Omvendt proporsjonalitet

To størrelser er omvendt proporsjonale når PRODUKTET av dem er konstant: $x \cdot y = k$ , som også kan skrives $y = \frac{k}{x}$ . Dobler du den ene, halveres den andre. Typiske eksempler er arbeidere og tid ( $6$ malere bruker halvparten så lang tid som $3$ ), fart og reisetid, og antall personer som deler på en fast kostnad. Grafen er ikke en linje, men en kurve som nærmer seg aksene uten å nå dem – og den går aldri gjennom origo.

$x \cdot y = k$

Løst for y

$y = \frac{k}{x}$

Antall * tid = 12: dobbelt så mange gir halve tida

Tips

Test med to talpar: gang $x \cdot y$ for begge. Får du samme tall, er sammenhengen omvendt proporsjonal.
Spør deg selv: blir den andre størrelsen STØRRE eller MINDRE når den første øker? Større betyr proporsjonal, mindre betyr omvendt.

Eksempel: Malere og tid

$3$ malere bruker $8$ dager på et hus. Hvor lang tid bruker $6$ malere, om alle jobber like fort?

Produktet er likt i hver rad
Malere	Dager	Produkt
3	8	24
4	6	24
6	4	24

Løsning:

Vi har $3$ malere og $8$ dager
flere malere gir KORTERE tid, så dette er omvendt proporsjonalt
da er produktet konstant: $k = 3 \cdot 8 = 24$ (altså $24$ dagsverk til sammen)
med $6$ malere er $6 \cdot y = 24$
del begge sider på $6$ : $y = 24 : 6$ . Seks malere bruker $4$ dager, altså halvparten av tida – som stemmer med at antallet ble doblet.

Alternativ forklaring/metode: Regn ut den totale arbeidsmengden først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tenk i dagsverk

I stedet for å bruke formelen, tenk på hvor mye arbeid huset krever til sammen: $3$ malere i $8$ dager er $24$ dagsverk. Det tallet endrer seg ikke uansett hvor mange som jobber – det er nettopp konstanten $k$ . Deler du $24$ dagsverk på $6$ malere, får du $4$ dager. Metoden gir samme svar, men med en enhet du kan resonnere om, og den gjør det tydelig hvorfor produktet må være konstant.

Total arbeidsmengde
Steg	Verdi
Dagsverk totalt	3 · 8 = 24
Med 6 malere	24 : 6 = 4 dager

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er konstant ved omvendt proporsjonalitet?

Vis fasit

Omvendt proporsjonalitet
Konstant	Uttrykk
Produktet	x · y = k

Omvendt proporsjonalitet betyr at x gange y er fast
produktet

L-22

x \cdot y = 20

x = 4

. Hva er

y

Vis fasit

x · y = 20
x	y
4	5

x gange y = 20 og x = 4
y = 20 delt på 4 = 5

L-23Dobler du antall arbeidere, hva skjer med tida?

Vis fasit

Doblet antall
Arbeidere	Tid
x2	halvert

2 ganger så mange arbeidere
produktet er fast
tida halveres

Middels(3)

M-21

4

personer bruker

9

timer. Hvor lenge bruker

6

personer?

Vis fasit

Personer og tid
Personer	Timer
4	9
6	6

4 personer og 9 timer
produktet er 36
36 delt på 6 = 6 timer

M-22En reise tar

3

timer i

80

km/t. Hvor lang tid i

120

km/t?

Vis fasit

Fart og tid
Fart	Tid
80 km/t	3 t
120 km/t	2 t

3 timer i 80 km/t
strekningen er 240 km
240 delt på 120 = 2 timer

M-23

5

venner deler en regning på

1\ 500

kr. Hva betaler hver hvis de blir

6

Vis fasit

Deling av regning
Personer	Per person
5	300 kr
6	250 kr

1 500 kr delt på 5 er 300 kr, men med 6 personer
1 500 delt på 6 = 250 kr

Vanskelig(3)

V-21En tabell viser

(2, 18)

(6, 6)

. Hvilken type sammenheng?

Vis fasit

Test av produkt
Punkt	x · y
(2, 18)	36
(6, 6)	36 (likt)

2 gange 18 = 36 og 6 gange 6 = 36
produktet er likt
omvendt proporsjonal

V-22

8

maskiner bruker

15

timer. Hvor mange maskiner trengs for

10

timer?

Vis fasit

Maskiner og tid
Maskiner	Timer
8	15
12	10

8 maskiner og 15 timer
produktet er 120
120 delt på 10 = 12 maskiner

V-23Går grafen til

y = \frac{12}{x}

gjennom origo?

Vis fasit

y = 12/x ved x=0
x	Gyldig?
0	Nei, udefinert

Sett x = 0 i 12 delt på x
deling på 0 er ikke lov
nei, grafen når aldri origo