Eksamensoppgaver – Pytagoras' setning (9. trinn)

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 1 – Oppgave 19

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Figuren nedenfor viser en rettvinklet trekant og tre kvadrater, ett på hver side av trekanten. Arealene av de to største kvadratene er $100$ cm² (på hypotenusen) og $64$ cm² (på en av katetene).

Bestem lengden av den korteste siden i trekanten.

Finn den korteste siden a

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne lengden av den korteste siden i trekanten. Den siden det minste (umerkede) kvadratet ligger på.

Strategi og formel: Kvadratenes arealer ER nettopp $a^2$ , $b^2$ og $c^2$ i Pytagoras' setning. Det største kvadratet (100 cm²) ligger på hypotenusen, så vi bruker $a^2 = c^2 - b^2$ til å finne arealet av det tredje kvadratet, og tar kvadratroten for å finne selve sidelengden.

Trinnvis utregning:

Hypotenusens kvadrat er $c^2 = 100$ , den kjente katetens kvadrat er $b^2 = 64$
$a^2 = c^2 - b^2 = 100 - 64 = 36$
$a = \sqrt{36} = 6$

Svar: $a = 6$ cm

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Finner at den korteste siden er 6 cm, med riktig identifisering av hvilket areal som er hypotenusens.
0/1	Feil svar, f.eks. ved å legge sammen arealene (100+64) i stedet for å trekke fra, eller ved å oppgi 36 (arealet) i stedet for 6 (sidelengden).

Sensor-tips

Denne oppgaven kobler direkte til «arealbeviset» for Pytagoras' setning: kvadratenes AREALER er bokstavelig talt $a^2$ , $b^2$ og $c^2$ , ikke bare en illustrasjon ved siden av formelen.
En vanlig feil er å glemme å ta kvadratroten til slutt og svare «36 cm²» (et areal) i stedet for «6 cm» (en lengde): sjekk alltid at svaret har riktig enhet for det som faktisk er spurt om.
En annen vanlig feil er å anta at det ukjente kvadratet er størst og legge sammen 100 og 64, men oppgaveteksten sier eksplisitt at 100 og 64 er de to STØRSTE arealene, så det ukjente må være det minste.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2019, Del 1, Oppgave 19

Utdanningsdirektoratet

Vår 2020, Del 1 – Oppgave 10

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Nedenfor ser du en rettvinklet trekant $ABC$ med rett vinkel i $B$ . Siden $AB = 8{,}0$ cm og siden $BC = 6{,}0$ cm.

Bestem lengden til $AC$ .

Finn hypotenusen AC

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne lengden til $AC$ , hypotenusen i den rettvinklede trekanten.

Strategi og formel: Den rette vinkelen er i $B$ , så $AB$ og $BC$ er katetene og $AC$ er hypotenusen (siden rett overfor den rette vinkelen). Vi bruker Pytagoras' setning $c = \sqrt{a^2+b^2}$ med katetene som $a$ og $b$ .

Trinnvis utregning:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$AC = \sqrt{8{,}0^2 + 6{,}0^2}$
$AC = \sqrt{64 + 36}$
$AC = \sqrt{100}$
$AC = 10$

Svar: $AC = 10$ cm

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Finner $AC = 10$ cm, med vist mellomregning.
0/1	Feil svar, f.eks. ved å trekke fra i stedet for å legge til (forveksler hypotenusen med en katet).

Sensor-tips

8,0-6,0-10-trekanten er den klassiske 4-3-5-trippelen (her doblet til 8-6-10): gjenkjenner eleven mønsteret, kan hypotenusen finnes direkte uten å regne ut kvadratroten for hånd.
Den vanligste feilen er å bruke formelen feil vei og trekke $BC^2$ fra $AB^2$ i stedet for å legge dem sammen. Dette skjer typisk når eleven har øvd mest på «finn en katet»-oppgaver og glemmer at $AC$ her er hypotenusen, ikke en katet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2020, Del 1, Oppgave 10

Utdanningsdirektoratet

Vår 2012, Del 1 – Oppgave 14

Uten hjelpemidler – 1 poeng

På en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 800 f.Kr.) finner vi «pytagoreiske talltripler».

