Proporsjonale størrelser

To størrelser er proporsjonale når den ene alltid er det samme TALLET ganger den andre: $y = k \cdot x$ . Tallet $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten, og du finner den ved å dele: $k = \frac{y}{x}$ . Kjennetegnet er at forholdet mellom dem er likt uansett hvilket par du regner på, og at grafen blir en rett linje GJENNOM ORIGO. At linja går gjennom origo er avgjørende: null liter bensin må koste null kroner. En pris med startgebyr er derfor IKKE proporsjonal, selv om grafen er en rett linje.

Proporsjonalitet

$y = k \cdot x$

Konstanten

$k = \frac{y}{x}$

Pris = 22 * antall liter – rett linje gjennom origo

Tips

Test med to talpar: regn ut $\frac{y}{x}$ for begge. Får du samme tall, er sammenhengen proporsjonal.
Rett linje er ikke nok. Den må gå gjennom origo. Et fastledd (startgebyr, abonnement) ødelegger proporsjonaliteten.

Eksempel: Kjenne igjen og bruke proporsjonalitet

$4$ liter bensin koster $88$ kr. Er pris og mengde proporsjonale, og hva koster $15$ liter?

Løsning:

Vi har $4$ liter til $88$ kr
prisen per liter finner vi ved å dele: $88 : 4 = 22$
literprisen er den samme uansett mengde, og null liter koster null kroner, så sammenhengen ER proporsjonal med $k = 22$
formelen blir $y = 22x$
sett inn $x = 15$ : $22 \cdot 15$ . Femten liter koster $330$ kr.

Forholdet er likt i hver rad
Liter	Pris	Pris : liter
4	88 kr	22
10	220 kr	22
15	330 kr	22

Alternativ forklaring/metode: Finn verdien for én enhet først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Klassisk «gå veien om én»

I stedet for å sette opp en formel kan du regne ut hva ÉN enhet koster, og gange opp. Her: $88 : 4 = 22$ kr per liter, deretter $22 \cdot 15 = 330$ kr. Metoden er den samme regningen, men uten bokstaver, og den er ofte raskere på enkle oppgaver. Ulempen er at du ikke får skrevet ned sammenhengen, og da er det vanskeligere å svare på oppfølgingsspørsmål som «hvor mange liter får du for $500$ kr?».

Gå veien om én enhet
Steg	Verdi
Pris per liter	88 : 4 = 22 kr
15 liter	22 · 15 = 330 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva må være sant om grafen til to proporsjonale størrelser?

Vis fasit

Proporsjonalitet betyr y = $k \cdot x$
ved x = 0 blir y = 0
rett linje gjennom origo

Proporsjonalitet
x	y
0	0 (origo)

L-22 $3$ kg epler koster $60$ kr. Hva er kiloprisen? Svar i kroner.

Vis fasit

3 kg til 60 kr
$\frac{60}{3} =$ 20 kr per kg

Kilopris
Vekt	Pris
3 kg	60 kr
1 kg	20 kr

L-23I $y = 7x$ : hva er proporsjonalitetskonstanten?

Vis fasit

y = 7x har formen y = $k \cdot x$
k = 7

Proporsjonalitetskonstant
Formel	k
y = 7x	7

Middels(3)

M-21 $5$ liter maling dekker $30\ \text{m}^2$ . Hvor mye dekker $8$ liter? Svar i m².

Vis fasit

5 liter dekker 30 kvadratmeter
$\frac{30}{5} = 6$ per liter
$6 \cdot 8 =$ 48 m²

Maling
Liter	Dekker
5	30 m²
8	48 m²

M-22 $4$ kg kaffe koster $520$ kr. Hva koster $7$ kg? Svar i kroner.

Vis fasit

4 kg til 520 kr
$\frac{520}{4} = 130$ per kg
$130 \cdot 7 =$ 910 kr

Kaffe
Vekt	Pris
4 kg	520 kr
7 kg	910 kr

M-23Er $y = 3x + 10$ proporsjonal?

Vis fasit

y = 3x + 10 gir y = 10 når x = 0
linja går ikke gjennom origo
nei

Fastledd
Formel	y ved x=0
y = 3x + 10	10, ikke 0

Vanskelig(3)

V-21Bensin koster $22$ kr per liter. Hvor mange liter får du for $500$ kr? Svar i liter, avrundet til én desimal.

Vis fasit

22 kr per liter og 500 kr
$\frac{500}{22} =$ ca. 22,7 liter

Bensin
Beløp	Liter
500 kr	ca. 22,7

V-22En tabell viser $(2, 9)$ og $(5, 22)$ . Er størrelsene proporsjonale?

Vis fasit

$\frac{9}{2} = 4{,}5$ , men $\frac{22}{5} = 4{,}4$
forholdet er ikke likt
nei

Test av forhold
Punkt	y : x
(2, 9)	4,5
(5, 22)	4,4 (ulikt)

V-23En mobilavtale koster $99$ kr fast pluss $2$ kr per GB. Er pris og GB proporsjonale?

Vis fasit

99 kr påløper selv ved 0 GB
linja går ikke gjennom origo
nei, bare lineær

Mobilavtale
GB	Pris
0	99 kr (ikke 0)