Eksamensoppgaver – Parameterframstillinger (R2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

En fotballspiller skal ta et hjørnespark (corner) på en fotballbane. Posisjonen $\vec{r}$ til ballen etter $t$ sekunder er gitt ved

$\vec{r}(t) = [30t,\ 5t,\ 7t - 4{,}9t^2]$ .

Her er posisjonen gitt i meter, og koordinatsystemet er lagt slik at origo er i hjørnet av fotballbanen, $x$ -aksen går langs kortsiden og $y$ -aksen går langs langsiden.

a) Hvor stor er farten til ballen idet den blir skutt?

b) Hvor langt fra hjørnemerket er ballen når den treffer fotballbanen igjen?

c) Hvor stor er farten til ballen når den er på sitt høyeste? Hvor høyt over fotballbanen er ballen da?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi trenger farten (som er lengden til fartsvektoren $\vec{r}\,'(t)$ ) ved skuddøyeblikket $t=0$ , tidspunktet ballen treffer bakken igjen ( $z$ -koordinaten er $0$ ), og både farten og høyden i toppunktet til bevegelsen.

Strategi og formel: Deriver hver komponent av $\vec{r}(t)$ hver for seg for å få fartsvektoren $\vec{r}\,'(t)$ . Farten er lengden av denne vektoren. For b) løser vi $z(t)=0$ for $t>0$ og setter inn i $x(t)$ og $y(t)$ for å finne avstanden fra origo. For c) er toppunktet der $z$ -komponenten av farten er null (vertikal fart $=0$ ).

Trinnvis utregning:

$\vec{r}\,'(t)=[30,\ 5,\ 7-9{,}8t]$ . a) Farten ved $t=0$ : $|\vec{r}\,'(0)|=\sqrt{30^2+5^2+7^2}=\sqrt{974}\approx 31{,}2$ m/s. b) Ballen treffer bakken når $z(t)=7t-4{,}9t^2=0$
$t(7-4{,}9t)=0$
$t=0$ eller $t=\dfrac{7}{4{,}9}=\dfrac{10}{7}$ s. Avstand fra hjørnet: $x\left(\dfrac{10}{7}\right)=30\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{300}{7}$ , $y\left(\dfrac{10}{7}\right)=5\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{50}{7}$ . $\text{avstand}=\sqrt{\left(\dfrac{300}{7}\right)^2+\left(\dfrac{50}{7}\right)^2}=\dfrac{50\sqrt{37}}{7}\approx 43{,}4$ m. c) Toppunkt når $z'(t)=7-9{,}8t=0$
$t=\dfrac{5}{7}$ s. Farten der: $|\vec{r}\,'(\frac{5}{7})|=\sqrt{30^2+5^2+0^2}=\sqrt{925}=5\sqrt{37}\approx 30{,}4$ m/s. Høyden: $z\left(\dfrac{5}{7}\right)=7\cdot\dfrac{5}{7}-4{,}9\cdot\left(\dfrac{5}{7}\right)^2=5-4{,}9\cdot\dfrac{25}{49}=5-2{,}5=2{,}5$ m.

Svar: a) Farten er $\sqrt{974}\approx 31{,}2$ m/s. b) Ballen treffer banen $\dfrac{50\sqrt{37}}{7}\approx 43{,}4$ m fra hjørnemerket. c) I toppunktet er farten $5\sqrt{37}\approx 30{,}4$ m/s og høyden $2{,}5$ m.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Deriverer $\vec{r}(t)$ riktig komponentvis, finner korrekt fart $\sqrt{974}$ m/s ved avskytning, løser $z(t)=0$ riktig og finner nedslagsavstanden $\frac{50\sqrt{37}}{7}$ m, og finner BÅDE riktig fart OG riktig høyde i toppunktet ved å sette den vertikale fartskomponenten til null.
3/6	Riktig fartsvektor og riktig svar i a), men glemmer at toppunktet er der den VERTIKALE fartskomponenten er null (bruker i stedet $z(t)$ direkte uten å derivere), eller regner feil nedslagstid i b).
0/6	Deriverer feil (f.eks. glemmer kjerneregelen på $-4{,}9t^2$ -leddet, eller blander sammen $x(t)$ og fartsvektoren), og får dermed feil i alle tre deloppgaver.

Sensor-tips

Toppunktet i c) er IKKE der $x(t)$ eller $y(t)$ har noen spesiell verdi – det er utelukkende $z'(t)=0$ som avgjør, siden $x$ og $y$ vokser jevnt hele tiden. En elev som leter etter et toppunkt i $x$ - eller $y$ -retningen har misforstått hva 'på sitt høyeste' betyr i et 3D-koordinatsystem.
Farten i toppunktet er IKKE null (i motsetning til en rent vertikal kastebevegelse) – ballen har fortsatt vannrett fart $[30,5]$ der. Kontroller at elever ikke automatisk setter farten til $0$ i et 'toppunkt', en vane fra enklere 1D-kastoppgaver.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

En miniubåt passerer $250$ meter under en bøye som ligger på havoverflaten.

I et koordinatsystem der $x$ -aksen og $y$ -aksen ligger parallelt med havoverflaten, $z$ -aksen står normalt på havoverflaten, og enheten langs aksene er meter, er posisjonen til miniubåten $t$ sekunder etter passeringen gitt ved

$\vec{r}(t) = [6t,\ 7t,\ -250-5t+0{,}1t^2]$ der $t\in[0,60]$ .

a) Bestem farten til miniubåten etter $2$ sekunder.

b) Hvor langt under havoverflaten er miniubåten på det dypeste?

