Primtall

Et primtall er et helt tall større enn 1 som bare er delelig med 1 og seg selv. Tallet 7 er et primtall, fordi ingenting annet enn 1 og 7 går opp i det. Tallet 8 er IKKE et primtall (kalles et sammensatt tall), fordi det også er delelig med 2 og 4. De første primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 …

Tips

Tallet 1 er hverken primtall eller sammensatt tall – det er et unntak. Definisjonen krever at tallet er STØRRE enn 1.
2 er det eneste partallet som er primtall. Alle andre partall er delelige med 2 (i tillegg til 1 og seg selv), så de er sammensatte.

Eksempel: Er 29 et primtall?

Sjekk om 29 er et primtall.

Er 29 delelig med et mindre primtall?
Test	Resultat
Delelig med 2?	Nei (oddetall)
Delelig med 3?	Nei (2+9=11)
Delelig med 5?	Nei (slutter ikke på 0 eller 5)
Konklusjon	29 er et primtall

Løsning:

Vi tester om 29 er delelig med tall mindre enn kvadratroten av 29 (omtrent 5,4): 29 er oddetall, ikke delelig med 2
tverrsummen $2 + 9 = 11$ er ikke delelig med 3
29 slutter ikke på 0 eller 5, så ikke delelig med 5
neste primtall å teste (7) er allerede større enn $\sqrt{29}$ . Ingen av tallene går opp, så 29 er et primtall.

Alternativ forklaring/metode: Sil bort de sammensatte tallene

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Eratosthenes' såld

I stedet for å teste ett og ett tall kan du finne ALLE primtall opp til en grense samtidig: skriv opp tallene fra 2 og oppover, stryk alle multipler av 2 (unntatt 2 selv), så alle multipler av 3 (unntatt 3 selv), og fortsett med neste tall som ikke er strøket. Tallene som blir igjen er primtall. Denne metoden (kalt Eratosthenes' såld) er raskere når du trenger mange primtall på én gang.

Eratosthenes' såld opp til 10
Tall	Status
2, 3, 5, 7	Beholdes (primtall)
4, 6, 8, 9, 10	Strykes (sammensatte)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Er 13 et primtall?

Vis fasit

Test	Resultat
Delelig med 2?	Nei
Delelig med 3?	Nei
Konklusjon	Ja, primtall

13 er kun delelig med 1 og 13
ja, primtall

L-12Er 15 et primtall?

Vis fasit

Test	Resultat
Delelig med 3?	Ja (15:3=5)
Konklusjon	Nei, sammensatt (3 * 5)

15 er delelig med 3 og 5, ikke bare 1 og 15
nei, sammensatt tall (3 * 5)

L-13List opp alle primtall mellom 10 og 20.

Vis fasit

Tall	Primtall?
11	Ja
13	Ja
15	Nei
17	Ja
19	Ja

Mellom 10 og 20: test hvert tall 11-19 for delelighet
de eneste uten andre faktorer enn 1 og seg selv er 11, 13, 17, 19

Middels(3)

M-11Er 51 et primtall?

Vis fasit

Test	Resultat
Delelig med 3?	Ja (tverrsum 6)
51 : 3	17
Konklusjon	Nei, sammensatt (3 * 17)

51: tverrsum 5 + 1 = 6, delelig med 3
51 : 3 = 17
nei, sammensatt tall (3 * 17)

M-12Er 1 et primtall?

Vis fasit

	Verdi
Tall	1
Status	Verken primtall eller sammensatt

Definisjonen krever et tall STØRRE enn 1
nei, 1 er et eget unntak

M-13Er 97 et primtall?

Vis fasit

Test	Resultat
Delelig med 2, 3, 5, 7?	Nei (ingen av dem)
Konklusjon	Ja, primtall

97 er ikke delelig med 2, 3, 5 eller 7 ( $\sqrt{97}$ ≈ 9,8, så disse er nok å teste)
ja, primtall

Vanskelig(3)

V-11Hvorfor er 2 det eneste partallet som er primtall?

Vis fasit

Partall	Status
4	Sammensatt (2*2)
6	Sammensatt (2*3)
2	Primtall (unntaket)

Ethvert partall over 2 kan skrives som 2 * noe > 1, altså har det minst tre faktorer (1, 2 og seg selv)
2 er unntaket fordi det ikke har noen slik ekstra faktor

V-12Finn alle primtall mellom 90 og 100.

Vis fasit

Tall	Primtall?
91	Nei (7*13)
93	Nei (3*31)
95	Nei (5*19)
97	Ja
99	Nei (9*11)

Mellom 90 og 100: 91=713, 93=331, 95=519, 99=911 er alle sammensatte
kun 97 er primtall

V-13Er 91 et primtall? (Det ser primtallsaktig ut ved første blikk.)

Vis fasit

Test	Resultat
Delelig med 7?	Ja (91:7=13)
Konklusjon	Nei, sammensatt (7 * 13)

91 : 7 = 13 nøyaktig
nei, sammensatt tall (7 * 13), en klassisk felle