Omvendt proporsjonalitet

To størrelser er omvendt proporsjonale når PRODUKTET av dem er konstant: $x \cdot y = k$ , som også kan skrives $y = \frac{k}{x}$ . Dobler du den ene, halveres den andre. Typiske eksempler er arbeidere og tid ( $6$ malere bruker halvparten så lang tid som $3$ ), fart og reisetid, og antall personer som deler på en fast kostnad. Grafen er ikke en linje, men en kurve som nærmer seg aksene uten å nå dem, og den går aldri gjennom origo.

$x \cdot y = k$

Løst for y

$y = \frac{k}{x}$

Antall * tid = 12: dobbelt så mange gir halve tida

Tips

Test med to talpar: gang $x \cdot y$ for begge. Får du samme tall, er sammenhengen omvendt proporsjonal.
Spør deg selv: blir den andre størrelsen STØRRE eller MINDRE når den første øker? Større betyr proporsjonal, mindre betyr omvendt.

Eksempel: Malere og tid

$3$ malere bruker $8$ dager på et hus. Hvor lang tid bruker $6$ malere, om alle jobber like fort?

Løsning:

Vi har $3$ malere og $8$ dager
flere malere gir KORTERE tid, så dette er omvendt proporsjonalt
da er produktet konstant: $k = 3 \cdot 8 = 24$ (altså $24$ dagsverk til sammen)
med $6$ malere er $6 \cdot y = 24$
del begge sider på $6$ : $y = 24 : 6$ . Seks malere bruker $4$ dager, altså halvparten av tida, som stemmer med at antallet ble doblet.

Produktet er likt i hver rad
Malere	Dager	Produkt
3	8	24
4	6	24
6	4	24

Alternativ forklaring/metode: Regn ut den totale arbeidsmengden først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tenk i dagsverk

I stedet for å bruke formelen, tenk på hvor mye arbeid huset krever til sammen: $3$ malere i $8$ dager er $24$ dagsverk. Det tallet endrer seg ikke uansett hvor mange som jobber. Det er nettopp konstanten $k$ . Deler du $24$ dagsverk på $6$ malere, får du $4$ dager. Metoden gir samme svar, men med en enhet du kan resonnere om, og den gjør det tydelig hvorfor produktet må være konstant.

Total arbeidsmengde
Steg	Verdi
Dagsverk totalt	3 · 8 = 24
Med 6 malere	24 : 6 = 4 dager

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er konstant ved omvendt proporsjonalitet?

Vis fasit

Omvendt proporsjonalitet betyr at $x \cdot y$ er fast
produktet

Omvendt proporsjonalitet
Konstant	Uttrykk
Produktet	x · y = k

L-32 $x \cdot y = 20$ og $x = 4$ . Hva er $y$ ?

Vis fasit

$x \cdot y = 20$ og x = 4
y = $\frac{20}{4} =$ 5

x · y = 20
x	y
4	5

L-33Dobler du antall arbeidere, hva skjer med tida?

Vis fasit

2 ganger så mange arbeidere
produktet er fast
tida halveres

Doblet antall
Arbeidere	Tid
x2	halvert

Middels(3)

M-31 $4$ personer bruker $9$ timer. Hvor lenge bruker $6$ personer? Svar i timer.

Vis fasit

4 personer og 9 timer
produktet er 36
$\frac{36}{6} =$ 6 timer

Personer og tid
Personer	Timer
4	9
6	6

M-32En reise tar $3$ timer i $80$ km/t. Hvor lang tid i $120$ km/t? Svar i timer.

Vis fasit

3 timer i 80 km/t
strekningen er 240 km
$\frac{240}{120} =$ 2 timer

Fart og tid
Fart	Tid
80 km/t	3 t
120 km/t	2 t

M-33 $5$ venner deler en regning på $1\ 500$ kr. Hva betaler hver hvis de blir $6$ ? Svar i kroner.

Vis fasit

$\frac{1\,500\ \text{kr}}{5}$ er 300 kr, men med 6 personer
$\frac{1\,500}{6} =$ 250 kr

Deling av regning
Personer	Per person
5	300 kr
6	250 kr

Vanskelig(3)

V-31En tabell viser $(2, 18)$ og $(6, 6)$ . Hvilken type sammenheng?

Vis fasit

$2 \cdot 18 = 36$ og $6 \cdot 6 = 36$
produktet er likt
omvendt proporsjonal

Test av produkt
Punkt	x · y
(2, 18)	36
(6, 6)	36 (likt)

V-32 $8$ maskiner bruker $15$ timer. Hvor mange maskiner trengs for $10$ timer? Svar med bare tallet.

Vis fasit

8 maskiner og 15 timer
produktet er 120
$\frac{120}{10} =$ 12 maskiner

Maskiner og tid
Maskiner	Timer
8	15
12	10

V-33Går grafen til $y = \frac{12}{x}$ gjennom origo?

Vis fasit

Sett x = 0 i $\frac{12}{x}$
deling på 0 er ikke lov
nei, grafen når aldri origo

y = 12/x ved x=0
x	Gyldig?
0	Nei, udefinert