NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 8

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Vis ved induksjon at

1+4+42+⋯+4n=4n+1−131+4+4^2+\cdots+4^n=\dfrac{4^{n+1}-1}{3} for n≥0n\geq 0.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bevise en generell formel for summen av potenser av 44, gyldig for ALLE heltall n≥0n\geq 0, ved hjelp av induksjonsbevis. Ikke bare sjekke noen eksempler.

Strategi og formel: Et induksjonsbevis har to steg: (1) BASISTRINNET, der vi viser at påstanden stemmer for det minste tilfellet (n=0n=0), og (2) INDUKSJONSTRINNET, der vi ANTAR at påstanden er sann for et vilkårlig n=kn=k, og bruker denne antakelsen til å vise at den da også er sann for n=k+1n=k+1. Sammen viser dette at påstanden gjelder for alle n≥0n\geq 0.

Trinnvis utregning:

  1. BASISTRINN (n=0n=0): venstre side er 11 (kun ett ledd, 40=14^0=1). Høyre side er 41−13=33=1\dfrac{4^1-1}{3}=\dfrac{3}{3}=1. Stemmer.
  2. INDUKSJONSANTAKELSE: anta at 1+4+42+⋯+4k=4k+1−131+4+4^2+\cdots+4^k=\dfrac{4^{k+1}-1}{3} er sann for et vilkårlig k≥0k\geq 0.
  3. INDUKSJONSTRINN (vis for n=k+1n=k+1): vi skal vise at 1+4+⋯+4k+4k+1=4k+2−131+4+\cdots+4^k+4^{k+1}=\dfrac{4^{k+2}-1}{3}.
  4. Venstre side for n=k+1n=k+1 er venstre side for n=kn=k PLUSS ett nytt ledd 4k+14^{k+1}: (1+4+⋯+4k)+4k+1=4k+1−13+4k+1\left(1+4+\cdots+4^k\right)+4^{k+1}=\dfrac{4^{k+1}-1}{3}+4^{k+1} (ved induksjonsantakelsen)
  5. =4k+1−13+3⋅4k+13=4k+1−1+3⋅4k+13=4⋅4k+1−13=4k+2−13=\dfrac{4^{k+1}-1}{3}+\dfrac{3\cdot 4^{k+1}}{3}=\dfrac{4^{k+1}-1+3\cdot 4^{k+1}}{3}=\dfrac{4\cdot 4^{k+1}-1}{3}=\dfrac{4^{k+2}-1}{3}. Dette er nettopp høyre side for n=k+1n=k+1, som skulle vises.

Svar: Beviset er fullført ved induksjon: basistrinnet (n=0n=0) stemmer, og induksjonstrinnet viser at hvis formelen gjelder for n=kn=k, gjelder den også for n=k+1n=k+1. Dermed gjelder den for alle n≥0n\geq 0.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)
PoengKrav
3/3Viser et korrekt basistrinn, formulerer en tydelig induksjonsantakelse, og gjennomfører induksjonstrinnet med riktig algebra som ender nøyaktig i uttrykket 4k+2−13\frac{4^{k+2}-1}{3}, med en avsluttende konklusjon om at dette beviser påstanden for alle n≥0n\geq 0.
1/3Viser et riktig basistrinn og skriver opp riktig induksjonsantakelse, men gjør en algebraisk feil i induksjonstrinnet (f.eks. glemmer å skrive 4k+14^{k+1} som 3⋅4k+13\frac{3\cdot 4^{k+1}}{3} før addisjon, som gjør brøkregningen feil).
0/3Hopper rett til å 'sjekke' formelen for noen få konkrete nn-verdier (f.eks. n=1,2,3n=1,2,3) uten å gjennomføre et reelt induksjonsbevis – dette beviser IKKE påstanden for ALLE nn, uansett hvor mange eksempler som sjekkes.

Sensor-tips

  • Den vanligste svakheten i induksjonsbevis er å ikke eksplisitt SKRIVE UT induksjonsantakelsen som en egen, tydelig setning før induksjonstrinnet starter: sjekk at eleven klart markerer hva som antas kjent, og hva som skal vises.
  • Nøkkelsteget i algebraen er å skrive 4k+14^{k+1} som 3⋅4k+13\frac{3\cdot 4^{k+1}}{3} for å få samme nevner som induksjonsantakelsens brøk FØR de to leddene legges sammen, uten dette steget blir brøkregningen uoversiktlig eller feil.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 8

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Påstand

Dersom to vektorer p⃗\vec{p} og q⃗\vec{q} er ortogonale, er ∣p⃗+q⃗∣2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2|\vec{p}+\vec{q}|^2=|\vec{p}|^2+|\vec{q}|^2

En elev prøver å bevise påstanden ovenfor.

Elevens bevis

p⃗=[4,0,0]\vec{p}=[4,0,0]

q⃗=[0,0,3]\vec{q}=[0,0,3]

Da er

∣p⃗+q⃗∣2=∣[4,0,3]∣2=42+02+32=25|\vec{p}+\vec{q}|^2=|[4,0,3]|^2=4^2+0^2+3^2=25

og

∣p⃗∣2+∣q⃗∣2=42+32=25|\vec{p}|^2+|\vec{q}|^2=4^2+3^2=25

Altså er påstanden riktig.

a) Forklar hvorfor dette ikke er et gyldig matematisk bevis for påstanden.

b) Bevis påstanden ved hjelp av vektorregning.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi identifisere det LOGISKE problemet med elevens argumentasjon (den viser bare ETT eksempel, ikke det generelle tilfellet). I b) skal vi konstruere et ekte, GENERELT bevis som gjelder for VILKÅRLIGE ortogonale vektorer, ikke bare for ett valgt tallpar.

