NumiSum

Indirekte bevis (motsigelsesbevis)

I et motsigelsesbevis antar du det MOTSATTE av det du vil vise, og regner deg fram til noe som åpenbart er usant – en motsigelse. Siden all logikken underveis var korrekt, må feilen ligge i selve antakelsen, og da MÅ den opprinnelige påstanden være sann. Metoden er spesielt kraftig når påstanden selv er negativ eller handler om at NOE IKKE FINNES (som «2\sqrt{2} er ikke rasjonalt») – da er det ofte lettere å anta det motsatte («2\sqrt{2} ER rasjonalt») og la den konkrete antakelsen kollapse, enn å bevise et fravær direkte.

Rasjonalt tall

pq\frac{p}{q}, der pp og qq er hele tall uten felles faktor og q≠0q \neq 0

Antakelsen i motsigelsesbeviset

2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q}

Tips

  • Skriv antakelsen som en presis, konkret påstand FØR du regner videre – ikke bare «anta det er usant» i hodet. Da ser du tydelig hva motsigelsen faktisk må ramme.
  • En ekte motsigelse er noe som er UMULIG (som at et tall både er og ikke er et partall), ikke bare noe som virker usannsynlig. Sjekk at konklusjonen din faktisk strider mot noe du la til grunn.

Eksempel: Bevis at kvadratroten av 2 er irrasjonal

Bevis ved motsigelse at 2\sqrt{2} ikke kan skrives som en brøk av hele tall.

Motsigelsesbeviset steg for steg
StegKonklusjon
Anta 2\sqrt{2} = p/q, forkortetutgangspunktet
p² = 2q²p² er et partall
p = 2k, altså q² = 2k²q² er et partall
p og q begge partallmotsigelse: brøken var IKKE forkortet
Løsning:
  1. Anta det motsatte av det vi vil vise: at 2\sqrt{2} ER rasjonal, altså 2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q} der pp og qq er hele tall UTEN felles faktor (brøken er forkortet så langt det går)
  2. kvadrer begge sider: 2=p2q22 = \frac{p^2}{q^2}
  3. gang med q2q^2: p2=2q2p^2 = 2q^2
  4. dette betyr at p2p^2 er et partall, og da må pp selv være et partall (et oddetall i annen gir alltid et oddetall)
  5. skriv derfor p=2kp = 2k
  6. sett inn: (2k)2=2q2(2k)^2 = 2q^2, altså 4k2=2q24k^2 = 2q^2
  7. del begge sider på 22: 2k2=q22k^2 = q^2
  8. dette betyr at q2q^2 også er et partall, så qq er også et partall
  9. men da har pp OG qq felles faktor 22, i strid med at brøken var forkortet så langt det går
  10. motsigelsen viser at antakelsen var gal, så 2\sqrt{2} er irrasjonal.
Alternativ forklaring/metode: Tell hvor mange ganger 2 opptrer som faktor

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Argument via primtallsfaktorisering

En annen, litt raskere vei til samme konklusjon bruker at hvert helt tall har en ENTYDIG oppdeling i primtallsfaktorer. Anta igjen p2=2q2p^2 = 2q^2. Skriv pp som en faktor 22 opptrer i aa ganger; da opptrer 22 i p2p^2 nøyaktig 2a2a ganger – alltid et PARTALL antall ganger, siden det er dobbelt av aa. Skriv tilsvarende 22 i qq med bb ganger; da opptrer 22 i 2q22q^2 nøyaktig 2b+12b + 1 ganger – alltid et ODDETALL antall ganger. Men p2p^2 og 2q22q^2 er SAMME tall, så antallet 2-faktorer må være likt på begge sider – et partall kan aldri være likt et oddetall, og det er motsigelsen. Argumentet er mer abstrakt enn «begge blir partall», men generaliserer direkte til å vise at 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5} og faktisk kvadratroten av ethvert tall som ikke selv er et kvadrattall, er irrasjonale.

Antall 2-faktorer på hver side av p² = 2q²
UttrykkAntall 2-faktorer
p² (p har a faktorer 2)2a (partall)
2q² (q har b faktorer 2)2b + 1 (oddetall)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva antar du FØRST i et motsigelsesbevis?

Vis fasit
BeregningResultat
Motsigelsesbevis starter med den motsatte antakelsen
det motsatte av påstanden
  1. Motsigelsesbevis starter med den motsatte antakelsen
  2. det motsatte av påstanden

L-22Hva er definisjonen på et rasjonalt tall?

Vis fasit
BeregningResultat
Rasjonal betyr at tallet er en brøk av to hele tall
p/q, der p og q er hele tall
  1. Rasjonal betyr at tallet er en brøk av to hele tall
  2. p/q, der p og q er hele tall

L-23Er 34\frac{3}{4} et rasjonalt tall?

Vis fasit
BeregningResultat
34\frac{3}{4} er allerede en brøk av to hele tall
ja, rasjonalt
  1. 34\frac{3}{4} er allerede en brøk av to hele tall
  2. ja, rasjonalt
Middels(3)

M-21Hvis p2p^2 er et partall, hva vet vi da om pp?

Vis fasit
BeregningResultat
Et oddetall opphøyd i 2 er alltid et oddetall
så p² partall krever p partall
p er et partall
  1. Et oddetall opphøyd i 2 er alltid et oddetall
  2. så p² partall krever p partall
  3. p er et partall

M-22Hvorfor kan vi anta at pp og qq i 2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q} ikke har felles faktor?

Vis fasit
BeregningResultat
En brøk for 2\sqrt{2} kan alltid forkortes ved å stryke bort felles faktorer først
brøken kan alltid forkortes til laveste former
  1. En brøk for 2\sqrt{2} kan alltid forkortes ved å stryke bort felles faktorer først
  2. brøken kan alltid forkortes til laveste former

M-23Hva er selve motsigelsen i beviset for at 2\sqrt{2} er irrasjonal?

Vis fasit
BeregningResultat
Antakelsen krevde ingen felles faktor, men begge blir delelige med 2
motsigelse mot at brøken var forkortet
  1. Antakelsen krevde ingen felles faktor, men begge blir delelige med 2
  2. motsigelse mot at brøken var forkortet
Vanskelig(3)

V-21Sett p=2kp = 2k inn i p2=2q2p^2 = 2q^2. Hva blir q2q^2 da?

Vis fasit
BeregningResultat
(2k)² = 2q² gir 4k²2q²
del begge sider på 2
q² = 2k²
  1. (2k)² = 2q² gir 4k² = 2q²
  2. del begge sider på 2
  3. q² = 2k²

V-22Hvorfor viser q2=2k2q^2 = 2k^2 at qq også må være et partall?

Vis fasit
BeregningResultat
2k² er 2 ganget med et helt tall, altså et partall
q² partall krever q partall
q er et partall
  1. 2k² er 2 ganget med et helt tall, altså et partall
  2. q² partall krever q partall
  3. q er et partall

V-23Bruk motsigelsesbevis til å forklare hvorfor det ikke finnes et MINSTE positive rasjonale tall.

Vis fasit
BeregningResultat
Anta et minste positivt rasjonalt tall r finnes
r/2 er også positivt og rasjonalt, og mindre enn r
motsigelse, ingen minste finnes
  1. Anta et minste positivt rasjonalt tall r finnes
  2. r/2 er også positivt og rasjonalt, og mindre enn r
  3. motsigelse, ingen minste finnes