Eksamensoppgaver – Rekker og vekstmodeller (S2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 2

Uten hjelpemidler – 6 poeng

a) Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken $-3 + 0 + 3 + \ldots + 69$ Bestem summen av rekken.

b) Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken $5 + 5\cdot\left(-\dfrac{1}{2}x\right) + 5\cdot\left(-\dfrac{1}{2}x\right)^2 + \ldots$ Bestem konvergensområdet til rekken.

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

c) Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Tre ulike rekke-oppgaver: a) summen av en ENDELIG aritmetisk rekke, b) hvilke $x$ -verdier som gjør en UENDELIG geometrisk rekke konvergent, og c) den totale strekningen en sprettball tilbakelegger: et praktisk eksempel på en uendelig geometrisk rekke i forkledning.

Strategi og formel: a) Finn antall ledd $n$ ved å bruke at leddene øker med samme differanse $d=3$ fra $a_1=-3$ til $a_n=69$ , og bruk summeformelen $S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ . b) En uendelig geometrisk rekke konvergerer nøyaktig når kvotienten $k$ oppfyller $|k|<1$ . Her er $k=-\frac{1}{2}x$ . c) Etter det første fallet spretter ballen opp og ned igjen og igjen, med hver ny høyde $75\,\%$ av den forrige: en uendelig geometrisk rekke av opp-og-ned-strekninger. Summer alt sammen: det første fallet pluss to ganger den uendelige summen av alle senere opp-turer (siden hver opptur etterfølges av en like lang nedtur).

Trinnvis utregning:

a) Antall ledd: $a_n=a_1+(n-1)d$
$69=-3+(n-1)\cdot 3$
$72=(n-1)\cdot 3$
$n-1=24$
$n=25$ . Summen: $S_{25}=\dfrac{25}{2}(-3+69)$
$\dfrac{25}{2}\cdot 66$
$25\cdot 33=825$ . b) Konvergens krever $\left|-\dfrac{1}{2}x\right|<1$
$\dfrac{1}{2}|x|<1$
$|x|<2$
$-2<x<2$ . c) Første fall: $2$ m ned. Deretter, for $n=1,2,3,\ldots$ : opptur nr. $n$ har høyde $2\cdot 0{,}75^n$ , og hver opptur følges av en like lang nedtur
summen av ALLE opp- og nedturene blir $2\cdot\sum_{n=1}^{\infty} 2\cdot 0{,}75^n = 2\cdot 2\cdot\dfrac{0{,}75}{1-0{,}75}=4\cdot 3=12$ m
total strekning: $2 + 12 = 14$ m.

Svar: a) $S_{25} = 825$ . b) Rekken konvergerer for $-2 < x < 2$ . c) Ballen beveger seg totalt $14$ meter.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Finner riktig antall ledd og riktig sum i a), riktig konvergensbetingelse $-2<x<2$ i b) (med korrekt fortegnshåndtering på $\left\|-\frac{1}{2}x\right\|$ ), og riktig totalstrekning $14$ m i c) med en fungerende strategi for å telle opp- OG nedturer.
4/6	Riktig i a) og b), men gjør en feil i c) – f.eks. glemmer å doble oppturene (teller kun opp, ikke ned), og lander på $8$ m i stedet for $14$ m.
2/6	Riktig sum i a), men bommer på konvergensbetingelsen i b) (f.eks. glemmer å ta hensyn til at kvotienten er $-\frac{1}{2}x$ , ikke bare $x$ ), og har ingen fungerende strategi i c).
0/6	Bruker feil formel for den aritmetiske summen, eller forveksler den aritmetiske og den geometriske rekken i a)/b).

