Bruke primtallsfaktorisering i brøkregning

Primtallsfaktorisering gjør det enkelt å forkorte brøker helt: skriv teller og nevner som primtallsfaktorer, og stryk faktorene de har felles. Det gjør det også lett å finne minste felles multiplum (MFM) når du skal legge sammen brøker med ulik nevner – ta med hver primtallsfaktor det høyeste antall ganger den forekommer i noen av tallene.

Tips

Når du forkorter en brøk med primtallsfaktorisering, stryk ALLE felles primtallsfaktorer – ikke bare én. Hvis $\frac{18}{24}$ har felles faktorer 2 og 3, må begge strykes for å få brøken helt forkortet.
MFM (minste felles multiplum) er IKKE alltid produktet av de to tallene. For 12 og 18 er MFM 36, ikke $12 \cdot 18 = 216$ – bruk kun de primtallsfaktorene som faktisk trengs.

Eksempel: Forkorte en brøk helt

Forkort $\frac{18}{24}$ helt ved hjelp av primtallsfaktorisering.

Forkorte $\frac{18}{24}$ med primtallsfaktorisering
Tall	Primtallsfaktorer
18	2 * 3 * 3
24	2 * 2 * 2 * 3
Felles faktorer	2 * 3 = 6
Forkortet brøk	$\frac{3}{4}$

Løsning:

Vi primtallsfaktoriserer teller og nevner hver for seg, og stryker det de har felles: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ og $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
felles faktorer er én 2-er og én 3-er
igjen står $\frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$ , altså $\frac{3}{4}$ .

Alternativ forklaring/metode: Forkort litt om gangen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Gjenta forkorting

I stedet for å primtallsfaktorisere alt på én gang, kan du forkorte brøken gjentatte ganger med små tall du ser med det samme: $\frac{18}{24}$ forkortes først med 2 til $\frac{9}{12}$ , så med 3 til $\frac{3}{4}$ . Samme svar, men i flere små steg – nyttig hvis tallene er så store at et fullt faktortre føles tungvint.

Brøk	Steg
$\frac{18}{24}$	forkort med 2
$\frac{9}{12}$	forkort med 3
$\frac{3}{4}$	ferdig forkortet

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Forkort $\frac{6}{9}$ ved hjelp av felles faktor 3.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
6	2 * 3
9	3 * 3
Felles faktor	3
Forkortet	$rac{2}{3}$

6 = 23, 9 = 33
felles faktor 3 strykes
$\frac{2}{3}$

L-32Forkort $\frac{10}{15}$ ved hjelp av felles faktor 5.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
10	2 * 5
15	3 * 5
Felles faktor	5
Forkortet	$rac{2}{3}$

10 = 25, 15 = 35
felles faktor 5 strykes
$\frac{2}{3}$

L-33Forkort $\frac{4}{8}$ .

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
4	2 * 2
8	2 * 2 * 2
Felles faktorer	2 * 2
Forkortet	$rac{1}{2}$

4 = 22, 8 = 22*2
to felles 2-ere strykes
$\frac{1}{2}$

Middels(3)

M-31Forkort $\frac{12}{18}$ helt ved hjelp av primtallsfaktorisering.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
12	2 * 2 * 3
18	2 * 3 * 3
Felles faktorer	2 og 3
Forkortet	$rac{2}{3}$

12 = 223, 18 = 233
felles: 2 og 3
igjen: $\frac{2}{3}$
$\frac{2}{3}$

M-32Finn minste felles multiplum (MFM) av 8 og 12 ved hjelp av primtallsfaktorisering.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
8	2^3
12	2^2 * 3
MFM	2^3 * 3 = 24

8 = 2^3, 12 = 2^2 * 3
MFM tar høyeste potens av hver: 2^3 * 3 = 24

M-33Forkort

\frac{16}{40}

helt.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
16	2^4
40	2^3 * 5
Felles faktor	2^3 = 8
Forkortet	$rac{2}{5}$

16 = 2^4, 40 = 2^3 * 5
felles: 2^3 = 8
$\frac{16}{8}$ = 2, $\frac{40}{8}$ = 5
$\frac{2}{5}$

Vanskelig(3)

V-31Legg sammen $\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$ ved å finne MFM med primtallsfaktorisering.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
12	2^2 * 3
18	2 * 3^2
MFM	36
Sum	$rac{3}{36} + rac{2}{36} = rac{5}{36}$

12 = 2^23, 18 = 23^2
MFM = 2^2 * 3^2 = 36. $\frac{1}{12}$ = $\frac{3}{36}$ , $\frac{1}{18}$ = $\frac{2}{36}$
$\frac{3}{36}$ + $\frac{2}{36}$ = $\frac{5}{36}$

V-32Forkort $\frac{45}{75}$ helt ved hjelp av primtallsfaktorisering.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
45	3^2 * 5
75	3 * 5^2
Felles faktor	3 * 5 = 15
Forkortet	$rac{3}{5}$

45 = 3^25, 75 = 35^2
felles: 3*5=15
$\frac{45}{15}$ =3, $\frac{75}{15}$ =5
$\frac{3}{5}$

V-33Finn MFM av 9, 12 og 18 ved hjelp av primtallsfaktorisering.

Vis fasit

Tall	Primtallsfaktorer
9	3^2
12	2^2 * 3
18	2 * 3^2
MFM	2^2 * 3^2 = 36

9=3^2, 12=2^23, 18=23^2
høyeste potens av hver faktor: 2^2 * 3^2 = 36