NumiSum

Fart og akselerasjon langs en kurve

Deriverer du x(t)x(t) og y(t)y(t) hver for seg, får du HASTIGHETSVEKTOREN v⃗(t)=(x′(t),y′(t))\vec{v}(t) = (x'(t), y'(t)): en vektor som til enhver tid peker i bevegelsesretningen. FARTEN er lengden av denne vektoren, et TALL (en skalar), ikke en vektor: ∣v⃗(t)∣=x′(t)2+y′(t)2|\vec{v}(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}. Deriverer du én gang til, får du AKSELERASJONSVEKTOREN a⃗(t)=(x′′(t),y′′(t))\vec{a}(t) = (x''(t), y''(t)), som beskriver hvordan hastighetsvektoren selv endrer seg: både i styrke og retning.

Hastighetsvektor

v⃗(t)=(x′(t), y′(t))\vec{v}(t) = (x'(t),\ y'(t))

Fart (skalar)

∣v⃗(t)∣=x′(t)2+y′(t)2|\vec{v}(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}

Akselerasjonsvektor

a⃗(t)=(x′′(t), y′′(t))\vec{a}(t) = (x''(t),\ y''(t))

Tips

  • Ikke bland sammen HASTIGHET (en vektor, med retning) og FART (et tall, lengden av hastighetsvektoren). En bil kan ha konstant fart i en sving, men hastigheten (retningen) endrer seg hele tiden.
  • Deriver x(t)x(t) og y(t)y(t) HVER FOR SEG som du deriverer enhver funksjon av én variabel: parameterframstillingens to koordinater er uavhengige funksjoner av samme tt.

Eksempel: En golfballs fart og akselerasjon

En golfball har posisjon (x(t),y(t))=(20t, 15t−5t2)(x(t), y(t)) = (20t,\ 15t - 5t^2) meter, tt i sekunder. Finn hastighetsvektoren og akselerasjonsvektoren som funksjon av tt, og finn farten ved t=1t = 1 sekund.

Løsning:
  1. Vi deriverer hver koordinat for seg: x′(t)=20x'(t) = 20 (konstant, siden x(t)x(t) er lineær) og y′(t)=15−10ty'(t) = 15 - 10t
  2. hastighetsvektoren er v⃗(t)=(20, 15−10t)\vec{v}(t) = (20,\ 15 - 10t)
  3. deriver én gang til: x′′(t)=0x''(t) = 0 og y′′(t)=−10y''(t) = -10
  4. akselerasjonsvektoren er a⃗(t)=(0, −10)\vec{a}(t) = (0,\ -10), konstant (tyngdekraften trekker ballen nedover med 10 m/s210\ \text{m/s}^2, uansett tt)
  5. sett t=1t = 1 inn i hastigheten: v⃗(1)=(20,5)\vec{v}(1) = (20, 5)
  6. farten er lengden av denne vektoren: ∣v⃗(1)∣=202+52=425≈20,6 m/s|\vec{v}(1)| = \sqrt{20^2 + 5^2} = \sqrt{425} \approx 20{,}6\ \text{m/s}.
Fra posisjon til fart ved t=1
StørrelseUttrykkVerdi ved t=1
Hastighetsvektor(20, 15−10t)(20, 5)
Akselerasjonsvektor(0, −10)(0, −10)
Fart202+(15−10t)2\sqrt{20² + (15−10t)²}425\sqrt{425} ≈ 20,6 m/s
Alternativ forklaring/metode: Finn tidspunktet med LAVEST fart

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Optimering av fart langs banen

