	12

Middels(3)

M-11En aritmetisk rekke har $a_1 = 10$ og $d = -2$ . Hva er $S_6$ (summen av de 6 første leddene)?

Vis fasit

a1=10, d=-2, n=6
S6 = $\frac{6}{2}$ gange ( $2 \cdot 10 + 5 \cdot (-2)$ ) = $3 \cdot (20-10) =$ 30

Finn S6
a1	d	n	S6
10	−2	6	30

M-12En geometrisk rekke har $a_1 = 3$ og $r = 2$ . Hva er $S_6$ ?

Vis fasit

a1=3, r=2, n=6
$S_6 = \frac{3 \cdot (2^{6} - 1)}{2-1} = 3 \cdot 63 =$ 189

Finn S6
a1	r	n	S6
3	2	6	189

M-13En geometrisk rekke har $a_1 = 100$ og $r = 0{,}5$ . Hva er $a_5$ ?

Vis fasit

a1=100, r=0,5
a5 = $100 \cdot 0{,}5^{4} = 100 \cdot 0{,}0625 =$ 6,25

Finn a5
a1	r	a5
100	0,5	6,25

Vanskelig(3)

V-11Finn den uendelige summen av den geometriske rekken med $a_1 = 8$ og $r = 0{,}5$ .

Vis fasit

a1=8, r=0,5, og |r|<1 så summen finnes
S = $\frac{8}{1-0{,}5} =$ 16

Finn den uendelige summen
a1	r	S∞
8	0,5	16

V-12Finn den uendelige summen av den geometriske rekken med $a_1 = 50$ og $r = 0{,}2$ .

Vis fasit

a1=50, r=0,2, og |r|<1 så summen finnes
S = $\frac{50}{1-0{,}2} =$ 62,5

Finn den uendelige summen
a1	r	S∞
50	0,2	62,5

V-13Hvorfor har den geometriske rekken med $a_1 = 4$ og $r = 1{,}5$ IKKE en uendelig sum?

Vis fasit

r=1,5 gir |r|>1
leddene blir stadig større i stedet for å avta
summen vokser mot uendelig, ingen endelig sum finnes

Har rekken en uendelig sum?
r	\|r\|	Uendelig sum?
1,5	1,5 > 1	Nei