Parameterframstilling av kurver

En parameterframstilling av en KURVE skriver $x$ og $y$ som funksjoner av $t$ , akkurat som for en linje – men nå kan funksjonene være ikke-lineære. Punktet $(x(t), y(t))$ tegner da en kurve i planet etter hvert som $t$ endrer seg. For å finne den vanlige likningen til kurven (uten $t$ ), ELIMINERER du parameteren: løs én av likningene for $t$ (eller bruk en kjent identitet), og sett inn i den andre. For sirkelen $x = r\cos t$ , $y = r\sin t$ gir identiteten $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ nettopp likningen $x^2 + y^2 = r^2$ – sirkelen du kjenner fra geometrien.

Parameterframstilling av en sirkel med radius r

$x = r\cos t, \quad y = r\sin t$

Identiteten som eliminerer t for sirkelen

$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$

Fra parameterframstilling til vanlig likning
Steg	Gjør dette
1	Finn et uttrykk eller en identitet som fjerner t
2	Sett inn i den andre likningen (eller kombiner)
3	Forenkle til en likning i kun x og y

Tips

Sjekk om $t$ har en NATURLIG begrensning (som $0 \leq t \leq 2\pi$ for én runde langs sirkelen) – den vanlige likningen $x^2+y^2=r^2$ husker ikke denne begrensningen alene, så noter den ved siden av.
Ikke alle kurver elimineres med en trigonometrisk identitet. Er $x(t)$ enkel å løse for $t$ (som $x = t$ ), er direkte innsetting ofte raskest.

Eksempel: Fra parameterframstilling til sirkellikning

Vis at parameterframstillingen $x = 5\cos t$ , $y = 5\sin t$ beskriver en sirkel, og finn likningen til sirkelen.

Eliminere t med cos²+sin²=1
Steg	Uttrykk
x² = 25cos²t	kvadrer x-likningen
y² = 25sin²t	kvadrer y-likningen
x² + y² = 25(cos²t + sin²t)	legg sammen
x² + y² = 25	cos²t + sin²t = 1

Løsning:

Vi vil fjerne $t$ fra $x = 5\cos t$ , $y = 5\sin t$ , og vet at $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ alltid gjelder
kvadrer begge likningene: $x^2 = 25\cos^2 t$ og $y^2 = 25\sin^2 t$
legg dem sammen: $x^2 + y^2 = 25\cos^2 t + 25\sin^2 t = 25(\cos^2 t + \sin^2 t)$
bruk identiteten: $25(\cos^2 t + \sin^2 t) = 25 \cdot 1 = 25$ . Parameterframstillingen beskriver sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ , med radius $5$ .

Alternativ forklaring/metode: Løs for t når x(t) er enkel å invertere

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Direkte innsetting for enklere kurver

Ikke alle kurver trenger en trigonometrisk identitet. For parameterframstillingen $x = t$ , $y = t^2$ er $x$ -likningen allerede løst for $t$ (nemlig $t = x$ ) – sett rett inn i $y$ -likningen: $y = t^2 = x^2$ . Parameterframstillingen beskriver rett og slett PARABELEN $y = x^2$ , kjent fra andregradsfunksjoner. Denne metoden er raskere enn identiteten over når $x(t)$ er enkel å invertere, men fungerer ikke for kurver der $x(t)$ og $y(t)$ er «sammenvevd» via en trigonometrisk eller annen ikke-invertibel funksjon.

Direkte innsetting: x=t, y=t²
Steg	Uttrykk
x = t	løst for t allerede
y = t²	sett inn t = x
y = x²	parabelen

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva betyr det å ELIMINERE parameteren $t$ fra en parameterframstilling?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Eliminering fjerner t og gir en likning i x og y alene
likningen uten t

Eliminering fjerner t og gir en likning i x og y alene
likningen uten t

L-12Hvilken identitet brukes for å eliminere

t

fra

x = r\cos t

y = r\sin t

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sirkelparameterframstillingen bruker nettopp denne identiteten
cos²t + sin²t = 1

Sirkelparameterframstillingen bruker nettopp denne identiteten
cos²t + sin²t = 1

L-13Hvilken kurve beskriver

x = 3\cos t

y = 3\sin t

Vis fasit

Beregning	Resultat
Kvadrer 3cos t og 3sin t: x² + y² = 9(cos²t+sin²t)	9
sirkel med radius 3

Kvadrer 3cos t og 3sin t: x² + y² = 9(cos²t+sin²t) = 9
sirkel med radius 3

Middels(3)

M-11Finn likningen til kurven

x = 2\cos t

y = 2\sin t

Vis fasit

Beregning	Resultat
Kvadrer 2cos t og 2sin t: 4cos²t + 4sin²t	4
x² + y² = 4

Kvadrer 2cos t og 2sin t: 4cos²t + 4sin²t = 4
x² + y² = 4

M-12Parameterframstillingen

x = t

y = t^2 - 1

beskriver hvilken kurve?

Vis fasit

Beregning	Resultat
t = x settes inn i y	t² - 1
y = x² − 1

t = x settes inn i y = t² - 1
y = x² − 1

M-13Parameterframstillingen

x = 2t

y = t^2

beskriver hvilken kurve?

Vis fasit

Beregning	Resultat
t = x/2 settes inn i y	t²
y	(x/2)²
y = x²/4

t = x/2 settes inn i y = t²
y = (x/2)²
y = x²/4

Vanskelig(3)

V-11Vis at

x = 4\cos t

y = 4\sin t

x = 4\sin t

y = 4\cos t

gir SAMME kurve, selv om de bytter om cos og sin.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Kvadrer og legg sammen begge par av 4cos t og 4sin t: 16cos²t+16sin²t	16 uansett hvilken som er x og y
begge gir sirkelen x² + y² = 16

Kvadrer og legg sammen begge par av 4cos t og 4sin t: 16cos²t+16sin²t = 16 uansett hvilken som er x og y
begge gir sirkelen x² + y² = 16

V-12Kurven

x = t^2

y = t

– kan du eliminere

t

ved å løse

y

-likningen for

t

? Finn likningen.

Vis fasit

Beregning	Resultat
y = t gir t = y direkte, sett inn i x	t^2
x = y²

y = t gir t = y direkte, sett inn i x = t^2
x = y²

V-13Forklar hvorfor

t

-verdien har betydning selv etter at du har eliminert parameteren og funnet likningen

x^2+y^2=r^2

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sirkellikningen x^2+y^2	r^2 mister all informasjon om t
t-informasjonen (posisjon i tid, retning) forsvinner ved eliminering

Sirkellikningen x^2+y^2=r^2 mister all informasjon om t
t-informasjonen (posisjon i tid, retning) forsvinner ved eliminering