De tre tallene (3, 4, 5) er et pytagoreisk talltrippel fordi $3^2 + 4^2 = 5^2$

Avgjør om tallene (5, 12, 13) er et pytagoreisk talltrippel.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal undersøke om $5^2 + 12^2 = 13^2$ .

Strategi og formel: Vi regner ut kvadratene og sjekker om summen av de to minste er lik kvadratet av det største tallet.

Trinnvis utregning:

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$13^2 = 169$
siden $169 = 169$ stemmer likheten

Svar: Ja, (5, 12, 13) er et pytagoreisk talltrippel fordi $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Ja, med regning som viser at $5^2 + 12^2 = 13^2$ .
0/1	Riktig svar uten regning, eller feil svar.

Sensor-tips

Det største tallet skal stå alene på høyre side: $a^2 + b^2 = c^2$ med $c = 13$ .
Et pytagoreisk talltrippel er heltall som passer i Pytagoras’ setning, altså sidene i en rettvinklet trekant.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2012, Del 1, Oppgave 14

Utdanningsdirektoratet

Vår 2012, Del 2 – Oppgave 8

Med hjelpemidler – 5 poeng

På leirtavlen fra Mesopotamia står det at $\sqrt{2} = 1 + \dfrac{24}{60} + \dfrac{51}{60^2} + \dfrac{10}{60^3}$

a) Bestem verdien av $\sqrt{2}$ med 7 desimaler med en kalkulator. Bestem også verdien av $\sqrt{2}$ på leirtavla ovenfor. Hvor stor differanse er det mellom svarene fra kalkulatoren og regnemetoden fra Mesopotamia ovenfor?

Et kvadrat er innskrevet i et større kvadrat. Siden i det minste kvadratet er 1.

b) Hvor stort er arealet av det største kvadratet? Begrunn svaret ditt.
c) Forklar at omkretsen av det største kvadratet er $4 \cdot \sqrt{2}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sammenligne to verdier for $\sqrt{2}$ , finne arealet av det store kvadratet, og forklare omkretsen.

Strategi og formel: I a) regner vi ut begge verdiene. I b) bruker vi at det lille kvadratet utgjør halvparten av det store, og i c) at siden er kvadratroten av arealet.

Trinnvis utregning:

a) kalkulator: $\sqrt{2} \approx 1{,}4142136$
leirtavla: $1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{3\ 600} + \frac{10}{216\ 000} = 1 + 0{,}4 + 0{,}0141667 + 0{,}0000463 \approx 1{,}4142130$
differanse: $1{,}4142136 - 1{,}4142130 = 0{,}0000006$
b) hvert hjørne i det lille kvadratet ligger midt på en side i det store, så det store kvadratet kan deles i fire små kvadrater med side $\frac{x}{2}$
hvert lite kvadrat er delt av en side i det innskrevne kvadratet i to like trekanter, og halvparten ligger inni det innskrevne kvadratet
det innskrevne kvadratet er halvparten av det store: $1^2 = \frac{x^2}{2}$
$x^2 = 2$
arealet er $2$
c) siden er $x = \sqrt{2}$ fordi $x^2 = 2$
omkrets: $4 \cdot x = 4 \cdot \sqrt{2}$

