NumiSum

Røtter og rotuttrykk

Kvadratroten er den motsatte regneoperasjonen av å opphøye i andre: 49=7\sqrt{49} = 7 fordi 72=497^2 = 49. På arbeidsplassen dukker kvadratroten opp hver gang du kjenner et AREAL og skal finne en SIDELENGDE, for eksempel når du vet at et kvadratisk lagerrom er 121 m2121\ \text{m}^2 og skal vite hvor bredt rommet er. Røtter av tall som ikke er kvadrattall gir desimaltall som aldri tar slutt; da runder du av, og oppgir hvor mange desimaler du har brukt.

Kvadratrot

a=b  ⟺  b2=a\sqrt{a} = b \iff b^2 = a

Rot av produkt

a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Kvadrattallene det lønner seg å kjenne
nnn2n^2n2\sqrt{n^2}
5255
8648
1112111
1316913

Tips

  • Anslå før du taster: 175\sqrt{175} må ligge mellom 1313 og 1414, siden 132=16913^2 = 169 og 142=19614^2 = 196. Får kalkulatoren et helt annet svar, har du tastet feil.
  • Kvadratroten av et negativt tall finnes ikke blant vanlige tall. Ingen tall ganget med seg selv gir noe negativt.

Eksempel: Finne en sidelengde fra arealet

Et kvadratisk industrigulv er 175 m2175\ \text{m}^2. Hvor lang er hver side, rundet til én desimal?

Løsning:
  1. Arealet 175 m2175\ \text{m}^2 er oppgitt, og et kvadrat har areal s⋅s=s2s \cdot s = s^2
  2. altså er s2=175s^2 = 175
  3. for å finne ss tar vi kvadratroten: s=175s = \sqrt{175}
  4. anslå først: 132=16913^2 = 169 og 142=19614^2 = 196, så svaret ligger like over 1313
  5. kalkulatoren gir 13,228…13{,}228\ldots. Avrundet til én desimal er siden 13,2 m13{,}2\ \text{m}.
Kontroll av svaret
SideSide i andreNær 175?
13169litt under
13,2174,24nærmest
14196for høyt

Se hvordan dette brukes i ditt fag

Bygg- og anleggsteknikk: Kvadratisk rom

Et kvadratisk rom har et gulvareal på 4949 m². Hvor lang er hver vegg?

Løsning:
  1. Arealet av et kvadrat er siden opphøyd i 2, så siden er 49\sqrt{49}
  2. 7⋅7=497 \cdot 7 = 49
  3. hver vegg er 77 m.
Teknologi- og industrifag: Kvadratisk stålplate

En kvadratisk stålplate har et areal på 2 5002\ 500 cm². Hvor lang er hver side?

Løsning:
  1. Siden er 2 500\sqrt{2\ 500}
  2. 50⋅50=2 50050 \cdot 50 = 2\ 500
  3. hver side er 5050 cm.
Restaurant- og matfag: Kvadratisk stekebrett

Et kvadratisk stekebrett har et areal på 900900 cm². Hvor lang er hver side?

Løsning:
  1. Siden er 900\sqrt{900}
  2. 30⋅30=90030 \cdot 30 = 900
  3. hver side er 3030 cm.
Frisør, blomster, interiør og eksponeringsdesign: Kvadratisk salongspeil

Et kvadratisk speil på salongen har et areal på 0,640{,}64 m². Hvor lang er hver side?

Løsning:
  1. Siden er 0,64\sqrt{0{,}64}
  2. 0,8⋅0,8=0,640{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64
  3. hver side er 0,80{,}8 m.
Alternativ forklaring/metode: Skriv om til en enklere rot

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Primtallsfaktorisering under rottegnet

Er tallet under rottegnet ikke selv et kvadrattall, kan du likevel få et EKSAKT svar (ikke bare avrundet) ved å bryte det ned i en kvadrattall-del og en rest, ved hjelp av regelen a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}. For 175\sqrt{175}: skriv 175=25⋅7175 = 25 \cdot 7, der 2525 ER et kvadrattall → 175=25⋅7=25⋅7=57\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{7} = 5\sqrt7. Regner du ut 575\sqrt7 på kalkulator, får du 13,228…13{,}228\ldots: nøyaktig samme tall som anslaget fant, men her står svaret eksakt som 575\sqrt7 i stedet for bare avrundet.

