Røtter og rotuttrykk

Kvadratroten er den motsatte regneoperasjonen av å opphøye i andre: $\sqrt{49} = 7$ fordi $7^2 = 49$ . I praktiske oppgaver dukker kvadratroten opp hver gang du kjenner et AREAL og skal finne en SIDELENGDE – for eksempel når du vet at et kvadratisk gulv er $36\ \text{m}^2$ og skal vite hvor bredt rommet er. Røtter av tall som ikke er kvadrattall gir desimaltall som aldri tar slutt; da runder du av, og oppgir hvor mange desimaler du har brukt.

Kvadratrot

$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a$

Rot av produkt

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Kvadrattallene det lønner seg å kjenne
$n$	$n^2$	$\sqrt{n^2}$
4	16	4
7	49	7
10	100	10
12	144	12

Tips

Anslå før du taster: $\sqrt{50}$ må ligge mellom $7$ og $8$ , siden $7^2 = 49$ og $8^2 = 64$ . Får kalkulatoren et helt annet svar, har du tastet feil.
Kvadratroten av et negativt tall finnes ikke blant vanlige tall – ingen tall ganget med seg selv gir noe negativt.

Eksempel: Finne en sidelengde fra arealet

Et kvadratisk uteareal er $200\ \text{m}^2$ . Hvor lang er hver side, rundet til én desimal?

Kontroll av svaret
Side	Side i andre	Nær 200?
14	196	litt under
14,1	198,81	nærmest
15	225	for høyt

Løsning:

Arealet $200\ \text{m}^2$ er oppgitt, og et kvadrat har areal $s \cdot s = s^2$
altså er $s^2 = 200$
for å finne $s$ tar vi kvadratroten: $s = \sqrt{200}$
anslå først: $14^2 = 196$ og $15^2 = 225$ , så svaret ligger like over $14$
kalkulatoren gir $14,142\ldots$ . Avrundet til én desimal er siden $14,1\ \text{m}$ .

Alternativ forklaring/metode: Halvér intervallet

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Prøve seg fram systematisk

Uten kalkulator kan du finne $\sqrt{200}$ ved å innsnevre: du vet at svaret ligger mellom $14$ og $15$ . Prøv midt imellom, $14,5$ : $14,5^2 = 210,25$ , altså for høyt – svaret ligger mellom $14$ og $14,5$ . Prøv $14,2$ : $201,64$ , fortsatt litt for høyt. Prøv $14,1$ : $198,81$ . Hver runde halverer usikkerheten. Metoden er treig, men den viser at kvadratroten ikke er magi – bare det tallet som treffer.

Halvér intervallet
Forsøk	Kvadrat
14,5	210,25 (for høyt)
14,2	201,64 (for høyt)
14,1	198,81 (nærmest)

Alternativ forklaring/metode: Skriv om til en enklere rot

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Primtallsfaktorisering under rottegnet

Er tallet under rottegnet ikke selv et kvadrattall, kan du likevel få et EKSAKT svar (ikke bare avrundet) ved å bryte det ned i en kvadrattall-del og en rest, ved hjelp av regelen $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . For $\sqrt{200}$ : skriv $200 = 100 \cdot 2$ , der $100$ ER et kvadrattall → $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt2$ . Regner du ut $10\sqrt2$ på kalkulator, får du $14,142\ldots$ – nøyaktig samme tall som halvérings-metoden fant, men her står svaret eksakt som $10\sqrt2$ i stedet for bare avrundet.

Forenkle √200 med kvadrattallfaktor
Steg	Uttrykk
Finn en kvadrattallfaktor	$200=100\cdot2$
Del roten i to	$\sqrt{100}\cdot\sqrt2$
Regn ut kjent rot	$10\cdot\sqrt2$
Eksakt svar	$10\sqrt2$

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er $\sqrt{81}$ ?

Vis fasit

$\sqrt{81}$
Uttrykk	Verdi
$\sqrt{81}$	9

Kvadratroten av 81
hvilket tall ganget med seg selv gir 81
9

L-22Hva er $\sqrt{144}$ ?

Vis fasit

$\sqrt{144}$
Uttrykk	Verdi
$\sqrt{144}$	12

Kvadratroten av 144
12 gange 12 = 144
12

L-23Et kvadrat har areal $25\ \text{m}^2$ . Hvor lang er siden?

Vis fasit

Sidelengde fra areal
Areal	Side
25 m²	5 m

Areal 25 kvadratmeter
siden er kvadratroten av 25 = 5 m

Middels(3)

M-21Mellom hvilke to hele tall ligger

\sqrt{50}

Vis fasit

$\sqrt{50}$
Grense	Verdi
7²	49
8²	64
$\sqrt{50}$	mellom 7 og 8

Kvadratroten av 50
7 i andre er 49 og 8 i andre er 64
mellom 7 og 8

M-22Et kvadratisk rom er $36\ \text{m}^2$ . Hvor mange meter lister trengs rundt hele rommet?

Vis fasit

Omkrets
Størrelse	Verdi
Areal	36 m²
Side	6 m
Omkrets	24 m

Areal 36 kvadratmeter
siden er 6 m
omkrets = 4 gange 6 = 24 m

M-23Regn ut

\sqrt{9 \cdot 16}

Vis fasit

$\sqrt{9 \cdot 16}$
Steg	Verdi
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{16}$	3 · 4
Svar	12

Kvadratroten av 9 gange 16
roten av 9 er 3 og roten av 16 er 4
3 gange 4 = 12

Vanskelig(3)

V-21Et kvadratisk tak er $120\ \text{m}^2$ . Finn siden med én desimal.

Vis fasit

Sidelengde fra areal
Areal	Side
120 m²	ca. 11,0 m

Areal 120 kvadratmeter
siden er kvadratroten av 120
ligger mellom 10 og 11
10,954…
ca. 11,0 m

V-22Finnes

\sqrt{-4}

blant vanlige tall?

Vis fasit

$\sqrt{-4}$
Spørsmål	Svar
Finnes blant vanlige tall?	Nei

Kvadratroten av -4
ingen tall ganget med seg selv gir et negativt svar
nei

V-23Arealet dobles fra

50\ \text{m}^2

til

100\ \text{m}^2

. Dobles siden også?

Vis fasit

Dobling av areal
Areal	Side
50 m²	≈7,07 m
100 m²	10 m
Økning	ca. 41 %, ikke 100 %

Fra 50 til 100 kvadratmeter
sidene er roten av 50 ca. 7,07 og roten av 100 = 10
10 delt på 7,07 = 1,41
nei, siden øker ca. 41 %