Eksamensoppgaver – Pytagoras' setning (9. trinn)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 1 – Oppgave 19

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Figuren nedenfor viser en rettvinklet trekant og tre kvadrater, ett på hver side av trekanten. Arealene av de to største kvadratene er $100$ cm² (på hypotenusen) og $64$ cm² (på en av katetene).

Bestem lengden av den korteste siden i trekanten.

Finn den korteste siden a

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne lengden av den korteste siden i trekanten – den siden det minste (umerkede) kvadratet ligger på.

Strategi og formel: Kvadratenes arealer ER nettopp $a^2$ , $b^2$ og $c^2$ i Pytagoras' setning – det største kvadratet (100 cm²) ligger på hypotenusen, så vi bruker $a^2 = c^2 - b^2$ til å finne arealet av det tredje kvadratet, og tar kvadratroten for å finne selve sidelengden.

Trinnvis utregning:

Hypotenusens kvadrat er $c^2 = 100$ , den kjente katetens kvadrat er $b^2 = 64$
$a^2 = c^2 - b^2 = 100 - 64 = 36$
$a = \sqrt{36} = 6$

Svar: $a = 6$ cm

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Finner at den korteste siden er 6 cm, med riktig identifisering av hvilket areal som er hypotenusens.
0/1	Feil svar, f.eks. ved å legge sammen arealene (100+64) i stedet for å trekke fra, eller ved å oppgi 36 (arealet) i stedet for 6 (sidelengden).

Sensor-tips

Denne oppgaven kobler direkte til «arealbeviset» for Pytagoras' setning: kvadratenes AREALER er bokstavelig talt $a^2$ , $b^2$ og $c^2$ , ikke bare en illustrasjon ved siden av formelen.
En vanlig feil er å glemme å ta kvadratroten til slutt og svare «36 cm²» (et areal) i stedet for «6 cm» (en lengde) – sjekk alltid at svaret har riktig enhet for det som faktisk er spurt om.
En annen vanlig feil er å anta at det ukjente kvadratet er størst og legge sammen 100 og 64 – men oppgaveteksten sier eksplisitt at 100 og 64 er de to STØRSTE arealene, så det ukjente må være det minste.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2019, Del 1, Oppgave 19

Utdanningsdirektoratet

Vår 2020, Del 1 – Oppgave 10

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Nedenfor ser du en rettvinklet trekant $ABC$ med rett vinkel i $B$ . Siden $AB = 8,0$ cm og siden $BC = 6,0$ cm.

Bestem lengden til $AC$ .

Finn hypotenusen AC

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne lengden til $AC$ , hypotenusen i den rettvinklede trekanten.

Strategi og formel: Den rette vinkelen er i $B$ , så $AB$ og $BC$ er katetene og $AC$ er hypotenusen (siden rett overfor den rette vinkelen). Vi bruker Pytagoras' setning $c = \sqrt{a^2+b^2}$ med katetene som $a$ og $b$ .

Trinnvis utregning:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$AC = \sqrt{8,0^2 + 6,0^2}$
$AC = \sqrt{64 + 36}$
$AC = \sqrt{100}$
$AC = 10$

Svar: $AC = 10$ cm

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Finner $AC = 10$ cm, med vist mellomregning.
0/1	Feil svar, f.eks. ved å trekke fra i stedet for å legge til (forveksler hypotenusen med en katet).

Sensor-tips

8,0-6,0-10-trekanten er den klassiske 4-3-5-trippelen (her doblet til 8-6-10) – gjenkjenner eleven mønsteret, kan hypotenusen finnes direkte uten å regne ut kvadratroten for hånd.
Den vanligste feilen er å bruke formelen feil vei og trekke $BC^2$ fra $AB^2$ i stedet for å legge dem sammen – dette skjer typisk når eleven har øvd mest på «finn en katet»-oppgaver og glemmer at $AC$ her er hypotenusen, ikke en katet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2020, Del 1, Oppgave 10