NumiSum

Gjentatt prosentvis endring

Skjer den samme prosentvise endringen flere ganger etter hverandre, ganger du vekstfaktoren med seg selv, altså opphøyer den. Vokser noe 5 %5\ \% i året i 1010 år, blir det 1,05101{,}05^{10}, ikke 10⋅5 %=50 %10 \cdot 5\ \% = 50\ \%. Forskjellen kalles RENTES RENTE, og den er større enn folk flest tror: 1,0510≈1,631{,}05^{10} \approx 1{,}63, altså 63 %63\ \% vekst i stedet for 5050. Samme regel forklarer hvorfor en økning på 10 %10\ \% etterfulgt av et fall på 10 %10\ \% IKKE gir deg tilbake til start.

Gjentatt endring

ny=gammel⋅vn\text{ny} = \text{gammel} \cdot v^n

Samlet vekstfaktor

vsamlet=v1⋅v2⋅…v_{\text{samlet}} = v_1 \cdot v_2 \cdot \ldots

0 50 100 150 200 250 Verdi i prosent av start 100 Start 128 5 år 163 10 år 208 15 år Tid med 5 % årlig vekst

Tips

  • Ikke gang prosenten med antall år. 5 %5\ \% i 1010 år er 1,05101{,}05^{10}, ikke 50 %50\ \%. Forskjellen vokser jo lengre tid det går.
  • Ved ulike endringer etter hverandre ganger du bare vekstfaktorene sammen: opp 10 %10\ \% og så ned 10 %10\ \% blir 1,10⋅0,90=0,991{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99.

Eksempel: Rentes rente over ti år

Du setter 50 00050\ 000 kr i banken til 5 %5\ \% rente i året. Hvor mye står det etter 1010 år?

Løsning:
  1. Beløpet 50 00050\ 000 kr vokser 5 %5\ \% hvert år i 1010 år
  2. vekstfaktoren for ett år er 1,051{,}05
  3. siden det skjer 1010 ganger, opphøyer vi: 1,05101{,}05^{10}
  4. det gir 1,62891{,}6289
  5. gang med startbeløpet: 50 000⋅1,628950\ 000 \cdot 1{,}6289. Etter ti år står det ca. 81 44581\ 445 kr, altså over 31 00031\ 000 kr mer enn du satte inn.
Rentes rente mot enkel rente
MetodeRegningResultat
Feil: 10 * 5 %50 000 * 1,5075 000 kr
Riktig: 1,05101{,}05^{10}50 000 * 1,6289ca. 81 445 kr
Alternativ forklaring/metode: Sett opp én rad per år

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark, år for år

I et regneark skriver du 50 00050\ 000 i første rad, og i neste rad formelen «raden over ganget med 1,051{,}05». Så drar du formelen nedover ti rader. Du får samme svar som med potensen, men ser i tillegg hvert enkelt år, og du oppdager selv at tilveksten vokser år for år, fordi renta hvert år regnes av et større beløp. Potensformelen er raskere; regnearket er det som gjør at rentes rente slutter å være mystisk.

Regneark år for år
ÅrBeløp
050 000 kr
152 500 kr
10ca. 81 445 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva er vekstfaktoren for 5 %5\ \% vekst per år?

Vis fasit
  1. 5 prosent vekst
  2. 1+0,05=1 + 0{,}05 = 1,05
Vekstfaktor
VekstVekstfaktor
5 %1,05

L-42Hvordan regner du vekst over 33 år med vekstfaktor 1,051{,}05?

Vis fasit
  1. Vekstfaktor 1,05 gjentatt 3 ganger
  2. 1,0531{,}05^{3}
Gjentatt vekst
Antall årUttrykk
31,05³

L-431 0001\ 000 kr med vekstfaktor 1,101{,}10 i 22 år. Hvor mye? Svar i kroner.

Vis fasit
  1. 1 000 kr og vekstfaktor 1,10 i 2 år
  2. 1 000⋅1,21=1\,000 \cdot 1{,}21 = 1 210 kr
Vekst over 2 år
StartEtter 2 år
1 000 kr1 210 kr
Middels(3)

M-41En vare stiger 10 %10\ \% og settes så ned 10 %10\ \%. Er prisen tilbake til start?

Vis fasit
  1. Opp 10 prosent og ned 10 prosent
  2. 1,10⋅0,90=0,991{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99
  3. nei, 1 % under start
Opp og ned
EndringSamlet faktor
+10 % og −10 %0,99, altså 1 % under start

M-4220 00020\ 000 kr til 3 %3\ \% i 55 år. Hvor mye omtrent?

Vis fasit
  1. 20 000 kr og 3 prosent i 5 år
  2. 1,035=1,15931{,}03^{5} = 1{,}1593
  3. 20 000⋅1,1593=20\,000 \cdot 1{,}1593 = ca. 23 185 kr
Vekst over 5 år
StartEtter 5 år
20 000 krca. 23 185 kr

M-43En bil taper 15 %15\ \% av verdien i året. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit
  1. Tap på 15 prosent i året
  2. 1−0,15=1 - 0{,}15 = 0,85
Vekstfaktor ved verditap
TapVekstfaktor
15 %0,85
Vanskelig(3)

V-41En bil til 300 000300\ 000 kr taper 15 %15\ \% i året. Verdi etter 44 år?

Vis fasit
  1. 300 000 kr og vekstfaktor 0,85 i 4 år
  2. 0,854=0,522000{,}85^{4} = 0{,}52200
  3. 300 000⋅0,52200=300\,000 \cdot 0{,}52200 = ca. 156 601 kr
Verdi etter 4 år
StartEtter 4 år
300 000 krca. 156 601 kr

V-42Hvor mye mer gir 1,05101{,}05^{10} enn 10⋅5 %10 \cdot 5\ \%?

Vis fasit
  1. 1,0510=1,631{,}05^{10} = 1{,}63, mot 1,50 ved enkel rente
  2. 63−50=63 - 50 = 13 prosentpoeng mer
Rentes rente vs. enkel rente
MetodeVekst
Enkel (10·5 %)50 %
Rentes rente (1,05¹⁰)63 %, 13 poeng mer

V-43Prisen stiger 8 %8\ \% og så 12 %12\ \%. Hva er samlet vekstfaktor?

Vis fasit
  1. Opp 8 prosent og så 12 prosent
  2. 1,08⋅1,12=1{,}08 \cdot 1{,}12 = 1,2096, altså ca. 21 % samlet
Samlet vekstfaktor
EndringFaktor
+8 % og +12 %1,2096, ca. 21 %