Siden farten ∣v⃗(t)∣|\vec{v}(t)| selv er en funksjon av tt, kan du bruke derivasjon (fra forrige tema om optimering) til å finne NÅR farten er minst. Det er lettere å derivere farten I ANNEN POTENS (uten kvadratrottegnet): f(t)=202+(15−10t)2f(t) = 20^2 + (15-10t)^2 har samme minimumspunkt som ∣v⃗(t)∣|\vec{v}(t)|, siden kvadratroten er en voksende funksjon. Deriver: f′(t)=2(15−10t)⋅(−10)=−20(15−10t)f'(t) = 2(15-10t) \cdot (-10) = -20(15-10t) → sett lik null: 15−10t=0⇒t=1,515 - 10t = 0 \Rightarrow t = 1{,}5 sekund. Ved dette tidspunktet er y′(1,5)=15−15=0y'(1{,}5) = 15 - 15 = 0: ballen beveger seg da rent HORISONTALT, nøyaktig i banens høyeste punkt, med minste fart 20 m/s20\ \text{m/s} (kun den horisontale komponenten gjenstår).

Minste fart ved toppunktet av banen
StørrelseVerdi ved t=1,5
y'(1,5)15 − 15 = 0
Hastighetsvektor(20, 0)
Fart20 m/s (minst mulig)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva slags størrelse er FARTEN til et objekt: en vektor eller et tall?

Vis fasit
  1. Fart er lengden av hastighetsvektoren
  2. et tall, ikke en vektor

L-22Hva er hastighetsvektoren til (x(t),y(t))=(3t, t2)(x(t), y(t)) = (3t,\ t^2)?

Vis fasit
  1. x'(t) = 3, y'(t) = 2t
  2. (3, 2t)

L-23Hva er akselerasjonsvektoren til (x(t),y(t))=(3t, t2)(x(t), y(t)) = (3t,\ t^2)? Svar på formen (x, y).

Vis fasit
  1. Deriver hastigheten (3, 2t) én gang til
  2. x''=0, y''=2
  3. (0, 2)
Middels(3)

M-21En posisjon er (x(t),y(t))=(4t, 3t2−t)(x(t), y(t)) = (4t,\ 3t^2 - t). Finn hastighetsvektoren.

Vis fasit
  1. x'(t) = 4, y'(t) = 6t - 1
  2. (4, 6t − 1)

M-22En posisjon er (x(t),y(t))=(4t, 3t2−t)(x(t), y(t)) = (4t,\ 3t^2 - t), med hastighetsvektor (4, 6t−1)(4,\ 6t - 1). Finn farten (lengden av hastighetsvektoren) ved t=0t = 0. Svar avrundet til én desimal.

Vis fasit
  1. v(0) = (4, -1)
  2. fart = kvadratrot av (4² + 1²) = kvadratrot av 17
  3. 17\sqrt{17} ≈ 4,1

M-23En ball har posisjon (x(t),y(t))=(10t, 20t−5t2)(x(t), y(t)) = (10t,\ 20t - 5t^2). Finn akselerasjonsvektoren, og forklar hvorfor den er konstant.

Vis fasit
  1. x''(t) = 0, y''(t) = -10
  2. (0, −10), konstant siden tyngdekraften ikke endrer seg
Vanskelig(3)

V-21For golfballen (20t, 15t−5t2)(20t,\ 15t - 5t^2) i hovedeksempelet: når TREFFER ballen bakken igjen (y=0y = 0, t>0t > 0)? Svar i sekunder.

Vis fasit
  1. 15t - 5t² = 0
  2. 5t(3 - t) = 0
  3. t=0 eller t = 3 sekunder

V-22En golfball har posisjon (20t, 15t−5t2)(20t,\ 15t - 5t^2) og treffer bakken igjen ved t=3t = 3 s. Finn farten (lengden av hastighetsvektoren) når den treffer bakken.

Vis fasit
  1. y'(3) = 15 - 30 = -15
  2. v(3) = (20, -15)
  3. fart = kvadratrot av (400 + 225)
  4. 625\sqrt{625} = 25 m/s

V-23Forklar hvorfor farten til golfballen er STØRST akkurat idet den forlater bakken (t=0t=0) og idet den treffer bakken igjen, men MINST i toppunktet av banen.

Vis fasit
  1. Vertikal komponent y'(t) = 15-10t er 0 kun ved t=1,5 (toppunktet)
  2. størst i tallverdi ved t=0 og t=3
  3. minst fart i toppunktet, størst ved start og landing