Sensor-tips

Den klassiske fellen i c) er å bare regne ut FALLET (uendelig geometrisk rekke med $a_1=2\cdot 0{,}75$ , sum $\frac{1{,}5}{0{,}25}=6$ ) og glemme at ballen også må sprette OPP igjen like langt hver gang: riktig svar dobler denne delsummen og legger til det aller første fallet på $2$ m.
I b) er det lett å glemme minustegnet i kvotienten og skrive konvergensbetingelsen som $0<x<2$ eller $|x|<2$ uten å faktisk vise mellomregningen $\left|-\frac{1}{2}x\right|<1$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 4 poeng

a) Bestem en rekursiv formel for tallfølgen $1, 2, 6, 15, 31, 56, \ldots$ .

b) Bruk den rekursive formelen du fant i oppgave a), og lag et program som regner ut summen av de 30 første leddene i tallfølgen. Husk å legge ved bilde av både koden og resultatet av kjøringen.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal først OPPDAGE et rekursivt mønster i en gitt tallfølge (a), og deretter bruke dette mønsteret som byggekloss i et program som regner ut en sum langt utover det vi kan regne for hånd (b).

Strategi og formel: Se på DIFFERANSEN mellom hvert par av påfølgende ledd. Det avslører ofte det rekursive mønsteret direkte. Når formelen $a_n=a_{n-1}+f(n)$ er funnet, oversettes den rett til en løkke i et program: start med $a_1$ , og legg til $f(n)$ for hver $n$ fra $2$ til $30$ , mens du underveis summerer alle leddene.

Trinnvis utregning:

a) Differansene mellom leddene: $2-1=1$ , $6-2=4$ , $15-6=9$ , $31-15=16$ , $56-31=25$
dette er $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$ – kvadrattall!
altså er $a_n = a_{n-1} + (n-1)^2$ for $n\geq 2$ , med $a_1=1$ . Kontroll: $a_2=a_1+1^2=1+1=2$ ✓
$a_3=a_2+2^2=2+4=6$ ✓
$a_4=a_3+3^2=6+9=15$ ✓
$a_5=a_4+4^2=15+16=31$ ✓
$a_6=a_5+5^2=31+25=56$ ✓. b) Pseudokode, linje for linje:
a = 1
sum_ledd = a
for n in range(2, 31):
(innrykket:) a = a + (n - 1)**2
(innrykket:) sum_ledd = sum_ledd + a
print(sum_ledd)
Programmet bygger opp leddene ETT for ett med den rekursive formelen fra a), og legger sammen underveis. Kjøres programmet for $n=1$ til $n=30$ , blir summen av de 30 første leddene $67\,455$ .

Svar: a) Den rekursive formelen er $a_n = a_{n-1} + (n-1)^2$ , med $a_1=1$ . b) Summen av de 30 første leddene er $67\,455$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Finner riktig at differansene er kvadrattall og setter opp korrekt rekursiv formel $a_n=a_{n-1}+(n-1)^2$ , og lager et fungerende program som gir riktig sum $67\,455$ (eller viser tilsvarende korrekt utregning for hånd/i regneark som gir samme svar).
2/4	Finner riktig rekursiv formel i a), men programmet i b) har en indekseringsfeil (f.eks. bruker $n^2$ i stedet for $(n-1)^2$ , eller summerer feil antall ledd) som gir feil sluttsum.
0/4	Klarer ikke å finne det rekursive mønsteret (f.eks. prøver en eksplisitt/lukket formel i stedet, eller gir opp), og har intet fungerende program.

Sensor-tips

Godta ethvert programmeringsspråk (Python, TI-Basic, GeoGebra-skript m.m.) og enhver ekvivalent implementasjon. Det er den REKURSIVE tankegangen (bygge $a_n$ fra $a_{n-1}$ ) som skal vurderes, ikke syntaksen.
En vanlig indekseringsfeil er å bruke $(n)^2$ i stedet for $(n-1)^2$ i løkken (av-med-én-feil). Dette gir en sum som avviker fra $67\,455$ ; sjekk at eleven har testet formelen mot de kjente første leddene FØR den brukes i programmet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 4