Finne en algebraisk regel for et mønster

En algebraisk regel skrives som en formel med figurnummeret $n$ som variabel. For fyrstikkmønsteret (start 4, øker med 3): hver ekstra firkant (utover den første) legger til 3 fyrstikker, så regelen blir $4 + 3(n - 1)$ , som forenkles til $3n + 1$ .

Regel for jevnt voksende mønster

$a_n = \text{start} + \text{økning} \cdot (n - 1)$

Tips

Sjekk alltid regelen din mot de kjente tallene i mønsteret FØR du bruker den til noe nytt: sett inn $n=1$ og se om du får startverdien.
Økningen mellom figurene er koeffisienten foran $n$ i den forenklede regelen – for et mønster som øker med 3, vil regelen alltid inneholde $3n$ .

Eksempel: Utlede regelen for trekantmønsteret

Finn en algebraisk regel for trekantmønsteret (1 trekant = 3, 2 trekanter = 5, 3 trekanter = 7, øker med 2).

Utlede regelen 2n + 1
Steg	Uttrykk
Start + økning * (n-1)	3 + 2(n-1)
Gang ut parentesen	3 + 2n - 2
Forenklet regel	2n + 1

Figur 1, 2 og 3 i trekantmønsteret – tell fyrstikkene i hver figur og se hvordan antallet øker med 2.

Løsning:

Vi starter med formelen for jevnt voksende mønstre: $a_n = 3 + 2(n - 1)$
gang ut parentesen: $3 + 2n - 2$
samle konstantleddene: $3 - 2 = 1$ . Regelen er $a_n = 2n + 1$ . Sjekk: $n=1$ gir $2 \cdot 1 + 1 = 3$ ✓, $n=3$ gir $2 \cdot 3 + 1 = 7$ ✓.

Alternativ forklaring/metode: Gjett en regel og test mot tabellen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Prøve og feile med tabellen

I stedet for å utlede regelen systematisk kan du gjette basert på økningen (2 per trinn betyr regelen inneholder $2n$ ), regne ut $2n$ for $n=1,2,3$ (blir 2, 4, 6), og sammenligne med de faktiske tallene (3, 5, 7) – differansen er alltid 1, så regelen er $2n + 1$ . Fungerer godt når mønsteret er enkelt.

Gjett 2n og sammenlign
n	2n (gjettet)	Faktisk tall
1	2	3
2	4	5
3	6	7

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Et mønster starter på 5 og øker med 2 for hver n. Skriv regelen på formen $\text{start} + \text{økning}(n-1)$ .

Vis fasit

Steg	Uttrykk
Start + økning(n-1)	5 + 2(n-1)

start=5, økning=2
5 + 2(n-1)

L-22Forenkle regelen

2 + 3(n - 1)

Vis fasit

Steg	Uttrykk
Start uttrykk	2 + 3(n-1)
Gang ut	2 + 3n - 3
Forenklet	3n - 1

2 + 3n - 3 = 3n - 1

L-23Et mønster har regelen

a_n = 2n + 1

. Hva blir

a_1

Vis fasit

Steg	Uttrykk
n = 1	2*1 + 1
Svar	3

2*1 + 1 = 3

Middels(3)

M-21Finn regelen for mønsteret 6, 11, 16, 21 (start 6, øker med 5).

Vis fasit

Utlede regelen for 6, 11, 16, 21
Steg	Uttrykk
Start + økning(n-1)	6 + 5(n-1)
Gang ut	6 + 5n - 5
Forenklet	5n + 1

6 + 5(n-1) = 6 + 5n - 5 = 5n + 1

M-22Finn regelen for mønsteret 3, 7, 11, 15 (start 3, øker med 4).

Vis fasit

Steg	Uttrykk
Start + økning(n-1)	3 + 4(n-1)
Gang ut	3 + 4n - 4
Forenklet	4n - 1

3 + 4(n-1) = 3 + 4n - 4 = 4n - 1

M-23Sjekk om regelen

3n + 1

stemmer for mønsteret 4, 7, 10 ved å sette inn

n=2

Vis fasit

Steg	Uttrykk
n = 2	3*2 + 1
Svar	7

3*2 + 1 = 6 + 1 = 7, som stemmer med andre tallet i mønsteret
ja, regelen stemmer

Vanskelig(3)

V-21Et sekskantmønster starter på 6 og øker med 5. Finn den forenklede regelen.

Vis fasit

Utlede regelen for sekskantmønsteret
Steg	Uttrykk
Start + økning(n-1)	6 + 5(n-1)
Gang ut	6 + 5n - 5
Forenklet	5n + 1

6 + 5(n-1) = 6 + 5n - 5 = 5n + 1

V-22En elev finner regelen

a_n = 3n

for mønsteret 4, 7, 10 (uten å legge til konstantleddet). Test regelen for

n=1

og forklar feilen.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
n = 1	3*1
Svar (feil)	3
Riktig start	4

3*1 = 3, men mønsteret starter på 4
regelen mangler konstantleddet, riktig regel er 3n + 1

V-23Et mønster har regelen

a_n = 4n - 2

. Hva er de tre første tallene i mønsteret?

Vis fasit

Steg	Uttrykk
n = 1	4*1-2 = 2
n = 2	4*2-2 = 6
n = 3	4*3-2 = 10

n=1: 4-2=2. n=2: 8-2=6. n=3: 12-2=10
2, 6, 10