Gjentatt prosentvis endring med digitalt verktøy

Skjer den samme prosentvise endringen flere ganger etter hverandre – for eksempel en årlig prisøkning på materialer – ganger du vekstfaktoren med seg selv, altså opphøyer den. Stiger prisen $4\ \%$ i året i $5$ år, blir det $1,04^5$ , ikke $5 \cdot 4\ \% = 20\ \%$ . Dette er akkurat regnestykket kompetansemålet ber deg gjøre MED DIGITALE VERKTØY: i et regneark setter du opp én rad per år med formelen «raden over ganget med vekstfaktoren» og drar den nedover, eller bruker en kalkulator-apps potensfunksjon direkte – i stedet for å regne hvert år for hånd.

Gjentatt endring

$\text{ny} = \text{gammel} \cdot v^n$

Samlet vekstfaktor

$v_{\text{samlet}} = v_1 \cdot v_2 \cdot \ldots$

Tips

Ikke gang prosenten med antall år. $4\ \%$ i $5$ år er $1{,}04^5$ , ikke $20\ \%$ – forskjellen vokser jo lengre tid det går.
Ved ulike endringer etter hverandre (f.eks. påslag ett år, rabatt neste) ganger du bare vekstfaktorene sammen.

Eksempel: Materialpris over fem år, regnet med regneark

En pall isolasjon koster $1\ 000$ kr i dag. Prisen har steget $4\ \%$ i året de siste årene. Hva koster den om $5$ år hvis trenden fortsetter?

Manuell feil mot riktig regning
Metode	Regning	Resultat
Feil: 5 * 4 %	1 000 * 1,20	1 200 kr
Riktig: $1,04^5$	1 000 * 1,2167	ca. 1 217 kr

Løsning:

Prisen $1\ 000$ kr vokser $4\ \%$ hvert år i $5$ år
vekstfaktoren for ett år er $1,04$
siden det skjer $5$ ganger, opphøyer vi: $1,04^5$
et regneark eller kalkulator gir $1,2167$
gang med startprisen: $1\ 000 \cdot 1,2167$ . Om fem år koster pallen ca. $1\ 217$ kr, altså $217$ kr mer enn i dag.

Alternativ forklaring/metode: Sett opp én rad per år

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark, år for år

I et regneark skriver du $1\ 000$ i første rad, og i neste rad formelen «raden over ganget med $1,04$ ». Så drar du formelen nedover fem rader. Du får samme svar som med potensen, men ser i tillegg hvert enkelt år – nyttig når du skal budsjettere et prosjekt som strekker seg over flere år og vil se materialkostnaden underveis, ikke bare sluttsummen.

Regneark år for år
År	Pris
0	1 000 kr
1	1 040 kr
5	ca. 1 217 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er vekstfaktoren for $4\ \%$ prisvekst per år?

Vis fasit

Vekstfaktor
Vekst	Vekstfaktor
4 %	1,04

4 prosent vekst
1 pluss 0,04 = 1,04

L-32Hvordan regner du vekst over

3

år med vekstfaktor

1,04

Vis fasit

Gjentatt vekst
Antall år	Uttrykk
3	1,04³

Vekstfaktor 1,04 gjentatt 3 ganger
1,04 opphøyd i 3

L-33

2\ 000

kr med vekstfaktor

1,05

2

år. Hvor mye?

Vis fasit

Vekst over 2 år
Start	Etter 2 år
2 000 kr	2 205 kr

2 000 kr og vekstfaktor 1,05 i 2 år
2 000 gange 1,1025 = 2 205 kr

Middels(3)

M-31En materialpris stiger

10\ \%

og settes så ned

10\ \%

igjen. Er prisen tilbake til start?

Vis fasit

Opp og ned
Endring	Samlet faktor
+10 % og −10 %	0,99, altså 1 % under start

Opp 10 prosent og ned 10 prosent
1,10 gange 0,90 = 0,99
nei, 1 % under start

M-32

50\ 000

kr i verktøybudsjett med

3\ \%

prisvekst i

5

år. Beløp omtrent?

Vis fasit

Vekst over 5 år
Start	Etter 5 år
50 000 kr	ca. 57 964 kr

50 000 kr og 3 prosent i 5 år
1,03 opphøyd i 5 = 1,1593
50 000 gange 1,1593 = ca. 57 964 kr

M-33En maskin taper

15\ \%

av verdien i året. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit

Vekstfaktor ved verditap
Tap	Vekstfaktor
15 %	0,85

Tap på 15 prosent i året
1 minus 0,15 = 0,85

Vanskelig(3)

V-31En maskin til

200\ 000

kr taper

15\ \%

i året. Verdi etter

4

år?

Vis fasit

Verdi etter 4 år
Start	Etter 4 år
200 000 kr	ca. 104 401 kr

200 000 kr og vekstfaktor 0,85 i 4 år
0,85 opphøyd i 4 = 0,52200
200 000 gange 0,52200 = ca. 104 401 kr

V-32Hvor mange prosentpoeng mer gir

1,04^5

enn

5 \cdot 4\ \%

, målt i prosent vekst?

Vis fasit

Rentes rente vs. enkel vekst
Metode	Vekst
Enkel (5·4 %)	20 %
Rentes rente (1,04⁵)	21,7 %, 1,7 poeng mer

1,04 opphøyd i 5 = 1,2167 (21,67 % vekst), mot 20 % ved enkel regning
21,67 minus 20 = ca. 1,7 prosentpoeng mer

V-33Prisen på materialer stiger

6\ \%

og så

9\ \%

neste år. Hva er samlet vekstfaktor?

Vis fasit

Samlet vekstfaktor
Endring	Faktor
+6 % og +9 %	1,1554, ca. 15,5 %

Opp 6 prosent og så 9 prosent
1,06 gange 1,09 = 1,1554, altså ca. 15,5 % samlet