Potenser og potensregler i praksis

En potens er en kortform for gjentatt multiplikasjon: $2^5$ betyr $2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32$ . Tallet nede kalles GRUNNTALLET og tallet oppe EKSPONENTEN. De tre reglene du trenger følger direkte av det: ganger du potenser med samme grunntall, LEGGER du sammen eksponentene; deler du, TREKKER du fra. Og alt opphøyd i $0$ er $1$ – fordi $\frac{2^3}{2^3} = 2^{3-3} = 2^0$ , og en brøk med like tall over og under er $1$ .

Multiplikasjon

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Divisjon

$a^m : a^n = a^{m-n}$

Negativ eksponent

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

De tre potensreglene
Regel	Eksempel	Svar
$a^m * a^n = a^{m+n}$	$2^3 * 2^4$	$2^7 = 128$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$2^6 : 2^2$	$2^4 = 16$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(2^3)^2$	$2^6 = 64$
$a^0 = 1$	$7^0$	1

Tips

Reglene gjelder BARE når grunntallet er det samme. $2^3 \cdot 5^2$ kan ikke slås sammen – der må du regne ut hver potens for seg.
En negativ eksponent betyr ikke et negativt svar. $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , altså et lite positivt tall.
Nyttig sjekk-triks: $2^{10} \approx 10^3$ (1 024 mot 1 000, kun 2,4 % avvik). Bruk det til å sjekke om et kalkulatorsvar med store toerpotenser er rimelig – fikk du i stedet 102 eller 10 240, er noe galt.

Eksempel: Forenkle med potensreglene

Regn ut $\frac{2^7 \cdot 2^3}{2^8}$ .

Steg for steg
Steg	Uttrykk
Telleren	$2^{7+3} = 2^{10}$
Deler	$2^{10-8}$
Forenklet	$2^2$
Svar	4

Løsning:

Vi ser at alt har samme grunntall $2$ , så reglene gjelder
i telleren ganger vi, altså legger sammen eksponentene: $2^7 \cdot 2^3 = 2^{7+3} = 2^{10}$
så deler vi, altså trekker fra: $2^{10} : 2^8 = 2^{10-8}$
det gir $2^2$
og $2^2 = 2 \cdot 2$ . Svaret er $4$ .

Alternativ forklaring/metode: Stryk like faktorer over og under brøkstreken

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Skriv ut faktorene

Husker du ikke reglene, skriv potensene ut som faktorer: $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$ og stryk like mange toere over og under. Du står igjen med to toere, altså $4$ . Metoden er tungvint for store eksponenter, men den VISER hvorfor eksponentene trekkes fra – og da er regelen lettere å stole på.

Stryk like faktorer
Telleren	Nevneren
10 toere	8 toere
Igjen	2 toere = 4

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er $2^5$ ?

Vis fasit

2⁵
Uttrykk	Verdi
Grunntall	2
Eksponent	5
Svar	32

2 opphøyd i 5 er 2 ganget med seg selv 5 ganger
2 gange 2 gange 2 gange 2 gange 2 = 32

L-12Hva er

10^3

Vis fasit

10³
Uttrykk	Verdi
10³	1 000

10 opphøyd i 3
10 gange 10 gange 10 = 1 000

L-13Hva er

9^0

Vis fasit

9⁰
Regel	Svar
Alt opphøyd i 0	1

9 opphøyd i 0
alt opphøyd i 0 er 1

Middels(3)

M-11Regn ut

3^2 \cdot 3^4

Vis fasit

3² · 3⁴
Steg	Verdi
Eksponentsum	2 + 4 = 6
Svar	3⁶ = 729

3 opphøyd i 2 gange 3 opphøyd i 4
samme grunntall, legg sammen: 2 + 4 = 6
3 opphøyd i 6 = 729

M-12Regn ut

5^6 : 5^4

Vis fasit

5⁶ : 5⁴
Steg	Verdi
Eksponentdifferanse	6 − 4 = 2
Svar	5² = 25

5 opphøyd i 6 delt på 5 opphøyd i 4
trekk fra: 6 - 4 = 2
5 opphøyd i 2 = 25

M-13Hva er

2^{-3}

Vis fasit

2⁻³
Steg	Verdi
Snu	1 / 2³
Svar	$\frac{1}{8}$ = 0,125

2 opphøyd i minus 3
1 delt på 2 opphøyd i 3
1 delt på 8 = 0,125

Vanskelig(3)

V-11Regn ut $(4^2)^3$ .

Vis fasit

(4²)³
Steg	Verdi
Eksponentprodukt	2 · 3 = 6
Svar	4⁶ = 4 096

4 opphøyd i 2, det hele opphøyd i 3
gang eksponentene: 2 gange 3 = 6
4 opphøyd i 6 = 4 096

V-12Kan du forenkle

2^3 \cdot 5^2

med potensreglene?

Vis fasit

2³ · 5²
Grunntall	Regel gjelder?
2 og 5 (ulike)	Nei, regn hver for seg: 200

Grunntallene 2 og 5 er ulike
reglene gjelder ikke
regn hver potens for seg: 8 gange 25 = 200

V-13Regn ut

\frac{6^5}{6^5}

på to måter.

Vis fasit

6⁵ / 6⁵
Metode	Svar
Eksponentregel (5−5=0)	6⁰
Direkte brøk	1

6 opphøyd i 5 delt på 6 opphøyd i 5
med regelen: 5 - 5 = 0, altså 6 opphøyd i 0
og en brøk med likt over og under er 1