NumiSum

Lånerente med vekstfaktor

Betaler du ikke ned et lån, legges renten til gjelden, og NESTE års rente regnes av det NYE, større beløpet. Det kalles rente på rente, og det gjør at vekstfaktoren skal OPPHØYES i antall år, ikke ganges med antall år: Kn=K0⋅vfnK_n = K_0 \cdot vf^n, der K0K_0 er startgjelden og nn er antall år.

Gjeld etter n år

Kn=K0⋅vfnK_n = K_0 \cdot vf^n

Rente på rente
ÅrRegningGjeld
0gitt50 000 kr
150 000 · 1,0653 000 kr
253 000 · 1,0656 180 kr
356 180 · 1,06ca. 59 551 kr

Tips

  • Vekstfaktoren OPPHØYES i antall år, den ganges IKKE med antall år. 6 %6\ \% rente i 33 år er 1,063≈1,1911{,}06^3 \approx 1{,}191, ikke 1,181{,}18.
  • Sett alltid opp startbeløp, rente og antall år FØR du regner. Rot i én av de tre gir garantert feil svar.
  • Et serielån har et fast avdrag (nedbetaling) hver termin, og renten regnes av restgjelden. Terminbeløpet (avdrag + rente) synker derfor fra termin til termin. Et annuitetslån har i stedet likt terminbeløp hele veien. Begge begrepene kan dukke opp på eksamen.

Eksempel: Gjeld etter tre år uten nedbetaling

Et lån på 50 00050\ 000 kr har en årlig rente på 6 %6\ \%. Hvor mye skylder du etter 33 år uten å betale noe underveis?

Løsning:
  1. Startgjelden er 50 00050\ 000 kr, renten er 6 %6\ \% per år i 33 år
  2. vekstfaktoren er 1+0,06=1,061 + 0{,}06 = 1{,}06
  3. renten opphøyes i antall år: K3=50 000⋅1,063K_3 = 50\ 000 \cdot 1{,}06^3
  4. 1,063≈1,1911{,}06^3 \approx 1{,}191
  5. 50 000⋅1,191≈59 55150\ 000 \cdot 1{,}191 \approx 59\ 551. Etter 33 år skylder du ca. 59 55159\ 551 kr.
Fra startgjeld til gjeld etter 3 år
StørrelseVerdi
Startgjeld50 000 kr
Rente per år6 %
Vekstfaktor1,06
Antall år3
Gjeld etter 3 årca. 59 551 kr
Alternativ forklaring/metode: Legg til rente ett år om gangen i stedet for å opphøye

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne år for år

I stedet for å opphøye vekstfaktoren direkte, kan du regne ett år om gangen: 50 000⋅1,06=53 00050\ 000 \cdot 1{,}06 = 53\ 000 det første året, 53 000⋅1,06≈56 18053\ 000 \cdot 1{,}06 \approx 56\ 180 det andre, og 56 180⋅1,06≈59 55156\ 180 \cdot 1{,}06 \approx 59\ 551 det tredje. Samme svar, men flere steg: nyttig hvis du vil se gjelden vokse underveis, eller hvis renten endrer seg fra år til år.

Regne år for år
ÅrGjeld
050 000 kr
153 000 kr
256 180 kr
3ca. 59 551 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilken vekstfaktor svarer til en rente på 5 %5\ \%?

Vis fasit
  1. 5 % rente
  2. 1 + 0,05 = 1,05
Vekstfaktor
RenteVekstfaktor
5 %1,05

L-22Et lån på 10 00010\ 000 kr har 5 %5\ \% rente. Hva skylder du etter ett år? Svar i kroner.

Vis fasit

10 000 kr⋅1,05=10\,000\ \text{kr} \cdot 1{,}05 = 10 500 kr

Gjeld etter 1 år
StartEtter 1 år
10 000 kr10 500 kr

L-23Hva kalles det når renten regnes av et beløp som selv har vokst med tidligere rente?

Vis fasit
  1. Renten legges til gjelden, og neste års rente regnes av det nye beløpet
  2. rente på rente
Begrep
BeskrivelseNavn
Rente av et beløp som selv har vokstRente på rente
Middels(3)

M-21Et lån på 10 00010\ 000 kr har 5 %5\ \% rente. Hva skylder du etter 22 år uten nedbetaling? Svar i kroner.

Vis fasit
  1. 10 000 kr og vekstfaktor 1,05 i 2 år
  2. 1,052=1,10251{,}05^{2} = 1{,}1025
  3. 10 000⋅1,1025=10\,000 \cdot 1{,}1025 = 11 025 kr
Gjeld etter 2 år
StartEtter 2 år
10 000 kr11 025 kr

M-22Et lån på 40 00040\ 000 kr har 7 %7\ \% rente. Hva skylder du etter 22 år? Svar i kroner.

Vis fasit
  1. 40 000 kr og vekstfaktor 1,07 i 2 år
  2. 1,072=1,14491{,}07^{2} = 1{,}1449
  3. 40 000⋅1,1449=40\,000 \cdot 1{,}1449 = 45 796 kr
Gjeld etter 2 år
StartEtter 2 år
40 000 kr45 796 kr

M-23Et lån på 25 00025\ 000 kr har 2 %2\ \% rente. Hva skylder du etter 33 år? Svar i kroner.

Vis fasit
  1. 25 000 kr og vekstfaktor 1,02 i 3 år
  2. 1,0231{,}02^{3} ≈ 1,0612
  3. 25 000⋅1,061225\,000 \cdot 1{,}0612 ≈ 26 530 kr
Gjeld etter 3 år
StartEtter 3 år
25 000 kr26 530 kr
Vanskelig(3)

V-21Et lån på 15 00015\ 000 kr har 4 %4\ \% rente. Hva skylder du etter 44 år? Svar i kroner.

Vis fasit
  1. 15 000 kr og vekstfaktor 1,04 i 4 år
  2. 1,0441{,}04^{4} ≈ 1,1699
  3. 15 000⋅1,169915\,000 \cdot 1{,}1699 ≈ 17 548 kr
Gjeld etter 4 år
StartEtter 4 år
15 000 kr17 548 kr

V-22To lån på 20 00020\ 000 kr: ett med 3 %3\ \% rente i 55 år, ett med 15 %15\ \% rente i 11 år. Hvilket lån gir høyest gjeld?

Vis fasit
  1. 20 000 kr og vekstfaktor 1,03 i 5 år
  2. 1,0351{,}03^{5} ≈ 1,1593
  3. 20 000⋅1,159320\,000 \cdot 1{,}1593 ≈ 23 185 kr, mot 20 000⋅1,15=23 00020\,000 \cdot 1{,}15 = 23\,000 kr
  4. 3 %-lånet over 5 år blir dyrest
Sammenlign to lån
LånGjeld
3 % i 5 år23 185 kr
15 % i 1 år23 000 kr, billigst

V-23Hvorfor blir gjelden din raskere for hvert år, ikke med et jevnt kronebeløp?

Vis fasit
  1. Renten regnes av HELE gjelden, inkludert tidligere renter
  2. gjelden vokser raskere og raskere for hvert år
Hvorfor vokser gjelden
ÅrsakFølge
Rente av tidligere renterVokser raskere hvert år