Eksponentiell og logistisk vekst

EKSPONENTIELL vekst ( $N(t) = N_0 \cdot b^t$ ) er UBEGRENSET – den fortsetter å vokse fortere og fortere for alltid. I virkeligheten møter vekst ofte en GRENSE (mat, plass, ressurser), og da passer LOGISTISK vekst bedre: $N(t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$ , der $K$ er BÆREEVNEN (den øvre grensen veksten flater ut mot). I starten ligner logistisk vekst på eksponentiell vekst, men den bøyer av og flater ut når $N(t)$ nærmer seg $K$ .

Eksponentiell vekst

$N(t) = N_0 \cdot b^t$

Logistisk vekst

$N(t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$

To vekstmodeller sammenlignet
Modell	Oppførsel
Eksponentiell	Vokser ubegrenset, stadig raskere
Logistisk	Vokser raskt i starten, flater ut mot bæreevnen K

Tips

Sjekk om situasjonen har en NATURLIG GRENSE (et habitats matkapasitet, markedets størrelse, antall mottakelige personer). Har den det, passer logistisk vekst bedre enn eksponentiell, selv om de to ligner i starten.
$N(t)$ i en logistisk modell nærmer seg ALDRI $K$ helt nøyaktig, men blir raskt SÅ NÆRT at forskjellen er ubetydelig i praksis.

Eksempel: Sammenligne eksponentiell og logistisk vekst i en fiskebestand

En fiskebestand i en innsjø har $100$ fisk ved $t = 0$ . En logistisk modell med bæreevne $K = 1\ 000$ , $A = 9$ og $k = 0,5$ gir $N(t) = \frac{1\ 000}{1 + 9 e^{-0,5t}}$ . Sammenlign $N(10)$ med hva en ubegrenset eksponentiell modell ( $N_{\text{eksp}}(t) = 100 \cdot e^{0,5t}$ ) ville gitt ved $t = 10$ .

To modeller, svært ulikt svar ved t=10
Modell	N(10)
Eksponentiell (ubegrenset)	≈14 841
Logistisk (bæreevne 1 000)	≈943

Løsning:

For den logistiske modellen ved $t = 10$ : $N(10) = \frac{1\ 000}{1 + 9 \cdot e^{-5}} \approx \frac{1\ 000} {1 + 9 \cdot 0,0067} \approx \frac{1\ 000}{1,06} \approx 943$
for den eksponentielle modellen ved $t = 10$ : $N_{\text{eksp}}(10) = 100 \cdot e^{5} \approx 100 \cdot 148,4 \approx 14\ 841$
den eksponentielle modellen sier at innsjøen har over $14\ 000$ fisk, mens den logistiske modellen (som tar hensyn til bæreevnen på $1\ 000$ ) sier ca. $943$ fisk – langt mer realistisk, siden bestanden ikke kan vokse forbi det innsjøen faktisk klarer å brødfø.

Alternativ forklaring/metode: Undersøk hva som skjer når t → uendelig

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se på oppførselen når t blir stor

En annen måte å forstå forskjellen på: la $t$ bli veldig stor. I den logistiske formelen går $e^{-kt}$ mot $0$ når $t$ vokser, slik at $N(t)$ nærmer seg $\frac{K}{1+0} = K$ – bæreevnen. I den eksponentielle formelen vokser $b^t$ derimot UTEN GRENSE når $t$ øker. Denne grenseverdi-betraktningen viser algebraisk HVORFOR de to modellene oppfører seg så ulikt for store $t$ -verdier, ikke bare at de gjør det.

Oppførsel når t → ∞
Modell	Når t → ∞
Logistisk	Nærmer seg K
Eksponentiell	Vokser uten grense

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er hovedforskjellen mellom eksponentiell og logistisk vekst?

Vis fasit

Hovedforskjellen
Modell	Oppførsel
Eksponentiell	Ubegrenset vekst
Logistisk	Flater ut mot bæreevnen

Eksponentiell har ingen grense, logistisk har bæreevnen K
logistisk vekst flater ut, eksponentiell gjør det ikke

L-32Hva kalles den øvre grensen en logistisk vekstmodell flater ut mot?

Vis fasit

Begrepet bæreevne
Begrep	Betydning
Bæreevnen	Øvre grense veksten flater ut mot

Den øvre grensen for veksten kalles bæreevnen (K)

L-33En eksponentiell modell er

N(t) = 100 \cdot e^{0,5t}

. Hva er

N(2)

, avrundet til nærmeste hele tall?

Vis fasit

Regn ut N(2)
t	N(t)
2	≈739

N(2) = 100 gange e opphøyd i (0,5 gange 2)
= 100 gange e opphøyd i 1
≈ 739

Middels(3)

M-31En logistisk modell er

N(t) = \frac{1\ 000}{1 + 9e^{-0,5t}}

. Hva er

N(0)

Vis fasit

Regn ut N(0)
t	N(t)
0	100

N(0) = 1 000 delt på (1 + 9 gange e opphøyd i 0)
= 1 000 delt på (1+9)
= 1 000 delt på 10
100

M-32Samme logistiske modell: hva er

N(2)

, avrundet til nærmeste hele tall?

Vis fasit

Regn ut N(2)
t	N(t)
2	≈232

N(2) = 1 000 delt på (1 + 9 gange e opphøyd i -1)
≈ 1 000 delt på 4,31
≈ 232

M-33Hvorfor gir den eksponentielle og den logistiske modellen NESTEN samme svar for små

t

-verdier (som

t=0

til

t=2

), men svært ulike svar for store

t

-verdier?

Vis fasit

Hvorfor modellene ligner tidlig
t-verdi	Nær bæreevnen?
Liten (0–2)	Nei – ligner eksponentiell
Stor	Ja – flater ut

Fra t=0 til t=2 er N(t) langt unna bæreevnen K
begrensningen merkes lite tidlig
den vokser da nesten som ren eksponentiell vekst, men bremses opp mot K senere

Vanskelig(3)

V-31En logistisk modell har

N(t) = \frac{1\ 000}{1 + 9e^{-0,5t}}

. Hva nærmer

N(t)

seg når

t

blir svært stor?

Vis fasit

Grenseverdi for stor t
t	N(t)
Svært stor	1 000 (K)

Når t blir stor går e opphøyd i -0,5t mot 0
nevneren nærmer seg 1
N(t) nærmer seg 1 000, altså K

V-32Beregn

N(20)

for samme logistiske modell, avrundet til nærmeste hele tall, og sammenlign med bæreevnen.

Vis fasit

Regn ut N(20)
t	N(t)
20	≈1 000

N(20) = 1 000 delt på (1 + 9 gange e opphøyd i -10)
≈ 1 000 delt på 1,0004
≈ 1 000, praktisk talt lik bæreevnen

V-33Gi et eksempel på en reell situasjon der logistisk vekst passer bedre enn eksponentiell vekst, og forklar hvorfor.

Vis fasit

Eksempel på logistisk vekst
Situasjon	Bæreevne
Rykte i en skoleklasse	Antall elever i klassen

En skoleklasse har et FAST antall elever
antallet som kan høre ryktet er begrenset, så veksten flater ut, akkurat som logistisk vekst forutsier