Beregne grenseverdier

Å beregne en grenseverdi $\lim_{x \to a} f(x)$ betyr å finne hvilken verdi $f(x)$ nærmer seg når $x$ nærmer seg $a$ . IKKE nødvendigvis hva $f(a)$ faktisk er. Er uttrykket en brøk som gir $\frac{0}{0}$ ved direkte innsetting, er dette et TEGN på at teller og nevner har en FELLES FAKTOR: faktoriser begge og forkort den bort før du setter inn på nytt.

Grenseverdi

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

Grenseverdi ved faktorisering
Steg	Uttrykk
Direkte innsetting	$\frac{0}{0}$ (udefinert form)
Faktoriser telleren	(x-2)(x+2) / (x-2)
Forkort	x + 2
Sett inn på nytt	4

Tips

Får du $\frac{0}{0}$ ved direkte innsetting, er dette ALDRI det endelige svaret. Det er et signal om at du må faktorisere og forkorte først.
Sjekk alltid om telleren har $(x - a)$ som faktor når nevneren har det, ved en grenseverdi $x \to a$ av en brøk.

Eksempel: Grenseverdi av en 0/0-brøk

Beregn $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Løsning:

Sett inn $x = 2$ direkte: $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ , en udefinert form
dette betyr at $(x - 2)$ er en felles faktor i teller og nevner
faktoriser telleren: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
forkort bort $(x-2)$ : $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$
sett nå inn $x = 2$ i det forkortede uttrykket: $2 + 2$ . Grenseverdien er $4$ .

Fra 0/0 til svar
Steg	Uttrykk
Direkte innsetting	$\frac{0}{0}$
Faktoriser telleren	(x-2)(x+2) / (x-2)
Forkort	x + 2
Sett inn x = 2	4

Alternativ forklaring/metode: Utforsk grenseverdien numerisk med en tabell

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sette inn tall nær grenseverdien

I stedet for å faktorisere algebraisk, sett inn $x$ -verdier som nærmer seg $2$ fra begge sider og se hva brøken nærmer seg: $x = 1{,}9$ gir $\frac{1{,}9^2 - 4}{1{,}9 - 2} = 3{,}9$ ; $x = 1{,}99$ gir $3{,}99$ ; $x = 2{,}01$ gir $4{,}01$ . Verdiene nærmer seg tydelig $4$ fra begge sider. Denne metoden gir god INTUISJON for hva en grenseverdi er, men gir aldri et helt eksakt svar slik den algebraiske metoden gjør.

Numerisk tilnærming til grenseverdien
x-verdi	Brøkverdi
1,9	3,9
1,99	3,99
2,01	4,01
Grensen	4

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva betyr det at $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ?

Vis fasit

Grenseverdien beskriver hva funksjonen NÆRMER SEG
ikke nødvendigvis hva f(a) faktisk er

Hva en grenseverdi betyr
Begrep	Betydning
lim_{x → a} f(x) = L	f(x) nærmer seg L når x nærmer seg a

L-22Hva er et tegn på at du bør faktorisere og forkorte en brøk før du beregner en grenseverdi?

Vis fasit

$\frac{0}{0}$ er en udefinert form, ikke et endelig svar
signal om felles faktor som må forkortes bort

Signalet 0/0 gir
Signal	Betydning
Direkte innsetting gir 0 delt på 0	Felles faktor som må forkortes bort

L-23Faktoriser $x^2 - 9$ .

Vis fasit

x² - 9 er en konjugatform (differanse mellom to kvadrater)
(x - 3)(x + 3)

Faktorisering av x² − 9
Uttrykk	Faktorisert form
x² − 9	(x − 3)(x + 3)

Middels(3)

M-21Beregn

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}

Vis fasit

Faktoriser: (x-3) $\frac{x+3}{x-3} = x + 3$
sett inn x = 3
6

Grenseverdi ved x → 3
Steg	Uttrykk
Faktoriser	(x-3)(x+3) / (x-3)
Forkort	x + 3
Sett inn x = 3	6

M-22Beregn $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .

Vis fasit

Faktoriser: (x-4) $\frac{x+4}{x-4} = x + 4$
sett inn x = 4
8

Grenseverdi ved x → 4
Steg	Uttrykk
Faktoriser	(x-4)(x+4) / (x-4)
Forkort	x + 4
Sett inn x = 4	8

M-23Beregn $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x}$ .

Vis fasit

Faktoriser telleren: x(x+3) delt på x = x + 3
sett inn x = 0
3

Grenseverdi ved x → 0
Steg	Uttrykk
Faktoriser telleren	x(x+3) / x
Forkort	x + 3
Sett inn x = 0	3

Vanskelig(3)

V-21Beregn

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}

Vis fasit

Faktoriser telleren: x² + x - 2 = (x-1)(x+2)
forkort med (x-1): x + 2
sett inn x = 1
3

Grenseverdi ved x → 1
Steg	Uttrykk
Faktoriser telleren	(x-1)(x+2) / (x-1)
Forkort	x + 2
Sett inn x = 1	3

V-22Beregn

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2}

Vis fasit

Faktoriser telleren: (x-2) $\frac{x+2}{x+2} = x - 2$
sett inn x = -2
-4

Grenseverdi ved x → -2
Steg	Uttrykk
Faktoriser telleren	(x-2)(x+2) / (x+2)
Forkort	x - 2
Sett inn x = -2	-4

V-23Grenseverdien $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2}$ er $-4$ , mens grenseverdien i hovedeksempelet ( $x \to 2$ ) var positiv. Forklar hvorfor grenseverdien her er negativ.

Vis fasit

Forkortet uttrykk x - 2 avhenger av hvilken verdi x nærmer seg
ved x = -2 gir det -4, ved x = 2 (motsatt uttrykk x+2) gir det 4
fortegnet bestemmes av hvilket punkt grensen tas ved

Fortegn avhenger av hvilket punkt
Grenseverdi	Fortegn
x → -2 (forkortet uttrykk x-2)	Negativt (-4)
x → 2 (forkortet uttrykk x+2)	Positivt (4)