Kontinuitet og diskontinuitet

En funksjon er KONTINUERLIG i et punkt $a$ hvis tre ting stemmer SAMTIDIG: grenseverdien $\lim_{x \to a} f(x)$ finnes, funksjons- verdien $f(a)$ finnes, og de to er LIK HVERANDRE. Mangler ett av disse, er funksjonen DISKONTINUERLIG i $a$ – for eksempel et «hopp» der grenseverdien fra venstre og høyre er ulike, slik en frakttariff med en brå prisendring ved en vektgrense ofte er.

Kontinuitetskravet i et punkt a

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Frakttariff med prishopp
Vekt	Pris
0 til og med 5 kg	99 kr
Over 5 kg	149 kr

Tips

Sjekk kontinuitet ved å sammenligne grenseverdien FRA VENSTRE og FRA HØYRE i punktet. Er de ulike, er det et hopp – funksjonen er diskontinuerlig der.
En graf du kan tegne UTEN å løfte pennen er kontinuerlig. Må du løfte pennen for å hoppe til et nytt sted, er funksjonen diskontinuerlig akkurat der.

Eksempel: Er frakttariffen kontinuerlig ved 5 kg?

En frakttariff koster $99$ kr for pakker til og med $5$ kg, og $149$ kr for pakker over $5$ kg. Er prisfunksjonen kontinuerlig ved $5$ kg?

Grenseverdi fra venstre og høyre ved 5 kg
Retning	Verdi
Fra venstre (og ved 5 kg)	99 kr
Fra høyre	149 kr
Konklusjon	Diskontinuerlig (hopp)

Løsning:

Vi sjekker grenseverdien fra venstre og fra høyre ved $x = 5$
for pakker LIKE UNDER $5$ kg (og ved nøyaktig $5$ kg, siden $5$ kg selv koster $99$ kr) er prisen $99$ kr, så grenseverdien fra venstre er $99$
for pakker LIKE OVER $5$ kg er prisen $149$ kr, så grenseverdien fra høyre er $149$
grenseverdien fra venstre ( $99$ ) og fra høyre ( $149$ ) er ULIKE, så grenseverdien $\lim_{x \to 5} f(x)$ finnes ikke i det hele tatt. Prisfunksjonen er IKKE kontinuerlig ved $5$ kg – det er et hopp i prisen.

Alternativ forklaring/metode: Kjenn igjen en fjernbar diskontinuitet

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se etter en «hullet» graf i stedet for et hopp

Ikke all diskontinuitet er et hopp. Funksjonen $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (fra forrige undertema) er udefinert nøyaktig ved $x = 2$ , selv om grenseverdien der faktisk FINNES og er $4$ . Grafen ser ut som en rett linje med ett eneste «hull» i seg ved $x = 2$ . Dette kalles en FJERNBAR diskontinuitet – ulik hopp-diskontinuiteten i frakteksempelet, siden grenseverdien her faktisk eksisterer, men funksjonen rett og slett ikke er DEFINERT i akkurat det punktet.

Kjennetegn på en fjernbar diskontinuitet
Type diskontinuitet	Grenseverdi finnes?
Hopp	Nei (ulik fra hver side)
Fjernbar	Ja, men funksjonen er udefinert i punktet

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er de tre kravene for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt $a$ ?

Vis fasit

Kravene til kontinuitet i et punkt
Krav	Betydning
1	Grenseverdien finnes
2	f(a) finnes
3	De to er like

Kontinuitet krever grenseverdi = funksjonsverdi
begge må finnes OG være like

L-32Hva kalles en diskontinuitet der grenseverdien fra venstre og høyre er ulike?

Vis fasit

Navn på diskontinuiteten
Situasjon	Navn
Ulik grenseverdi fra venstre og høyre	Hopp (sprangdiskontinuitet)

Ulike grenseverdier fra hver side gir en brå endring
et hopp

L-33En trapp har hvert trinn i en fast høyde. Er en slik trappefunksjon kontinuerlig ved kanten av et trinn?

Vis fasit

Trappefunksjon ved kanten av et trinn
Sted	Kontinuerlig?
Midt i et trinn	Ja
Ved kanten av et trinn	Nei, hopp

Verdien endrer seg brått fra ett trinn til det neste
diskontinuerlig ved kantene

Middels(3)

M-31En parkeringsavgift koster

20

kr for

0

til og med

1

time, og

35

kr for over

1

time. Er prisfunksjonen kontinuerlig ved

1

time?

Vis fasit

Parkeringsavgift ved 1 time
Retning	Verdi
Fra venstre (og ved 1 time)	20 kr
Fra høyre	35 kr
Konklusjon	Diskontinuerlig (hopp)

Grenseverdi fra venstre (og ved 1 time) er 20 kr, fra høyre er 35 kr
ulike grenseverdier, diskontinuerlig

M-32Er funksjonen

f(x) = x^2

kontinuerlig ved

x = 3

? Begrunn.

Vis fasit

Kontinuitet av f(x)=x² ved x=3
Størrelse	Verdi
f(3)	9
Grenseverdi ved x → 3	9
Konklusjon	Like, kontinuerlig

f(3) = 9, og grenseverdien når x nærmer seg 3 er også 9
de er like, funksjonen er kontinuerlig

M-33Funksjonen

g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}

er udefinert ved

x = 3

. Finnes grenseverdien

\lim_{x \to 3} g(x)

likevel?

Vis fasit

Grenseverdi der funksjonen selv er udefinert
Steg	Uttrykk
Faktoriser	(x-3)(x+3) / (x-3)
Forkort	x + 3
Sett inn x = 3	6

Faktoriser og forkort: (x-3)(x+3) delt på (x-3) = x+3
sett inn x=3
grenseverdien er 6, selv om g(3) selv er udefinert

Vanskelig(3)

V-31Hva slags diskontinuitet har funksjonen i forrige oppgave ved

x = 3

Vis fasit

Type diskontinuitet ved x=3
Egenskap	Verdi
Grenseverdi ved x = 3	Finnes (6)
g(3)	Udefinert
Type	Fjernbar diskontinuitet

Ved x = 3 finnes grenseverdien (6), men funksjonen selv er udefinert der
fjernbar diskontinuitet, ikke et hopp

V-32Forklar forskjellen mellom et HOPP og en FJERNBAR diskontinuitet.

Vis fasit

Hopp vs. fjernbar diskontinuitet
Type	Kjennetegn
Hopp	Grenseverdien finnes ikke i det hele tatt
Fjernbar	Grenseverdien finnes, men funksjonen er udefinert der

Hopp: grenseverdi fra venstre ≠ grenseverdi fra høyre
ingen grenseverdi finnes
fjernbar: grenseverdien finnes, men funksjonsverdien mangler eller stemmer ikke med den

V-33Hvorfor er det viktig for en bedrift å vite at prisfunksjonen deres har et hopp, og ikke bare stiger jevnt?

Vis fasit

Hvorfor et prishopp betyr noe for en bedrift
Situasjon	Konsekvens
Rett under grensen	Lav pris
Rett over grensen	Høyere pris
For bedriften	Kunder kan tilpasse seg for å unngå hoppet

Rett under en grense (som 5 kg) er prisen lav, rett over hopper den opp
kunder kan tilpasse seg (kutte vekt) for å unngå hoppet, noe bedriften bør planlegge for