NumiSum

Gjentatt prosentvis endring med digitalt verktøy

Skjer den samme prosentvise endringen flere ganger etter hverandre, for eksempel en årlig prisøkning på materialer: ganger du vekstfaktoren med seg selv, altså opphøyer den. Stiger prisen 4 %4\ \% i året i 55 år, blir det 1,0451{,}04^5, ikke 5⋅4 %=20 %5 \cdot 4\ \% = 20\ \%. Dette er akkurat regnestykket kompetansemålet ber deg gjøre MED DIGITALE VERKTØY: i et regneark setter du opp én rad per år med formelen «raden over ganget med vekstfaktoren» og drar den nedover, eller bruker en kalkulator-apps potensfunksjon direkte, i stedet for å regne hvert år for hånd.

Gjentatt endring

ny=gammel⋅vn\text{ny} = \text{gammel} \cdot v^n

Samlet vekstfaktor

vsamlet=v1⋅v2⋅…v_{\text{samlet}} = v_1 \cdot v_2 \cdot \ldots

0 25 50 75 100 125 Pris i prosent av start 100 Start 108 2 år 112 3 år 122 5 år Tid med 4 % årlig materialprisøkning

Tips

  • Ikke gang prosenten med antall år. 4 %4\ \% i 55 år er 1,0451{,}04^5, ikke 20 %20\ \%. Forskjellen vokser jo lengre tid det går.
  • Ved ulike endringer etter hverandre (f.eks. påslag ett år, rabatt neste) ganger du bare vekstfaktorene sammen.

Eksempel: Materialpris over fem år, regnet med regneark

En pall isolasjon koster 1 0001\ 000 kr i dag. Prisen har steget 4 %4\ \% i året de siste årene. Hva koster den om 55 år hvis trenden fortsetter?

Løsning:
  1. Prisen 1 0001\ 000 kr vokser 4 %4\ \% hvert år i 55 år
  2. vekstfaktoren for ett år er 1,041{,}04
  3. siden det skjer 55 ganger, opphøyer vi: 1,0451{,}04^5
  4. et regneark eller kalkulator gir 1,21671{,}2167
  5. gang med startprisen: 1 000⋅1,21671\ 000 \cdot 1{,}2167. Om fem år koster pallen ca. 1 2171\ 217 kr, altså 217217 kr mer enn i dag.
Manuell feil mot riktig regning
MetodeRegningResultat
Feil: 5 * 4 %1 000 * 1,201 200 kr
Riktig: 1,0451{,}04^51 000 * 1,2167ca. 1 217 kr
Alternativ forklaring/metode: Sett opp én rad per år

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark, år for år

I et regneark skriver du 1 0001\ 000 i første rad, og i neste rad formelen «raden over ganget med 1,041{,}04». Så drar du formelen nedover fem rader. Du får samme svar som med potensen, men ser i tillegg hvert enkelt år: nyttig når du skal budsjettere et prosjekt som strekker seg over flere år og vil se materialkostnaden underveis, ikke bare sluttsummen.

Regneark år for år
ÅrPris
01 000 kr
11 040 kr
2ca. 1 082 kr
3ca. 1 125 kr
4ca. 1 170 kr
5ca. 1 217 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva er vekstfaktoren for 4 %4\ \% prisvekst per år?

Vis fasit
  1. 4 prosent vekst
  2. 1+0,04=1 + 0{,}04 = 1,04
Vekstfaktor
VekstVekstfaktor
4 %1,04

L-42Hvordan regner du vekst over 33 år med vekstfaktor 1,041{,}04?

Vis fasit
  1. Vekstfaktor 1,04 gjentatt 3 ganger
  2. 1,0431{,}04^{3}
Gjentatt vekst
Antall årUttrykk
31,04³

L-432 0002\ 000 kr med vekstfaktor 1,051{,}05 i 22 år. Hvor mye? Svar i kroner.

Vis fasit
  1. 2 000 kr og vekstfaktor 1,05 i 2 år
  2. 2 000⋅1,1025=2\,000 \cdot 1{,}1025 = 2 205 kr
Vekst over 2 år
StartEtter 2 år
2 000 kr2 205 kr
Middels(3)

M-41En materialpris stiger 10 %10\ \% og settes så ned 10 %10\ \% igjen. Er prisen tilbake til start?

Vis fasit
  1. Opp 10 prosent og ned 10 prosent
  2. 1,10⋅0,90=0,991{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99
  3. nei, 1 % under start
Opp og ned
EndringSamlet faktor
+10 % og −10 %0,99, altså 1 % under start

M-4250 00050\ 000 kr i verktøybudsjett med 3 %3\ \% prisvekst i 55 år. Beløp omtrent?

Vis fasit
  1. 50 000 kr og 3 prosent i 5 år
  2. 1,035=1,15931{,}03^{5} = 1{,}1593
  3. 50 000⋅1,1593=50\,000 \cdot 1{,}1593 = ca. 57 964 kr
Vekst over 5 år
StartEtter 5 år
50 000 krca. 57 964 kr

M-43En maskin taper 15 %15\ \% av verdien i året. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit
  1. Tap på 15 prosent i året
  2. 1−0,15=1 - 0{,}15 = 0,85
Vekstfaktor ved verditap
TapVekstfaktor
15 %0,85
Vanskelig(3)

V-41En maskin til 200 000200\ 000 kr taper 15 %15\ \% i året. Verdi etter 44 år?

Vis fasit
  1. 200 000 kr og vekstfaktor 0,85 i 4 år
  2. 0,854=0,522000{,}85^{4} = 0{,}52200
  3. 200 000⋅0,52200=200\,000 \cdot 0{,}52200 = ca. 104 401 kr
Verdi etter 4 år
StartEtter 4 år
200 000 krca. 104 401 kr

V-42Hvor mange prosentpoeng mer gir 1,0451{,}04^5 enn 5⋅4 %5 \cdot 4\ \%, målt i prosent vekst?

Vis fasit
  1. 1,045=1,21671{,}04^{5} = 1{,}2167 (21,67 % vekst), mot 20 % ved enkel regning
  2. 21,67−20=21{,}67 - 20 = ca. 1,7 prosentpoeng mer
Rentes rente vs. enkel vekst
MetodeVekst
Enkel (5·4 %)20 %
Rentes rente (1,04⁵)21,7 %, 1,7 poeng mer

V-43Prisen på materialer stiger 6 %6\ \% og så 9 %9\ \% neste år. Hva er samlet vekstfaktor?

Vis fasit
  1. Opp 6 prosent og så 9 prosent
  2. 1,06⋅1,09=1{,}06 \cdot 1{,}09 = 1,1554, altså ca. 15,5 % samlet
Samlet vekstfaktor
EndringFaktor
+6 % og +9 %1,1554, ca. 15,5 %