NumiSum

Potenser og potensregler i praksis

En potens er en kortform for gjentatt multiplikasjon: 252^5 betyr 2∗2∗2∗2∗2=322 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32. Tallet nede kalles GRUNNTALLET og tallet oppe EKSPONENTEN. De tre reglene du trenger følger direkte av det: ganger du potenser med samme grunntall, LEGGER du sammen eksponentene; deler du, TREKKER du fra. Og alt opphøyd i 00 er 11, fordi 2323=23−3=20\frac{2^3}{2^3} = 2^{3-3} = 2^0, og en brøk med like tall over og under er 11.

Multiplikasjon

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Divisjon

am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}

Negativ eksponent

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

De tre potensreglene
RegelEksempelSvar
am∗an=am+na^m * a^n = a^{m+n}34∗333^4 * 3^337=2 1873^7 = 2\ 187
am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}57:535^7 : 5^354=6255^4 = 625
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(24)3(2^4)^3212=4 0962^{12} = 4\ 096
a0=1a^0 = 1909^01

Tips

  • Reglene gjelder BARE når grunntallet er det samme. 34⋅723^4 \cdot 7^2 kan ikke slås sammen, der må du regne ut hver potens for seg.
  • En negativ eksponent betyr ikke et negativt svar. 4−2=1164^{-2} = \frac{1}{16}, altså et lite positivt tall.
  • Potenser på jobb. En maskin lager 24=162^4 = 16 deler i første time, og produksjonen dobles for hver time som går. Etter ytterligere tre timer lager den 24⋅23=24+3=27=1282^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128 deler i timen: samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Eksempel: Forenkle med potensreglene

Regn ut 58⋅5257\frac{5^8 \cdot 5^2}{5^7}.

Løsning:
  1. Vi ser at alt har samme grunntall 55, så reglene gjelder
  2. i telleren ganger vi, altså legger sammen eksponentene: 58⋅52=58+2=5105^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}
  3. så deler vi, altså trekker fra: 510:57=510−75^{10} : 5^7 = 5^{10-7}
  4. det gir 535^3
  5. og 53=5⋅5⋅55^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5. Svaret er 125125.
Steg for steg
StegUttrykk
Telleren58+2=5105^{8+2} = 5^{10}
Deler510−75^{10-7}
Forenklet535^3
Svar125

Se hvordan dette brukes i ditt fag

Elektro og datateknologi: Hvor mange verdier rommer et register?

Et 8-bits register i en mikrokontroller kan lagre 282^8 ulike verdier, og et 16-bits register kan lagre 2162^{16}. Hvor mange ganger flere verdier rommer 16-bits-registeret?

Løsning:
  1. Vi deler potenser med samme grunntall, så vi trekker fra eksponentene: 216:28=216−82^{16} : 2^8 = 2^{16-8}
  2. 28=2562^8 = 256
  3. 16-bits-registeret rommer 256 ganger så mange verdier.
Bygg- og anleggsteknikk: Betongvolum i en kubepilar

En kubeformet betongpilar har kantlengde 0,60{,}6 m. Hvor stort er volumet?

Løsning:
  1. Volumet av en kube er kantlengden opphøyd i 3: 0,63=0,6⋅0,6⋅0,60{,}6^3 = 0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6
  2. volumet er 0,2160{,}216 m³.
Helse- og oppvekstfag: Bakterievekst på en overflate

Bakterier på en overflate fordobler seg hver halvtime. Hvor mange ganger flere er det etter 3 timer?

Løsning:
  1. 3 timer er 66 perioder på 30 minutter, så antallet fordobles 66 ganger
  2. 26=642^6 = 64
  3. det er 64 ganger så mange bakterier.
Restaurant- og matfag: Surdeig som vokser

En surdeig fordobler volumet sitt hver time. Hvor mange ganger større er den etter 5 timer?

Løsning:
  1. Deigen fordobles 55 ganger
  2. 25=2⋅2⋅2⋅2⋅22^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
  3. den er 32 ganger større.
Alternativ forklaring/metode: Stryk like faktorer over og under brøkstreken

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Skriv ut faktorene

Husker du ikke reglene, skriv potensene ut som faktorer: 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅55⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} og stryk like mange femmere over og under. Du står igjen med tre femmere, altså 125125. Metoden er tungvint for store eksponenter, men den VISER hvorfor eksponentene trekkes fra, og da er regelen lettere å stole på.

Stryk like faktorer
TellerenNevneren
10 femmere7 femmere
Igjen3 femmere = 125

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er 434^3?

Vis fasit
  1. 434^{3} er 4 ganget med seg selv 3 ganger
  2. 4⋅4⋅4=4 \cdot 4 \cdot 4 = 64
4³
UttrykkVerdi
Grunntall4
Eksponent3
Svar64

L-12Hva er 10410^4?

Vis fasit
  1. 10410^{4}
  2. 10⋅10⋅10⋅10=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10 000
10⁴
UttrykkVerdi
10⁴10 000

L-13Hva er 606^0?

Vis fasit
  1. 606^{0}
  2. alt opphøyd i 0 er 1
6⁰
RegelSvar
Alt opphøyd i 01
Middels(3)

M-11Regn ut 23⋅252^3 \cdot 2^5.

Vis fasit
  1. 23⋅252^{3} \cdot 2^{5}
  2. samme grunntall, legg sammen: 3 + 5 = 8
  3. 28=2^{8} = 256
2³ · 2⁵
StegVerdi
Eksponentsum3 + 5 = 8
Svar2⁸ = 256

M-12Regn ut 67:656^7 : 6^5.

Vis fasit
  1. 6765\frac{6^{7}}{6^{5}}
  2. trekk fra: 7 - 5 = 2
  3. 62=6^{2} = 36
6⁷ : 6⁵
StegVerdi
Eksponentdifferanse7 − 5 = 2
Svar6² = 36

M-13Hva er 4−24^{-2}?

Vis fasit
  1. 4−24^{-2}
  2. 142\frac{1}{4^{2}}
  3. 116=\frac{1}{16} = 0,0625
4⁻²
StegVerdi
Snu1 : 4²
Svar1 : 16 = 0,0625
Vanskelig(3)

V-11Regn ut (32)3(3^2)^3.

Vis fasit
  1. 323^{2}, det hele opphøyd i 3
  2. gang eksponentene: 2⋅3=62 \cdot 3 = 6
  3. 36=3^{6} = 729
(3²)³
StegVerdi
Eksponentprodukt2 · 3 = 6
Svar3⁶ = 729

V-12Kan du forenkle 42⋅734^2 \cdot 7^3 med potensreglene?

Vis fasit
  1. Grunntallene 4 og 7 er ulike
  2. reglene gjelder ikke
  3. regn hver potens for seg: 16⋅343=5 48816 \cdot 343 = 5\,488
4² · 7³
GrunntallRegel gjelder?
4 og 7 (ulike)Nei, regn hver for seg: 5 488

V-13Regn ut 8484\frac{8^4}{8^4} på to måter.

Vis fasit
  1. 8484\frac{8^{4}}{8^{4}}
  2. med regelen: 4 - 4 = 0, altså 808^{0}
  3. og en brøk med likt over og under er 1
8⁴ : 8⁴
MetodeSvar
Eksponentregel (4−4=0)8⁰
Direkte brøk1