Forenkle √175 med kvadrattallfaktor
StegUttrykk
Finn en kvadrattallfaktor175=25⋅7175=25\cdot7
Del roten i to25⋅7\sqrt{25}\cdot\sqrt7
Regn ut kjent rot5⋅75\cdot\sqrt7
Eksakt svar575\sqrt7

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er 100\sqrt{100}?

Vis fasit
  1. Kvadratroten av 100
  2. hvilket tall ganget med seg selv gir 100
  3. 10
Kvadratrot av 100
UttrykkVerdi
Kvadratroten av 10010

L-22Hva er 169\sqrt{169}?

Vis fasit
  1. Kvadratroten av 169
  2. 13⋅13=16913 \cdot 13 = 169
  3. 13
Kvadratrot av 169
UttrykkVerdi
Kvadratroten av 16913

L-23Et kvadrat har areal 64 m264\ \text{m}^2. Hvor lang er siden? Svar i m.

Vis fasit
  1. Areal 64 kvadratmeter
  2. siden er 64=\sqrt{64} = 8 m
Sidelengde fra areal
ArealSide
64 m²8 m
Middels(3)

M-21Mellom hvilke to hele tall ligger 90\sqrt{90}?

Vis fasit
  1. Kvadratroten av 90
  2. 9 i andre er 81 og 10 i andre er 100
  3. mellom 9 og 10
Kvadratroten av 90
GrenseVerdi
9²81
10²100
Roten av 90mellom 9 og 10

M-22Et kvadratisk lagerrom er 121 m2121\ \text{m}^2. Hvor mange meter list trengs rundt hele rommet? Svar i m.

Vis fasit
  1. Areal 121 kvadratmeter
  2. siden er 11 m
  3. omkrets = 4⋅11=4 \cdot 11 = 44 m
Omkrets
StørrelseVerdi
Areal121 m²
Side11 m
Omkrets44 m

M-23Regn ut 4⋅25\sqrt{4 \cdot 25}.

Vis fasit
  1. Kvadratroten av 4⋅254 \cdot 25
  2. roten av 4 er 2 og roten av 25 er 5
  3. 2⋅5=2 \cdot 5 = 10
Rot av produkt
StegVerdi
Roten av 4 · roten av 252 · 5
Svar10
Vanskelig(3)

V-21Et kvadratisk tak er 150 m2150\ \text{m}^2. Finn siden med én desimal. Svar i meter med én desimal.

Vis fasit
  1. Areal 150 kvadratmeter
  2. siden er 150\sqrt{150}
  3. ligger mellom 12 og 13
  4. 12,247…
  5. ca. 12,2 m
Sidelengde fra areal
ArealSide
150 m²ca. 12,2 m

V-22Finnes −9\sqrt{-9} blant vanlige tall?

Vis fasit
  1. Kvadratroten av -9
  2. ingen tall ganget med seg selv gir et negativt svar
  3. nei
Kvadratroten av −9
SpørsmålSvar
Finnes blant vanlige tall?Nei

V-23Arealet dobles fra 40 m240\ \text{m}^2 til 80 m280\ \text{m}^2. Dobles siden også?

Vis fasit
  1. Fra 40 til 80 kvadratmeter
  2. sidene er roten av 40 ca. 6,32 og roten av 80 ca. 8,94
  3. 8,946,32=1,41\frac{8{,}94}{6{,}32} = 1{,}41
  4. nei, siden øker ca. 41 %
Dobling av areal
ArealSide
40 m²≈6,32 m
80 m²≈8,94 m
Økningca. 41 %, ikke 100 %