Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 2 poeng

Hermann må betale for å parkere på jobb. Han kan velge mellom tre ulike parkeringsavtaler.

Avtale A: Fast pris per år 0 kroner, tillegg per dag han parkerer 50 kroner.

Avtale B: Fast pris per år 1 995 kroner, tillegg per dag han parkerer 30 kroner.

Avtale C: Fast pris per år 3 490 kroner, tillegg per dag han parkerer 24 kroner.

a) Sett opp en modell som beskriver alternativ A, en modell som beskriver alternativ B og en modell som beskriver alternativ C.

b) Hvor mange ganger må Hermann parkere i løpet av et år for at det skal lønne seg å velge avtale B?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sette opp tre uttrykk for årlig parkeringskostnad (a), og finne hvor mange parkeringsdager som skal til før avtale B blir billigere enn avtale A (b).

Strategi og formel: Kostnaden er fast pris pluss tillegg ganger antall dager, $n$ . For b) finner vi skjæringspunktet mellom uttrykket for A og uttrykket for B – det forteller ved hvilket antall dager de to avtalene koster akkurat det samme.

Trinnvis utregning:

a) $A(n) = 50n$
$B(n) = 1 995 + 30n$
$C(n) = 3 490 + 24n$
b) $A(n)=B(n)$ : $50n = 1 995+30n \Rightarrow 20n = 1 995 \Rightarrow n = 99{,}75$

Svar: a) $A(n)=50n$ , $B(n)=1 995+30n$ , $C(n)=3 490+24n$ (kroner, $n$ = antall dager parkert). b) Fra og med 100 ganger i løpet av året lønner det seg å velge avtale B framfor avtale A.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Alle tre modellene riktig satt opp i a), OG riktig skjæringspunkt (99,75, avrundet oppover til 100 hele dager) funnet i b).
1/2	Riktige modeller i a), men feil eller manglende skjæringspunkt i b), eller riktig skjæringspunkt uten at det er avrundet riktig til et helt antall dager.
0/2	Modellene i a) har fast pris og tillegg byttet om, eller b) sammenligner feil par av avtaler.

Sensor-tips

Svaret på 99,75 må rundes OPPOVER til 100 – ved 99 dager er avtale A fortsatt (marginalt) billigere; først fra og med 100 dager er B billigere.
En sterk besvarelse kan i tillegg nevne at avtale C blir enda billigere enn B for svært mange parkeringsdager (skjæringspunkt B og C rundt 249 dager) – dette er ikke påkrevd av oppgaveteksten, men viser god forståelse av at «billigst» avhenger av HVOR MANGE dager man ser på.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 2 poeng

Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han har systematisert oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.

Kolonne 1: «Hvor mye er 10 % av 50?» og «Hvor mye er 50 % av 10?»

Kolonne 2: «Hvor mye er 30 % av 12?» og «Hvor mye er 12 % av 30?»

Kolonne 3: «Hvor mye er 25 % av 8?» og «Hvor mye er 8 % av 25?»

Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal argumentere generelt for hvorfor « $a\ \%$ av $b$ » alltid gir samme svar som « $b\ \%$ av $a$ », for VILKÅRLIGE tall $a$ og $b$ – ikke bare bekrefte det for de tre konkrete parene.

Strategi og formel: Skriv begge uttrykkene generelt ved hjelp av bokstaver, og sammenlign dem. Prosent betyr «per hundre», så $a\ \%$ av $b$ kan skrives som en brøk ganget med $b$ .

Trinnvis utregning:

$a\ \% \text{ av } b = \dfrac{a}{100} \cdot b = \dfrac{ab}{100}$
$b\ \% \text{ av } a = \dfrac{b}{100} \cdot a = \dfrac{ab}{100}$
begge uttrykkene blir nøyaktig det samme produktet $\dfrac{ab}{100}$

Svar: Uttrykkene er alltid like fordi begge til slutt blir $\dfrac{ab}{100}$ – multiplikasjon er kommutativ ( $a \cdot b = b \cdot a$ ), så rekkefølgen på hvilket tall som er «prosenten» og hvilket som er «grunnlaget» spiller ingen rolle for sluttsvaret.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	En GENERELL argumentasjon med bokstaver ( $a$ og $b$ ) som viser at begge uttrykkene blir $\frac{ab}{100}$ , med en eksplisitt henvisning til at multiplikasjon er kommutativ.
1/2	Argumentasjonen sjekker kun de tre konkrete oppgaveparene fra teksten (viser at de gir samme svar), uten en generell begrunnelse med bokstaver som gjelder for ALLE tall.
0/2	Ingen reell argumentasjon, eller en påstand uten matematisk begrunnelse.

Sensor-tips

Dette er en ren generaliseringsoppgave (jf. § om «premisser og forutsetninger» – hvordan grunnlaget for en påstand kan utforskes) – full uttelling krever et bokstavargument som gjelder for ALLE $a$ og $b$ , ikke bare en bekreftelse på de tre gitte eksemplene.
Eleven trenger ikke bruke akkurat bokstavene $a$ og $b$ – ethvert konsistent generelt argument (for eksempel «prosenten deler alltid med 100, og det spiller ingen rolle hvilket tall som ganges først») skal godtas, så lenge det tydelig gjelder generelt og ikke bare for de tre konkrete parene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 3