Strategi og formel: a) Poengter at et bevis må gjelde for ALLE mulige ortogonale vektorer, ikke bare det ene paret eleven tilfeldigvis valgte. Å vise at en påstand stemmer for ETT eksempel er ikke det samme som å bevise den generelt. b) Bruk generelle komponenter p⃗=[p1,p2,p3]\vec{p}=[p_1,p_2,p_3] og q⃗=[q1,q2,q3]\vec{q}=[q_1,q_2,q_3], uttrykk ∣p⃗+q⃗∣2|\vec{p}+\vec{q}|^2 med skalarproduktet, og bruk at ortogonalitet betyr p⃗⋅q⃗=0\vec{p}\cdot\vec{q}=0.

Trinnvis utregning:

  1. a) Elevens 'bevis' viser BARE at påstanden stemmer for det spesifikke paret p⃗=[4,0,0]\vec{p}=[4,0,0] og q⃗=[0,0,3]\vec{q}=[0,0,3]. Et gyldig matematisk bevis må vise at påstanden gjelder for ALLE ortogonale vektorpar, ikke bare ett valgt eksempel – akkurat som at å sjekke at 2+3=52+3=5 ikke beviser at a+b=a+b+1a+b=a+b+1 er FEIL for alle a,ba,b generelt sett. Ett eksempel kan aldri erstatte en generell utledning. b) La p⃗=[p1,p2,p3]\vec{p}=[p_1,p_2,p_3] og q⃗=[q1,q2,q3]\vec{q}=[q_1,q_2,q_3] være VILKÅRLIGE ortogonale vektorer, altså p⃗⋅q⃗=0\vec{p}\cdot\vec{q}=0.
  2. ∣p⃗+q⃗∣2=(p⃗+q⃗)⋅(p⃗+q⃗)|\vec{p}+\vec{q}|^2=(\vec{p}+\vec{q})\cdot(\vec{p}+\vec{q})
  3. =p⃗⋅p⃗+2p⃗⋅q⃗+q⃗⋅q⃗=\vec{p}\cdot\vec{p}+2\vec{p}\cdot\vec{q}+\vec{q}\cdot\vec{q}
  4. =∣p⃗∣2+2p⃗⋅q⃗+∣q⃗∣2=|\vec{p}|^2+2\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2.
  5. Siden p⃗\vec{p} og q⃗\vec{q} er ortogonale, er p⃗⋅q⃗=0\vec{p}\cdot\vec{q}=0, så leddet 2p⃗⋅q⃗2\vec{p}\cdot\vec{q} forsvinner:
  6. ∣p⃗+q⃗∣2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2|\vec{p}+\vec{q}|^2=|\vec{p}|^2+|\vec{q}|^2, som skulle vises – og dette gjelder for VILKÅRLIGE ortogonale vektorer p⃗\vec{p} og q⃗\vec{q}, ikke bare ett spesifikt tallpar.

Svar: a) Elevens argument viser kun ETT eksempel, ikke et generelt bevis som gjelder for alle ortogonale vektorer. b) For vilkårlige p⃗,q⃗\vec{p},\vec{q} med p⃗⋅q⃗=0\vec{p}\cdot\vec{q}=0: ∣p⃗+q⃗∣2=∣p⃗∣2+2p⃗⋅q⃗+∣q⃗∣2=|\vec{p}+\vec{q}|^2=|\vec{p}|^2+2\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2=∣p⃗∣2+∣q⃗∣2|\vec{p}|^2+|\vec{q}|^2

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)
PoengKrav
3/3Forklarer presist i a) at ett eksempel aldri kan erstatte et generelt bevis, og gjennomfører i b) et fullstendig, generelt bevis med vilkårlige komponenter som eksplisitt bruker at p⃗⋅q⃗=0\vec{p}\cdot\vec{q}=0 for ortogonale vektorer.
1/3Gir en riktig, men vag forklaring i a) (f.eks. bare 'det er bare ett eksempel' uten å forklare HVORFOR det er utilstrekkelig), og gjennomfører et delvis korrekt bevis i b) som mangler den avgjørende koblingen til p⃗⋅q⃗=0\vec{p}\cdot\vec{q}=0.
0/3Godtar i a) elevens bevis som gyldig, eller prøver i b) å bevise påstanden med et NYTT konkret tallpar i stedet for generelle komponenter – som gjentar akkurat samme feil som i elevens opprinnelige bevis.

Sensor-tips

  • Dette er en klassisk logisk felle: å BEKREFTE en påstand for ett eller flere eksempler er noe helt annet enn å BEVISE den generelt. Sjekk at eleven i a) faktisk forklarer PRINSIPPET (generalitet er påkrevd i et bevis), ikke bare påpeker at 'det er bare ett eksempel' uten videre begrunnelse.
  • Beviset i b) er i realiteten en 3D-versjon av Pytagoras' setning, utledet fra skalarproduktets regneregler: en elev som kjenner igjen denne koblingen (at ortogonalitet + denne identiteten ER Pytagoras generalisert) viser dypere forståelse.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 8