Proporsjonale størrelser

To størrelser er proporsjonale når den ene alltid er det samme TALLET ganger den andre: $y = k \cdot x$ . Tallet $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten, og du finner den ved å dele: $k = \frac{y}{x}$ . Kjennetegnet er at forholdet mellom dem er likt uansett hvilket par du regner på – og at grafen blir en rett linje GJENNOM ORIGO. At linja går gjennom origo er avgjørende: null liter bensin må koste null kroner. En pris med startgebyr er derfor IKKE proporsjonal, selv om grafen er en rett linje.

Proporsjonalitet

$y = k \cdot x$

Konstanten

$k = \frac{y}{x}$

Pris = 22 * antall liter – rett linje gjennom origo

Tips

Test med to talpar: regn ut $\frac{y}{x}$ for begge. Får du samme tall, er sammenhengen proporsjonal.
Rett linje er ikke nok – den må gå gjennom origo. Et fastledd (startgebyr, abonnement) ødelegger proporsjonaliteten.

Eksempel: Kjenne igjen og bruke proporsjonalitet

$4$ liter bensin koster $88$ kr. Er pris og mengde proporsjonale, og hva koster $15$ liter?

Forholdet er likt i hver rad
Liter	Pris	Pris : liter
4	88 kr	22
10	220 kr	22
15	330 kr	22

Løsning:

Vi har $4$ liter til $88$ kr
prisen per liter finner vi ved å dele: $88 : 4 = 22$
literprisen er den samme uansett mengde, og null liter koster null kroner, så sammenhengen ER proporsjonal med $k = 22$
formelen blir $y = 22x$
sett inn $x = 15$ : $22 \cdot 15$ . Femten liter koster $330$ kr.

Alternativ forklaring/metode: Finn verdien for én enhet først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Klassisk «gå veien om én»

I stedet for å sette opp en formel kan du regne ut hva ÉN enhet koster, og gange opp. Her: $88 : 4 = 22$ kr per liter, deretter $22 \cdot 15 = 330$ kr. Metoden er den samme regningen, men uten bokstaver – og den er ofte raskere på enkle oppgaver. Ulempen er at du ikke får skrevet ned sammenhengen, og da er det vanskeligere å svare på oppfølgingsspørsmål som «hvor mange liter får du for $500$ kr?».

Gå veien om én enhet
Steg	Verdi
Pris per liter	88 : 4 = 22 kr
15 liter	22 · 15 = 330 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva må være sant om grafen til to proporsjonale størrelser?

Vis fasit

Proporsjonalitet
x	y
0	0 (origo)

Proporsjonalitet betyr y = k gange x
ved x = 0 blir y = 0
rett linje gjennom origo

L-12

3

kg epler koster

60

kr. Hva er kiloprisen?

Vis fasit

Kilopris
Vekt	Pris
3 kg	60 kr
1 kg	20 kr

3 kg til 60 kr
60 delt på 3 = 20 kr per kg

L-13I

y = 7x

: hva er proporsjonalitetskonstanten?

Vis fasit

Proporsjonalitetskonstant
Formel	k
y = 7x	7

y = 7x har formen y = k gange x
k = 7

Middels(3)

M-11

5

liter maling dekker

30\ \text{m}^2

. Hvor mye dekker

8

liter?

Vis fasit

Maling
Liter	Dekker
5	30 m²
8	48 m²

5 liter dekker 30 kvadratmeter
30 delt på 5 = 6 per liter
6 gange 8 = 48 m²

M-12

4

kg kaffe koster

520

kr. Hva koster

7

kg?

Vis fasit

Kaffe
Vekt	Pris
4 kg	520 kr
7 kg	910 kr

4 kg til 520 kr
520 delt på 4 = 130 per kg
130 gange 7 = 910 kr

M-13Er

y = 3x + 10

proporsjonal?

Vis fasit

Fastledd
Formel	y ved x=0
y = 3x + 10	10, ikke 0

y = 3x + 10 gir y = 10 når x = 0
linja går ikke gjennom origo
nei

Vanskelig(3)

V-11Bensin koster

22

kr per liter. Hvor mange liter får du for

500

kr?

Vis fasit

Bensin
Beløp	Liter
500 kr	ca. 22,7

22 kr per liter og 500 kr
500 delt på 22 = ca. 22,7 liter

V-12En tabell viser

(2, 9)

(5, 22)

. Er størrelsene proporsjonale?

Vis fasit

Test av forhold
Punkt	y : x
(2, 9)	4,5
(5, 22)	4,4 (ulikt)

9 delt på 2 = 4,5, men 22 delt på 5 = 4,4
forholdet er ikke likt
nei

V-13En mobilavtale koster

99

kr fast pluss

2

kr per GB. Er pris og GB proporsjonale?

Vis fasit

Mobilavtale
GB	Pris
0	99 kr (ikke 0)

99 kr påløper selv ved 0 GB
linja går ikke gjennom origo
nei, bare lineær