Eksamensoppgaver – Proporsjonalitet (1P)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Nedenfor er det beskrevet tre situasjoner. Avgjør for hver situasjon om de to størrelsene er proporsjonale størrelser, omvendt proporsjonale størrelser, eller verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser.

Husk å argumentere for alle tre svarene dine.

Situasjon A: Det koster 2 200 kroner å leie en badstue. Antallet personer som er med på å betale leien, og prisen per person, er …

Situasjon B: Når du kjøper brus, kan du ta tre flasker og betale for to. Antallet flasker du kjøper, og prisen du betaler for alle flaskene, er …

Situasjon C: Antallet porsjoner vaffelrøre du lager, og mengden mel du trenger, er …

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal klassifisere sammenhengen i hver av de tre situasjonene som proporsjonal, omvendt proporsjonal, eller ingen av delene.

Strategi og formel: For hver situasjon: sjekk om produktet av de to størrelsene er konstant (omvendt proporsjonal), om forholdet mellom dem er konstant (proporsjonal), eller om ingen av delene stemmer for ALLE mulige verdier.

Trinnvis utregning:

A) Pris per person $= \dfrac{2 200}{\text{antall personer}}$
produktet antall $\cdot$ pris per person $= 2 200$ er alltid konstant
omvendt proporsjonal. B) Ved 3 flasker betaler du for 2, men ved 1 eller 2 flasker betaler du full pris for hver – forholdet pris/antall er IKKE det samme for alle antall (f.eks. 1 flaske koster full pris per flaske, mens 6 flasker koster $\frac{2}{3}$ av full pris per flaske i snitt)
verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal. C) Dobbelt så mange porsjoner krever dobbelt så mye mel, tre ganger så mange porsjoner krever tre ganger så mye mel osv. – forholdet mel/porsjoner er konstant
proporsjonal.

Svar: A: omvendt proporsjonale størrelser. B: verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser. C: proporsjonale størrelser.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Alle tre situasjonene klassifisert riktig, med en begrunnelse som faktisk viser HVORFOR (konstant produkt, konstant forhold, eller ingen av delene) – ikke bare en påstand.
1/2	To av tre situasjoner riktig klassifisert og begrunnet, eller alle tre riktig klassifisert men uten begrunnelse.
0/2	Kun én eller ingen situasjon riktig klassifisert – typisk ved at situasjon B feilaktig kalles proporsjonal fordi «flere flasker koster mer» (sant, men ikke det samme som proporsjonalitet).

Sensor-tips

Situasjon B er den vanskeligste, og den som skiller de sterkeste elevene fra resten – mange vil kalle den proporsjonal fordi prisen øker med antallet, uten å sjekke om FORHOLDET faktisk er konstant for alle mulige antall.
Situasjon A krever at eleven ser at produktet (ikke forholdet) er det konstante tallet – en elev som prøver å vise konstant FORHOLD i A vil ikke lykkes, og det er nettopp poenget.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Beskriv en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Forklar hvorfor størrelsene er omvendt proporsjonale.

Tegn en graf som illustrerer sammenhengen mellom størrelsene. Marker tre punkter på grafen, og sett riktige koordinater på punktene.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Oppgaven er åpen – vi skal finne EN praktisk situasjon med to omvendt proporsjonale størrelser, begrunne hvorfor, og illustrere den med en graf med tre markerte punkter.

Strategi og formel: Velg en situasjon der et FAST totalbeløp eller en fast mengde fordeles på et varierende antall – da er produktet av de to størrelsene alltid det samme, som er selve kjennetegnet på omvendt proporsjonalitet.

Trinnvis utregning:

Eksempel: En gruppe skal dele en pizzaregning på $360$ kr likt mellom seg. La $x$ være antall personer og $y$ prisen per person i kroner. Da er $y = \dfrac{360}{x}$ , og produktet $x \cdot y = 360$ er konstant for alle $x$
Punkter på grafen: $(2, 180)$ , $(4, 90)$ , $(6, 60)$

Svar: Et gyldig eksempelsvar: antall personer og pris per person ved en fast regning på 360 kr, med grafen til $y = \frac{360}{x}$ gjennom punktene $(2, 180)$ , $(4, 90)$ og $(6, 60)$ . Grafen skal være en avtagende kurve (hyperbel), ikke en rett linje.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	En situasjon der de to størrelsene faktisk ER omvendt proporsjonale (fast produkt), en korrekt begrunnelse, og en riktig tegnet hyperbelgraf med tre punkter som stemmer med situasjonen.
1–2/3	En gyldig situasjon og begrunnelse, men grafen mangler, er tegnet som en rett linje, eller punktene stemmer ikke med den valgte situasjonen.
0/3	Situasjonen er i realiteten proporsjonal eller ingen av delene (f.eks. «pris og antall varer» uten et fast total-/mengdebeløp som fordeles).

Sensor-tips

Se etter at eleven har et FAST totalbeløp eller en fast mengde som fordeles – uten det blir situasjonen ofte proporsjonal eller udefinert i stedet for omvendt proporsjonal.
En vanlig feil er å tegne grafen som en rett, fallende linje i stedet for en hyperbel – en rett linje ville betydd at $y$ avtar med samme BELØP for hver økning i $x$ , ikke at PRODUKTET er konstant.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 3