Fart og akselerasjon langs en kurve

Deriverer du $x(t)$ og $y(t)$ hver for seg, får du HASTIGHETSVEKTOREN $\vec{v}(t) = (x'(t), y'(t))$ – en vektor som til enhver tid peker i bevegelsesretningen. FARTEN er lengden av denne vektoren, et TALL (en skalar), ikke en vektor: $|\vec{v}(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$ . Deriverer du én gang til, får du AKSELERASJONSVEKTOREN $\vec{a}(t) = (x''(t), y''(t))$ , som beskriver hvordan hastighetsvektoren selv endrer seg – både i styrke og retning.

Hastighetsvektor

$\vec{v}(t) = (x'(t),\ y'(t))$

Fart (skalar)

$|\vec{v}(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$

Akselerasjonsvektor

$\vec{a}(t) = (x''(t),\ y''(t))$

Tips

Ikke bland sammen HASTIGHET (en vektor, med retning) og FART (et tall, lengden av hastighetsvektoren). En bil kan ha konstant fart i en sving, men hastigheten (retningen) endrer seg hele tiden.
Deriver $x(t)$ og $y(t)$ HVER FOR SEG som du deriverer enhver funksjon av én variabel – parameterframstillingens to koordinater er uavhengige funksjoner av samme $t$ .

Eksempel: En golfballs fart og akselerasjon

En golfball har posisjon $(x(t), y(t)) = (20t,\ 15t - 5t^2)$ meter, $t$ i sekunder. Finn hastighetsvektoren og akselerasjonsvektoren som funksjon av $t$ , og finn farten ved $t = 1$ sekund.

Fra posisjon til fart ved t=1
Størrelse	Uttrykk	Verdi ved t=1
Hastighetsvektor	(20, 15−10t)	(20, 5)
Akselerasjonsvektor	(0, −10)	(0, −10)
Fart	$\sqrt{20² + (15−10t)²}$	$\sqrt{425}$ ≈ 20,6 m/s

Løsning:

Vi deriverer hver koordinat for seg: $x'(t) = 20$ (konstant, siden $x(t)$ er lineær) og $y'(t) = 15 - 10t$
hastighetsvektoren er $\vec{v}(t) = (20,\ 15 - 10t)$
deriver én gang til: $x''(t) = 0$ og $y''(t) = -10$
akselerasjonsvektoren er $\vec{a}(t) = (0,\ -10)$ , konstant (tyngdekraften trekker ballen nedover med $10\ \text{m/s}^2$ , uansett $t$ )
sett $t = 1$ inn i hastigheten: $\vec{v}(1) = (20, 5)$
farten er lengden av denne vektoren: $|\vec{v}(1)| = \sqrt{20^2 + 5^2} = \sqrt{425} \approx 20{,}6\ \text{m/s}$ .

Alternativ forklaring/metode: Finn tidspunktet med LAVEST fart

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Optimering av fart langs banen

Siden farten $|\vec{v}(t)|$ selv er en funksjon av $t$ , kan du bruke derivasjon (fra forrige tema om optimering) til å finne NÅR farten er minst. Det er lettere å derivere farten I ANNEN POTENS (uten kvadratrottegnet): $f(t) = 20^2 + (15-10t)^2$ har samme minimumspunkt som $|\vec{v}(t)|$ , siden kvadratroten er en voksende funksjon. Deriver: $f'(t) = 2(15-10t) \cdot (-10) = -20(15-10t)$ → sett lik null: $15 - 10t = 0 \Rightarrow t = 1{,}5$ sekund. Ved dette tidspunktet er $y'(1{,}5) = 15 - 15 = 0$ – ballen beveger seg da rent HORISONTALT, nøyaktig i banens høyeste punkt, med minste fart $20\ \text{m/s}$ (kun den horisontale komponenten gjenstår).

Minste fart ved toppunktet av banen
Størrelse	Verdi ved t=1,5
y'(1,5)	15 − 15 = 0
Hastighetsvektor	(20, 0)
Fart	20 m/s (minst mulig)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva slags størrelse er FARTEN til et objekt – en vektor eller et tall?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Fart er lengden av hastighetsvektoren
et tall, ikke en vektor

Fart er lengden av hastighetsvektoren
et tall, ikke en vektor

L-22Hva er hastighetsvektoren til

(x(t), y(t)) = (3t,\ t^2)

Vis fasit

Beregning	Resultat
x'(t) = 3, y'(t)	2t
(3, 2t)

x'(t) = 3, y'(t) = 2t
(3, 2t)

L-23Hva er akselerasjonsvektoren til

(x(t), y(t)) = (3t,\ t^2)

Vis fasit

Beregning	Resultat
Deriver hastigheten (3, 2t) én gang til
x''=0, y''	2
(0, 2)

Deriver hastigheten (3, 2t) én gang til
x''=0, y''=2
(0, 2)

Middels(3)

M-21En posisjon er

(x(t), y(t)) = (4t,\ 3t^2 - t)

. Finn hastighetsvektoren.

Vis fasit

Beregning	Resultat
x'(t) = 4, y'(t)	6t - 1
(4, 6t − 1)

x'(t) = 4, y'(t) = 6t - 1
(4, 6t − 1)

M-22Ved

t = 0

for posisjonen i forrige oppgave: finn farten (lengden av hastighetsvektoren).

Vis fasit

Beregning	Resultat
v(0)	(4, -1)
fart = kvadratrot av (4² + 1²)	kvadratrot av 17
$\sqrt{17}$ ≈ 4,1

v(0) = (4, -1)
fart = kvadratrot av (4² + 1²) = kvadratrot av 17
$\sqrt{17}$ ≈ 4,1

M-23En ball har posisjon $(x(t), y(t)) = (10t,\ 20t - 5t^2)$ . Finn akselerasjonsvektoren, og forklar hvorfor den er konstant.

Vis fasit

Beregning	Resultat
x''(t) = 0, y''(t)	-10
(0, −10), konstant siden tyngdekraften ikke endrer seg

x''(t) = 0, y''(t) = -10
(0, −10), konstant siden tyngdekraften ikke endrer seg

Vanskelig(3)

V-21For golfballen

(20t,\ 15t - 5t^2)

i hovedeksempelet: når TREFFER ballen bakken igjen (

y = 0

t > 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
15t - 5t²	0
5t(3 - t)	0
t	0 eller t = 3 sekunder

15t - 5t² = 0
5t(3 - t) = 0
t=0 eller t = 3 sekunder

V-22Finn farten til golfballen når den treffer bakken igjen (bruk

t = 3

fra forrige oppgave).

Vis fasit

Beregning	Resultat
y'(3) = 15 - 30	-15
v(3)	(20, -15)
fart	kvadratrot av (400 + 225)
$\sqrt{625}$ = 25 m/s

y'(3) = 15 - 30 = -15
v(3) = (20, -15)
fart = kvadratrot av (400 + 225)
$\sqrt{625}$ = 25 m/s

V-23Forklar hvorfor farten til golfballen er STØRST akkurat idet den forlater bakken ( $t=0$ ) og idet den treffer bakken igjen, men MINST i toppunktet av banen.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Vertikal komponent y'(t) = 15-10t er 0 kun ved t	1,5 (toppunktet)
størst i tallverdi ved t=0 og t	3
minst fart i toppunktet, størst ved start og landing

Vertikal komponent y'(t) = 15-10t er 0 kun ved t=1,5 (toppunktet)
størst i tallverdi ved t=0 og t=3
minst fart i toppunktet, størst ved start og landing