Gjentatt prosentvis endring

Skjer den samme prosentvise endringen flere ganger etter hverandre, ganger du vekstfaktoren med seg selv – altså opphøyer den. Vokser noe $5\ \%$ i året i $10$ år, blir det $1,05^{10}$ , ikke $10 \cdot 5\ \% = 50\ \%$ . Forskjellen kalles RENTES RENTE, og den er større enn folk flest tror: $1,05^{10} \approx 1,63$ , altså $63\ \%$ vekst i stedet for $50$ . Samme regel forklarer hvorfor en økning på $10\ \%$ etterfulgt av et fall på $10\ \%$ IKKE gir deg tilbake til start.

Gjentatt endring

$\text{ny} = \text{gammel} \cdot v^n$

Samlet vekstfaktor

$v_{\text{samlet}} = v_1 \cdot v_2 \cdot \ldots$

Tips

Ikke gang prosenten med antall år. $5\ \%$ i $10$ år er $1{,}05^{10}$ , ikke $50\ \%$ – forskjellen vokser jo lengre tid det går.
Ved ulike endringer etter hverandre ganger du bare vekstfaktorene sammen: opp $10\ \%$ og så ned $10\ \%$ blir $1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99$ .

Eksempel: Rentes rente over ti år

Du setter $50\ 000$ kr i banken til $5\ \%$ rente i året. Hvor mye står det etter $10$ år?

Rentes rente mot enkel rente
Metode	Regning	Resultat
Feil: 10 * 5 %	50 000 * 1,50	75 000 kr
Riktig: $1,05^{10}$	50 000 * 1,6289	ca. 81 445 kr

Løsning:

Beløpet $50\ 000$ kr vokser $5\ \%$ hvert år i $10$ år
vekstfaktoren for ett år er $1,05$
siden det skjer $10$ ganger, opphøyer vi: $1,05^{10}$
det gir $1,6289$
gang med startbeløpet: $50\ 000 \cdot 1,6289$ . Etter ti år står det ca. $81\ 445$ kr, altså over $31\ 000$ kr mer enn du satte inn.

Alternativ forklaring/metode: Sett opp én rad per år

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark, år for år

I et regneark skriver du $50\ 000$ i første rad, og i neste rad formelen «raden over ganget med $1,05$ ». Så drar du formelen nedover ti rader. Du får samme svar som med potensen, men ser i tillegg hvert enkelt år – og du oppdager selv at tilveksten vokser år for år, fordi renta hvert år regnes av et større beløp. Potensformelen er raskere; regnearket er det som gjør at rentes rente slutter å være mystisk.

Regneark år for år
År	Beløp
0	50 000 kr
1	52 500 kr
10	ca. 81 445 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er vekstfaktoren for $5\ \%$ vekst per år?

Vis fasit

Vekstfaktor
Vekst	Vekstfaktor
5 %	1,05

5 prosent vekst
1 pluss 0,05 = 1,05

L-32Hvordan regner du vekst over

3

år med vekstfaktor

1,05

Vis fasit

Gjentatt vekst
Antall år	Uttrykk
3	1,05³

Vekstfaktor 1,05 gjentatt 3 ganger
1,05 opphøyd i 3

L-33

1\ 000

kr med vekstfaktor

1,10

2

år. Hvor mye?

Vis fasit

Vekst over 2 år
Start	Etter 2 år
1 000 kr	1 210 kr

1 000 kr og vekstfaktor 1,10 i 2 år
1 000 gange 1,21 = 1 210 kr

Middels(3)

M-31En vare stiger

10\ \%

og settes så ned

10\ \%

. Er prisen tilbake til start?

Vis fasit

Opp og ned
Endring	Samlet faktor
+10 % og −10 %	0,99, altså 1 % under start

Opp 10 prosent og ned 10 prosent
1,10 gange 0,90 = 0,99
nei, 1 % under start

M-32

20\ 000

kr til

3\ \%

5

år. Hvor mye omtrent?

Vis fasit

Vekst over 5 år
Start	Etter 5 år
20 000 kr	ca. 23 185 kr

20 000 kr og 3 prosent i 5 år
1,03 opphøyd i 5 = 1,1593
20 000 gange 1,1593 = ca. 23 185 kr

M-33En bil taper

15\ \%

av verdien i året. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit

Vekstfaktor ved verditap
Tap	Vekstfaktor
15 %	0,85

Tap på 15 prosent i året
1 minus 0,15 = 0,85

Vanskelig(3)

V-31En bil til

300\ 000

kr taper

15\ \%

i året. Verdi etter

4

år?

Vis fasit

Verdi etter 4 år
Start	Etter 4 år
300 000 kr	ca. 156 601 kr

300 000 kr og vekstfaktor 0,85 i 4 år
0,85 opphøyd i 4 = 0,52200
300 000 gange 0,52200 = ca. 156 601 kr

V-32Hvor mye mer gir

1,05^{10}

enn

10 \cdot 5\ \%

Vis fasit

Rentes rente vs. enkel rente
Metode	Vekst
Enkel (10·5 %)	50 %
Rentes rente (1,05¹⁰)	63 %, 13 poeng mer

1,05 opphøyd i 10 = 1,63, mot 1,50 ved enkel rente
63 minus 50 = 13 prosentpoeng mer

V-33Prisen stiger

8\ \%

og så

12\ \%

. Hva er samlet vekstfaktor?

Vis fasit

Samlet vekstfaktor
Endring	Faktor
+8 % og +12 %	1,2096, ca. 21 %

Opp 8 prosent og så 12 prosent
1,08 gange 1,12 = 1,2096, altså ca. 21 % samlet