Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.
Utdanningsdirektoratet
Vår 2019, Del 1 – Oppgave 3
Anne, Birger, Camilla og Daniel skulle primtallsfaktorisere tallet 84. Hvem av dem har gjort dette på riktig måte?
- Anne: 0⋅2⋅2⋅3⋅7
- Birger: 2⋅2⋅3⋅7
- Camilla: 2⋅3⋅3⋅7
- Daniel: 2⋅3⋅5⋅7
Vis løsningsforslag
Løsningsforslag
Hva skal vi finne? Vi skal finne hvem av de fire elevene som har primtallsfaktorisert 84 riktig.
Strategi og formel: Vi ganger sammen faktorene i hvert forslag og sjekker hvilket produkt som faktisk blir 84 – og at alle faktorene som er brukt, virkelig er primtall.
Trinnvis utregning:
- Anne: 0⋅2⋅2⋅3⋅7=0 (0 er dessuten ikke et primtall)
- Birger: 2⋅2⋅3⋅7=4⋅3⋅7=12⋅7=84
- Camilla: 2⋅3⋅3⋅7=6⋅3⋅7=18⋅7=126
- Daniel: 2⋅3⋅5⋅7=6⋅5⋅7=30⋅7=210
- kun Birgers produkt blir 84
Svar: Birger har faktorisert riktig (2⋅2⋅3⋅7=84).
Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)
| Poeng | Krav |
|---|
| 1/1 | Krysser av for Birger. |
| 0/1 | Krysser av for et annet alternativ. |
Sensor-tips
- Rask sjekk: gang sammen faktorene i hvert forslag og se hvilket som faktisk gir 84 – man trenger ikke faktorisere 84 fra bunnen av selv.
- Anne sitt forslag inneholder faktoren 0, som aldri kan være en primtallsfaktor – et raskt tegn på at det forslaget er feil, uten å gange ut noe som helst.
Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2019, Del 1, Oppgave 3
Utdanningsdirektoratet
Vår 2009, Del 2 – Oppgave 12
En matematiker som het Goldbach, antok i 1 742 at alle partall som er 4 eller større, kan skrives som summen av to primtall. For eksempel kan vi skrive 8=3+5 og 16=3+13 eller 16=5+11.
a) Vis at hvert av partallene 6, 14, 50 og 72 kan skrives som summen av to primtall.
b) 1) På hvor mange måter kan du skrive 24 som summen av to primtall?
- Velg et partall over 100, og skriv tallet som summen av to primtall.
Vis løsningsforslag
Løsningsforslag
Hva skal vi finne? Vi skal vise Goldbachs antakelse for fire konkrete partall, finne alle måter 24 kan skrives som en slik sum på, og selv finne et eksempel for et partall over 100.
Strategi og formel: Vi tester ut fra de minste primtallene (2, 3, 5, 7, 11, 13, …) og leter etter par som til sammen gir hvert partall. I b1) må vi lete systematisk gjennom alle par for å være sikre på at vi har funnet ALLE måtene, ikke bare én.
Trinnvis utregning:
- a) 6=3+3
- 14=3+11 (eller 7+7)
- 50=3+47 (eller 7+43, 13+37, 19+31)
- 72=5+67 (eller 11+61, 13+59, 19+53, 29+43, 31+41)
- b1) systematisk gjennomgang av 24: 5+19, 7+17, 11+13 – tre par, alle med primtall
- b2) velg f.eks. 102: 102=5+97, og både 5 og 97 er primtall
Svar: a) f.eks. 6=3+3, 14=3+11, 50=3+47, 72=5+67 b1) 24 kan skrives på 3 måter (5+19, 7+17, 11+13) b2) f.eks. 102 = 5 + 97
Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
| Poeng | Krav |
|---|
| 4/4 | Alle fire partallene i a) er vist med et gyldig par av primtall (2 poeng), riktig antall måter (3) er funnet i b1) med alle tre parene vist (1 poeng), og et gyldig eksempel for et partall over 100 er gitt i b2) (1 poeng). |
| 2/4 | a) er riktig løst med gyldige par for alle fire tallene, men b) mangler eller er feil – eller motsatt: b1) og b2) er riktige, men a) mangler et eller flere av tallene. |
| 0/4 | Ingen delspørsmål har et vist, gyldig primtallspar – kun påstander uten begrunnelse, eller feil svar. |
Sensor-tips
- Både a) og b) krever at eleven faktisk VISER paret av primtall – en påstand som «det går an» uten et konkret par gir ikke poeng.
- I b1) er det lett å glemme at rekkefølgen ikke teller: 5+19 og 19+5 er samme par, ikke to forskjellige måter – da blir svaret feil (for høyt).
Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 2, Oppgave 12