Svar: a) Kalkulator: $1{,}4142136$ . Leirtavla: $1{,}4142130$ . Differansen er $0{,}0000006$ . b) Arealet av det største kvadratet er $2$ . c) Siden er $\sqrt{2}$ , så omkretsen er $4 \cdot \sqrt{2}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	a), b) og c) riktig med forklaring.
4/5	Alle deler gjort, men én liten feil eller en mangelfull begrunnelse.
3/5	a) riktig og b) eller c) delvis riktig.
2/5	Bare a) riktig, eller b) og c) uten a).
1/5	Delvis riktig i én del.
0/5	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Arealet av det store kvadratet er $x^2$ . Når $x^2 = 2$ , er siden $x = \sqrt{2}$ , og omkretsen blir $4 \cdot \sqrt{2}$ .
Du kan også bruke Pytagoras’ setning på en av de fire små trekantene: katetene er $\frac{x}{2}$ og hypotenusen er 1.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2012, Del 2, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2011, Del 1 – Oppgave 16

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Størrelsen på en dataskjerm er lengden av diagonalen på skjermen. Se figuren.

Bredden på skjermen er 16 tommer (16″). Høyden på skjermen er 10 tommer (10″).

Hva er størrelsen på skjermen?

A) ca. 16 tommer
B) ca. 17 tommer
C) ca. 19 tommer
D) ca. 20 tommer

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne diagonalen i et rektangel med sider 16 og 10 tommer.

Strategi og formel: Diagonalen er hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene 16 og 10. Vi bruker Pytagoras’ setning.

Trinnvis utregning:

$d^2 = 16^2 + 10^2 = 256 + 100 = 356$
$d = \sqrt{356} \approx 18{,}9$
nærmeste alternativ er 19 tommer

Svar: Størrelsen er omtrent $19$ tommer (alternativ C).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Alternativ C: ca. 19 tommer.
0/1	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

Skjermens størrelse er lengden av diagonalen, ikke bredden eller summen av sidene.
Du kan sjekke at svaret er rimelig: diagonalen må være lengre enn 16, men kortere enn $16 + 10 = 26$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2011, Del 1, Oppgave 16

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 304

Tegningen viser en del av dekket på en oljeplattform.

a) Vis at diameteren BG i halvsirkelen er 16,2 meter.
b) Hvor stor omkrets har den delen av dekket som tegningen viser?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vise at $BG = 16{,}2$ m og regne ut omkretsen av dekket.

Strategi og formel: I a) finner vi først $BC$ fra tegningen, og bruker at $CG = \frac{BG}{2}$ i en 30-60-90-trekant sammen med Pytagoras’ setning. I b) legger vi sammen alle sidene og buen.

Trinnvis utregning:

a) trekant AFE er likebeint, så $EF = AF = 8$ m
$BC = DF = DE + EF = 6 + 8 = 14$ m
trekant BCG har vinkler $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ , så $CG = \frac{BG}{2}$
Pytagoras: $BC^2 + CG^2 = BG^2$
$14^2 + \left(\frac{BG}{2}\right)^2 = BG^2$
$196 = \frac{3}{4} BG^2$
$BG^2 = \frac{4 \cdot 196}{3} = 261{,}33$
$BG = \sqrt{261{,}33} = 16{,}17 \approx 16{,}2$ m
b) $CG = 8{,}08$ m
$AE = \sqrt{8^2 + 8^2} = 11{,}31$ m
$ED = 6$ m
$DG = DC + CG = 16 + 8{,}08 = 24{,}08$ m (siden $DC = FB = 24 - 8 = 16$ m)
halvsirkelen: $\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot BG = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 16{,}17 = 25{,}39$ m
$AB = 24$ m
omkrets: $11{,}31 + 6 + 24{,}08 + 25{,}39 + 24 = 90{,}78$ m

Svar: a) $BG \approx 16{,}2$ m er vist. b) Omkretsen er omtrent $90{,}8$ m.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	a) vist med riktig begrunnelse, og b) omkretsen ca. 90,8 m.
Delvis	a) vist og b) delvis riktig, eller omvendt.
Feil	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Hele denne oppgaven kan også løses med trigonometri: $BG = \frac{14}{\cos 30^\circ} = 16{,}17$ m.
Omkretsen er bare ytterkanten av figuren. Linjene BC og EF inne i figuren skal ikke være med.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 304