Røtter og rotuttrykk

Kvadratroten er den motsatte regneoperasjonen av å opphøye i andre: $\sqrt{49} = 7$ fordi $7^2 = 49$ . I praktiske oppgaver dukker kvadratroten opp hver gang du kjenner et AREAL og skal finne en SIDELENGDE, for eksempel når du vet at et kvadratisk gulv er $36\ \text{m}^2$ og skal vite hvor bredt rommet er. Røtter av tall som ikke er kvadrattall gir desimaltall som aldri tar slutt; da runder du av, og oppgir hvor mange desimaler du har brukt.

Kvadratrot

$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a$

Rot av produkt

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Kvadrattallene det lønner seg å kjenne
$n$	$n^2$	$\sqrt{n^2}$
4	16	4
7	49	7
10	100	10
12	144	12

Tips

Anslå før du taster: $\sqrt{50}$ må ligge mellom $7$ og $8$ , siden $7^2 = 49$ og $8^2 = 64$ . Får kalkulatoren et helt annet svar, har du tastet feil.
Kvadratroten av et negativt tall finnes ikke blant vanlige tall. Ingen tall ganget med seg selv gir noe negativt.

Eksempel: Finne en sidelengde fra arealet

Et kvadratisk uteareal er $200\ \text{m}^2$ . Hvor lang er hver side, rundet til én desimal?

Løsning:

Arealet $200\ \text{m}^2$ er oppgitt, og et kvadrat har areal $s \cdot s = s^2$
altså er $s^2 = 200$
for å finne $s$ tar vi kvadratroten: $s = \sqrt{200}$
anslå først: $14^2 = 196$ og $15^2 = 225$ , så svaret ligger like over $14$
kalkulatoren gir $14{,}142\ldots$ . Avrundet til én desimal er siden $14{,}1\ \text{m}$ .

Kontroll av svaret
Side	Side i andre	Nær 200?
14	196	litt under
14,1	198,81	nærmest
15	225	for høyt

Alternativ forklaring/metode: Halvér intervallet

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Prøve seg fram systematisk

Uten kalkulator kan du finne $\sqrt{200}$ ved å innsnevre: du vet at svaret ligger mellom $14$ og $15$ . Prøv midt imellom, $14{,}5$ : $14{,}5^2 = 210{,}25$ , altså for høyt. Svaret ligger mellom $14$ og $14{,}5$ . Prøv $14{,}2$ : $201{,}64$ , fortsatt litt for høyt. Prøv $14{,}1$ : $198{,}81$ . Hver runde halverer usikkerheten. Metoden er treig, men den viser at kvadratroten ikke er magi. Bare det tallet som treffer.

Halvér intervallet
Forsøk	Kvadrat
14,5	210,25 (for høyt)
14,2	201,64 (for høyt)
14,1	198,81 (nærmest)

Alternativ forklaring/metode: Skriv om til en enklere rot

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Primtallsfaktorisering under rottegnet

Er tallet under rottegnet ikke selv et kvadrattall, kan du likevel få et EKSAKT svar (ikke bare avrundet) ved å bryte det ned i en kvadrattall-del og en rest, ved hjelp av regelen $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . For $\sqrt{200}$ : skriv $200 = 100 \cdot 2$ , der $100$ ER et kvadrattall → $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt2$ . Regner du ut $10\sqrt2$ på kalkulator, får du $14{,}142\ldots$ : nøyaktig samme tall som halvérings-metoden fant, men her står svaret eksakt som $10\sqrt2$ i stedet for bare avrundet.

Forenkle √200 med kvadrattallfaktor
Steg	Uttrykk
Finn en kvadrattallfaktor	$200=100\cdot2$
Del roten i to	$\sqrt{100}\cdot\sqrt2$
Regn ut kjent rot	$10\cdot\sqrt2$
Eksakt svar	$10\sqrt2$

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er $\sqrt{81}$ ?

Vis fasit

Kvadratroten av 81
hvilket tall ganget med seg selv gir 81
9

$\sqrt{81}$
Uttrykk	Verdi
$\sqrt{81}$	9

L-32Hva er $\sqrt{144}$ ?

Vis fasit

Kvadratroten av 144
$12 \cdot 12 = 144$
12

$\sqrt{144}$
Uttrykk	Verdi
$\sqrt{144}$	12

L-33Et kvadrat har areal $25\ \text{m}^2$ . Hvor lang er siden? Svar i m.

Vis fasit

Areal 25 kvadratmeter
siden er $\sqrt{25} =$ 5 m

Sidelengde fra areal
Areal	Side
25 m²	5 m

Middels(3)

M-31Mellom hvilke to hele tall ligger $\sqrt{50}$ ?

Vis fasit

Kvadratroten av 50
7 i andre er 49 og 8 i andre er 64
mellom 7 og 8

$\sqrt{50}$
Grense	Verdi
7²	49
8²	64
$\sqrt{50}$	mellom 7 og 8

M-32Et kvadratisk rom er $36\ \text{m}^2$ . Hvor mange meter lister trengs rundt hele rommet? Svar i m.

Vis fasit

Areal 36 kvadratmeter
siden er 6 m
omkrets = $4 \cdot 6 =$ 24 m

Omkrets
Størrelse	Verdi
Areal	36 m²
Side	6 m
Omkrets	24 m

M-33Regn ut $\sqrt{9 \cdot 16}$ .

Vis fasit

Kvadratroten av $9 \cdot 16$
roten av 9 er 3 og roten av 16 er 4
$3 \cdot 4 =$ 12

$\sqrt{9 \cdot 16}$
Steg	Verdi
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{16}$	3 · 4
Svar	12

Vanskelig(3)

V-31Et kvadratisk tak er $120\ \text{m}^2$ . Finn siden med én desimal. Svar i meter med én desimal.

Vis fasit

Areal 120 kvadratmeter
siden er $\sqrt{120}$
ligger mellom 10 og 11
10,954…
ca. 11,0 m

Sidelengde fra areal
Areal	Side
120 m²	ca. 11,0 m

V-32Finnes $\sqrt{-4}$ blant vanlige tall?

Vis fasit

Kvadratroten av -4
ingen tall ganget med seg selv gir et negativt svar
nei

$\sqrt{-4}$
Spørsmål	Svar
Finnes blant vanlige tall?	Nei

V-33Arealet dobles fra $50\ \text{m}^2$ til $100\ \text{m}^2$ . Dobles siden også?

Vis fasit

Fra 50 til 100 kvadratmeter
sidene er roten av 50 ca. 7,07 og roten av 100 = 10
$\frac{10}{7{,}07} = 1{,}41$
nei, siden øker ca. 41 %

Dobling av areal
Areal	Side
50 m²	≈7,07 m
100 m²	10 m
Økning	ca. 41 %, ikke 100 %