Røtter og rotuttrykk

Kvadratroten er den motsatte regneoperasjonen av å opphøye i andre: $\sqrt{49} = 7$ fordi $7^2 = 49$ . På arbeidsplassen dukker kvadratroten opp hver gang du kjenner et AREAL og skal finne en SIDELENGDE – for eksempel når du vet at et kvadratisk lagerrom er $121\ \text{m}^2$ og skal vite hvor bredt rommet er. Røtter av tall som ikke er kvadrattall gir desimaltall som aldri tar slutt; da runder du av, og oppgir hvor mange desimaler du har brukt.

Kvadratrot

$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a$

Rot av produkt

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Kvadrattallene det lønner seg å kjenne
$n$	$n^2$	$\sqrt{n^2}$
5	25	5
8	64	8
11	121	11
13	169	13

Tips

Anslå før du taster: $\sqrt{175}$ må ligge mellom $13$ og $14$ , siden $13^2 = 169$ og $14^2 = 196$ . Får kalkulatoren et helt annet svar, har du tastet feil.
Kvadratroten av et negativt tall finnes ikke blant vanlige tall – ingen tall ganget med seg selv gir noe negativt.

Eksempel: Finne en sidelengde fra arealet

Et kvadratisk industrigulv er $175\ \text{m}^2$ . Hvor lang er hver side, rundet til én desimal?

Kontroll av svaret
Side	Side i andre	Nær 175?
13	169	litt under
13,2	174,24	nærmest
14	196	for høyt

Løsning:

Arealet $175\ \text{m}^2$ er oppgitt, og et kvadrat har areal $s \cdot s = s^2$
altså er $s^2 = 175$
for å finne $s$ tar vi kvadratroten: $s = \sqrt{175}$
anslå først: $13^2 = 169$ og $14^2 = 196$ , så svaret ligger like over $13$
kalkulatoren gir $13,228\ldots$ . Avrundet til én desimal er siden $13,2\ \text{m}$ .

Alternativ forklaring/metode: Skriv om til en enklere rot

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Primtallsfaktorisering under rottegnet

Er tallet under rottegnet ikke selv et kvadrattall, kan du likevel få et EKSAKT svar (ikke bare avrundet) ved å bryte det ned i en kvadrattall-del og en rest, ved hjelp av regelen $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . For $\sqrt{175}$ : skriv $175 = 25 \cdot 7$ , der $25$ ER et kvadrattall → $\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{7} = 5\sqrt7$ . Regner du ut $5\sqrt7$ på kalkulator, får du $13,228\ldots$ – nøyaktig samme tall som anslaget fant, men her står svaret eksakt som $5\sqrt7$ i stedet for bare avrundet.

Forenkle √175 med kvadrattallfaktor
Steg	Uttrykk
Finn en kvadrattallfaktor	$175=25\cdot7$
Del roten i to	$\sqrt{25}\cdot\sqrt7$
Regn ut kjent rot	$5\cdot\sqrt7$
Eksakt svar	$5\sqrt7$

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er $\sqrt{100}$ ?

Vis fasit

Kvadratrot av 100
Uttrykk	Verdi
Kvadratroten av 100	10

Kvadratroten av 100
hvilket tall ganget med seg selv gir 100
10

L-22Hva er

\sqrt{169}

Vis fasit

Kvadratrot av 169
Uttrykk	Verdi
Kvadratroten av 169	13

Kvadratroten av 169
13 gange 13 = 169
13

L-23Et kvadrat har areal

64\ \text{m}^2

. Hvor lang er siden?

Vis fasit

Sidelengde fra areal
Areal	Side
64 m²	8 m

Areal 64 kvadratmeter
siden er kvadratroten av 64 = 8 m

Middels(3)

M-21Mellom hvilke to hele tall ligger

\sqrt{90}

Vis fasit

Kvadratroten av 90
Grense	Verdi
9²	81
10²	100
Roten av 90	mellom 9 og 10

Kvadratroten av 90
9 i andre er 81 og 10 i andre er 100
mellom 9 og 10

M-22Et kvadratisk lagerrom er

121\ \text{m}^2

. Hvor mange meter list trengs rundt hele rommet?

Vis fasit

Omkrets
Størrelse	Verdi
Areal	121 m²
Side	11 m
Omkrets	44 m

Areal 121 kvadratmeter
siden er 11 m
omkrets = 4 gange 11 = 44 m

M-23Regn ut

\sqrt{4 \cdot 25}

Vis fasit

Rot av produkt
Steg	Verdi
Roten av 4 · roten av 25	2 · 5
Svar	10

Kvadratroten av 4 gange 25
roten av 4 er 2 og roten av 25 er 5
2 gange 5 = 10

Vanskelig(3)

V-21Et kvadratisk tak er

150\ \text{m}^2

. Finn siden med én desimal.

Vis fasit

Sidelengde fra areal
Areal	Side
150 m²	ca. 12,2 m

Areal 150 kvadratmeter
siden er kvadratroten av 150
ligger mellom 12 og 13
12,247…
ca. 12,2 m

V-22Finnes

\sqrt{-9}

blant vanlige tall?

Vis fasit

Kvadratroten av −9
Spørsmål	Svar
Finnes blant vanlige tall?	Nei

Kvadratroten av -9
ingen tall ganget med seg selv gir et negativt svar
nei

V-23Arealet dobles fra

40\ \text{m}^2

til

80\ \text{m}^2

. Dobles siden også?

Vis fasit

Dobling av areal
Areal	Side
40 m²	≈6,32 m
80 m²	≈8,94 m
Økning	ca. 41 %, ikke 100 %

Fra 40 til 80 kvadratmeter
sidene er roten av 40 ca. 6,32 og roten av 80 ca. 8,94
8,94 delt på 6,32 = 1,41
nei, siden øker ca. 41 %