Sjekk din forståelse – Grenseverdier og kontinuitet (S1)

Q-1 Finn gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = x^2$ fra $x = 0$ til $x = 4$ .

f(0) = 0 og f(4) = 16
(16 - 0) delt på (4 - 0) = 4. Se «Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart» for mer informasjon.

Q-2 Hva er forskjellen mellom gjennomsnittlig og momentan vekstfart?

Gjennomsnittlig vs. momentan vekstfart
Begrep	Kjennetegn
Gjennomsnittlig vekstfart	Bruker to punkter, ett helt intervall
Momentan vekstfart	Ett punkt, grenseverdi av gjennomsnittlig

Momentan vekstfart er grenseverdien når de to punktene i gjennomsnittlig vekstfart glir sammen
momentan gjelder ett eneste punkt. Se «Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart» for mer informasjon.

Q-3 Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne den momentane vekstfarten for $f(x) = x^2$ ved $x = 1$ .

Q-4 Hva er et tegn på at du bør faktorisere og forkorte en brøk før du beregner en grenseverdi?

Signalet 0/0 gir
Signal	Betydning
Direkte innsetting gir 0 delt på 0	Felles faktor som må forkortes bort

$\frac{0}{0}$ er en udefinert form som signaliserer en felles faktor
må forkortes bort før grenseverdien kan beregnes. Se «Beregne grenseverdier» for mer informasjon.

Q-5 Beregn $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Q-6 Beregn $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x}$ .

Q-7 Hva er de tre kravene for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt $a$ ?

Kontinuitet krever at grenseverdi og funksjonsverdi begge finnes OG er like
alle tre kravene må være oppfylt samtidig. Se «Kontinuitet og diskontinuitet» for mer informasjon.

Q-8 En parkeringsavgift koster $20$ kr for $0$ til og med $1$ time, og $35$ kr for over $1$ time. Er prisfunksjonen kontinuerlig ved $1$ time?

Grenseverdien fra venstre (20 kr) og fra høyre (35 kr) er ulike
diskontinuerlig, et hopp. Se «Kontinuitet og diskontinuitet» for mer informasjon.

Q-9 Hva kalles en diskontinuitet der grenseverdien finnes, men funksjonen selv er udefinert i punktet?

Kjennetegn på en fjernbar diskontinuitet
Type diskontinuitet	Grenseverdi finnes?
Hopp	Nei (ulik fra hver side)
Fjernbar	Ja, men funksjonen er udefinert i punktet

Grenseverdien eksisterer, men funksjonen mangler en definert verdi der
dette kalles en fjernbar diskontinuitet. Se «Kontinuitet og diskontinuitet» for mer informasjon.