Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart

GJENNOMSNITTLIG vekstfart mellom to punkter $a$ og $b$ på en graf er stigningstallet til sekantlinjen mellom dem: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ . MOMENTAN vekstfart i ETT punkt $a$ er hva dette stigningstallet nærmer seg når $b$ kommer nærmere og nærmere $a$ – altså en GRENSEVERDI. Dette er selve definisjonen bak den deriverte $f'(a)$ : den momentane vekstfarten er grenseverdien til den gjennomsnittlige vekstfarten når intervallet krympes mot null.

Gjennomsnittlig vekstfart

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Momentan vekstfart (den deriverte)

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Fra sekant til tangent
Begrep	Måler
Gjennomsnittlig vekstfart	Stigningstall for sekanten mellom to punkter
Momentan vekstfart	Grenseverdien av sekantens stigningstall når punktene glir sammen

Tips

Gjennomsnittlig vekstfart trenger to punkter og gir ETT tall for HELE intervallet. Momentan vekstfart trenger bare ett punkt, men beskriver farten der og da.
Legg merke til at $h$ i grenseverdi-definisjonen ALDRI settes til nøyaktig $0$ underveis – det ville gitt divisjon med null. $h$ nærmer seg $0$ , det blir aldri $0$ .

Eksempel: Fra sekant til tangent for f(x) = x²

For funksjonen $f(x) = x^2$ : finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x = 1$ til $x = 3$ , og bruk deretter grenseverdi-definisjonen til å finne den momentane vekstfarten ved $x = 2$ .

Fra grenseverdi-uttrykk til momentan vekstfart
Steg	Uttrykk
Sett inn i definisjonen	((2+h)² − 2²) / h
Utvid telleren	(4h + h²) / h
Forkort bort h	4 + h
La h → 0	4

Løsning:

Gjennomsnittlig vekstfart fra $x = 1$ til $x = 3$ : $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$
for den momentane vekstfarten ved $x = 2$ bruker vi grenseverdi- definisjonen: $f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h}$
utvid parentesen: $(2+h)^2 - 4 = 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2$
del på $h$ : $\frac{4h + h^2}{h} = 4 + h$
la $h \to 0$ : $4 + 0 = 4$ . Både gjennomsnittlig vekstfart over $[1, 3]$ og momentan vekstfart ved $x = 2$ blir $4$ her – en tilfeldighet siden $x = 2$ ligger midt i intervallet $[1, 3]$ for en andregradsfunksjon.

Alternativ forklaring/metode: Kontroller svaret med den kjente deriverte-regelen fra 1T

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke potensregelen direkte

Potensregelen fra 1T sier at $f(x) = x^n$ har $f'(x) = n x^{n-1}$ . For $f(x) = x^2$ gir det $f'(x) = 2x$ , og ved $x = 2$ : $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$ – samme svar som grenseverdi- utregningen. Poenget med å gå veien om grenseverdi-definisjonen er ikke å FÅ et annet svar, men å FORSTÅ hvorfor potensregelen faktisk stemmer.

Kontroll av f'(2) med to metoder
Metode	f'(2)
Potensregel (1T)	2 gange 2
Grenseverdidefinisjon	4, samme svar

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Finn gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = x^2$ fra $x = 0$ til $x = 4$ .

Vis fasit

Gjennomsnittlig vekstfart fra x=0 til x=4
Punkt	Funksjonsverdi
x = 0	f(0) = 0
x = 4	f(4) = 16
Vekstfart	4

f(0) = 0 og f(4) = 16
(16 - 0) delt på (4 - 0) = 4

L-12Finn gjennomsnittlig vekstfart for

f(x) = x^2

fra

x = 2

til

x = 5

Vis fasit

Gjennomsnittlig vekstfart fra x=2 til x=5
Punkt	Funksjonsverdi
x = 2	f(2) = 4
x = 5	f(5) = 25
Vekstfart	7

f(2) = 4 og f(5) = 25
(25 - 4) delt på (5 - 2) = 7

L-13Hva er forskjellen mellom gjennomsnittlig og momentan vekstfart?

Vis fasit

Gjennomsnittlig vs. momentan vekstfart
Begrep	Kjennetegn
Gjennomsnittlig vekstfart	Bruker to punkter, ett helt intervall
Momentan vekstfart	Ett punkt, grenseverdi av gjennomsnittlig

Gjennomsnittlig vekstfart bruker to punkter
momentan vekstfart er grenseverdien når de to punktene glir sammen til ett

Middels(3)

M-11Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne den momentane vekstfarten for

f(x) = x^2

ved

x = 1

Vis fasit

Momentan vekstfart ved x=1
Steg	Uttrykk
Sett inn i definisjonen	((1+h)² − 1²) / h
Utvid telleren	(2h + h²) / h
Forkort bort h	2 + h
La h → 0	2

f'(1) = grenseverdien av ((1+h)² - 1²) delt på h når h
0
(2h + h²) delt på h = 2 + h
2

M-12Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne den momentane vekstfarten for

f(x) = x^2

ved

x = 3

Vis fasit

Momentan vekstfart ved x=3
Steg	Uttrykk
Sett inn i definisjonen	((3+h)² − 3²) / h
Utvid telleren	(6h + h²) / h
Forkort bort h	6 + h
La h → 0	6

f'(3) = grenseverdien av ((3+h)² - 3²) delt på h når h
0
(6h + h²) delt på h = 6 + h
6

M-13Kontroller svaret i forrige oppgave med potensregelen fra 1T.

Vis fasit

Kontroll mot potensregelen
Metode	Resultat
Potensregel f'(x) = 2x	f'(3) = 2 gange 3
Grenseverdimetode	6
Konklusjon	Begge metoder gir 6

Potensregelen fra 1T gir f'(x) = 2x for f(x) = x²
f'(3) = 2 gange 3 = 6, stemmer med grenseverdi-utregningen

Vanskelig(3)

V-11Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne den momentane vekstfarten for

f(x) = x^2 + 1

ved

x = 4

Vis fasit

Momentan vekstfart ved x=4 for f(x)=x²+1
Steg	Uttrykk
Sett inn i definisjonen	(((4+h)² + 1) − (4² + 1)) / h
Utvid telleren	(8h + h²) / h
Forkort bort h	8 + h
La h → 0	8

f'(4) = grenseverdien av (((4+h)² + 1) - (4² + 1)) delt på h når h
0
(8h + h²) delt på h = 8 + h
8

V-12Hvorfor gir konstantleddet «+1» i forrige oppgave ingen forskjell på svaret sammenlignet med

f(x) = x^2

Vis fasit

Hvorfor konstantleddet ikke påvirker svaret
Ledd	Skjebne i differansen
x²-delen	Bidrar til vekstfarten
Konstantleddet +1	Kansellerer i differansen f(a+h) − f(a)

(4+h)² + 1 minus (4² + 1)
konstantene +1 og -1 kansellerer hverandre
kun x²-delen påvirker vekstfarten

V-13Hvorfor kan vi ALDRI sette

h = 0

direkte i uttrykket

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

før vi har forkortet bort

h

Vis fasit

Rekkefølgen på forkorting og grenseverdi
Steg	Gyldig?
Sette h = 0 før forkorting	Nei – gir divisjon med 0
Forkorte bort h først, så la h → 0	Ja, dette er riktig rekkefølge

Med h = 0 blir nevneren 0
divisjon med 0 er udefinert
==h må forkortes bort FØR grenseverdien h
0 tas==