Posisjonen til en fiskestim i området $t$ sekunder etter at miniubåten passerte under bøyen, er gitt ved

$\vec{s}(t) = [40+2t,\ 60+2t,\ -250]$ der $t\in[0,60]$ .

Fiskestimen har en tilnærmet kuleform med radius på $15$ meter. Miniubåten er $4$ meter bred, $5$ meter høy og $8$ meter lang.

c) Gjør beregninger og vurder om miniubåten kommer til å kollidere med fiskestimen.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Farten er lengden av $\vec{r}\,'(t)$ . Det dypeste punktet er der $z$ -komponenten $-250-5t+0{,}1t^2$ er MINST (mest negativ) – siden dette er et andregradsuttrykk i $t$ med positiv ledende koeffisient, er det et minimumspunkt (bunnpunkt på parabelen), ikke et maksimum. For kollisjonen ser vi på avstanden $|\vec{r}(t)-\vec{s}(t)|$ og sammenligner det minste avstands den blir med summen av radiene til de to objektene.

Strategi og formel: Deriver $\vec{r}(t)$ for fart. For b) finn bunnpunktet til andregradsuttrykket i $z$ -komponenten. For c) sett opp avstandsfunksjonen mellom de to posisjonene, finn dens minimum ved derivasjon, og sammenlign med en trygg sikkerhetsmargin.

Trinnvis utregning:

$\vec{r}\,'(t)=[6,\ 7,\ -5+0{,}2t]$ . a) $|\vec{r}\,'(2)|=\sqrt{6^2+7^2+(-5+0{,}4)^2}=\sqrt{36+49+(-4{,}6)^2}$
$\sqrt{36+49+21{,}16}=\sqrt{106{,}16}\approx 10{,}3$ m/s. b) $z(t)=-250-5t+0{,}1t^2$ har bunnpunkt (minimum av $z$ , altså MEST negativ, altså DYPEST) ved $t=-\dfrac{-5}{2\cdot 0{,}1}=25$ s.
$z(25)=-250-5\cdot 25+0{,}1\cdot 25^2=-250-125+62{,}5=-312{,}5$ . Miniubåten er dypest $312{,}5$ meter under havoverflaten. c) Avstandsvektor: $\vec{r}(t)-\vec{s}(t)=[6t-40-2t,\ 7t-60-2t,\ (-250-5t+0{,}1t^2)-(-250)]=[4t-40,\ 5t-60,\ -5t+0{,}1t^2]$ .
Avstand i kvadrat: $d(t)^2=(4t-40)^2+(5t-60)^2+(-5t+0{,}1t^2)^2$ .
Minimerer numerisk over $t\in[0,60]$ : minimum inntreffer ved $t\approx 8{,}4$ s, med $d(t)\approx 39{,}8$ m.
Summen av fiskestimens radius ( $15$ m) og en trygg margin for miniubåtens egen størrelse (lengste utstrekning $8$ m, altså maks $4$ m fra sentrum) gir en faresone på rundt $15+4=19$ m. Siden $39{,}8 > 19$ , er avstanden god margin større enn faresonen.

Svar: a) Farten er $\approx 10{,}3$ m/s. b) Miniubåten er dypest $312{,}5$ meter under havoverflaten (ved $t=25$ s). c) Den minste avstanden mellom miniubåten og fiskestimen er $\approx 39{,}8$ meter, godt over faresonen på ca. $19$ meter, så miniubåten kolliderer ikke med fiskestimen.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Finner riktig fart i a), identifiserer korrekt at $z(t)$ har et bunnpunkt (ikke et toppunkt) og finner riktig dybde $312{,}5$ m i b), og setter i c) opp en fornuftig avstandsfunksjon mellom $\vec{r}(t)$ og $\vec{s}(t)$ , finner minimumsavstanden numerisk eller grafisk, og konkluderer med begrunnelse basert på objektenes faktiske størrelser.
3/6	Riktig i a) og b), men i c) sammenligner kun avstanden ved ett eller to enkelttidspunkter i stedet for å finne det faktiske minimumet av avstandsfunksjonen over hele intervallet.
0/6	Forveksler bunnpunkt med toppunkt i b) (konkluderer at miniubåten er grunnest, ikke dypest, ved $t=25$ ), og setter i c) opp avstanden mellom feil størrelser (f.eks. bruker $\vec{r}(t)$ mot en konstant posisjon i stedet for den bevegelige $\vec{s}(t)$ ).

Sensor-tips

Legg merke til at $z$ -komponenten til $\vec{r}(t)$ er et andregradsuttrykk med POSITIV ledende koeffisient ( $0{,}1t^2$ ) – parabelen vender oppover, så bunnpunktet er et MINIMUM av $z$ , som (siden $z$ er negativ, dvs. under havflaten) tilsvarer det DYPESTE punktet. Elever som automatisk kobler 'bunnpunkt = grunnest' har ikke tenkt gjennom fortegnet.
I c) er poenget at BEGGE objektene beveger seg – en vanlig feil er å behandle fiskestimen som stillestående. Sjekk at avstandsfunksjonen faktisk bruker $\vec{s}(t)$ , ikke $\vec{s}(0)$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 1