Eksamensoppgaver – Grenseverdier og kontinuitet (S1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 3 poeng

a) Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}$

Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer:

$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}$

Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi avgjøre om grenseverdien finnes, og eventuelt regne den ut. I b) skal vi finne den verdien av $a$ som gjør at det SAMME problemet som i a) forsvinner, og deretter regne ut grenseverdien for akkurat den verdien.

Strategi og formel: Faktoriser nevneren først. Det avslører hvorfor $x=-2$ er problematisk. Sjekk så om telleren har $x=-2$ som nullpunkt: har den IKKE det (som i a), går grenseverdien mot $\pm\infty$ og eksisterer ikke. Har den DET (som vi tvinger fram i b), forkortes faktoren $(x+2)$ bort, og vi står igjen med en vanlig innsettingsgrenseverdi.

Trinnvis utregning:

Nevneren faktoriseres: $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$ , med nullpunkt $x=-2$ . a) Telleren ved $x=-2$ : $(-2)^2-4\cdot(-2)+2=4+8+2=14\neq 0$
telleren har IKKE $(x+2)$ som faktor, så brøken kan ikke forkortes. Når $x\to -2$ går telleren mot $14$ mens nevneren går mot $0$ : fra venstre ( $x<-2$ ) er $(x-4)<0$ og $(x+2)<0$ , så nevneren er positiv og går mot $0^+$
brøken går mot $+\infty$ . Fra høyre ( $-2<x<4$ ) er $(x-4)<0$ og $(x+2)>0$ , så nevneren er negativ og går mot $0^-$
brøken går mot $-\infty$ .
Venstre- og høyregrensen er ulike, så grenseverdien EKSISTERER IKKE. b) 1) Skal $x=-2$ være nullpunkt i telleren $x^2+ax+2$ :
$(-2)^2+a\cdot(-2)+2=0$
$4-2a+2=0$
$6=2a$
$a=3$ . 2) Med $a=3$ er telleren $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
brøken blir $\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)}=\dfrac{x+1}{x-4}$ for $x\neq -2$
$\lim_{x\to -2}\dfrac{x+1}{x-4}=\dfrac{-2+1}{-2-4}=\dfrac{-1}{-6}=\dfrac{1}{6}$ .

Svar: a) Grenseverdien eksisterer ikke (venstregrensen er $+\infty$ , høyregrensen er $-\infty$ ). b) $a = 3$ , og grenseverdien for denne $a$ -verdien er $\frac{1}{6}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Faktoriserer nevneren riktig, konkluderer korrekt i a) at grenseverdien ikke eksisterer (med begrunnelse via ensidige grenser, ikke bare en påstand), finner riktig $a=3$ i b), og regner ut riktig grenseverdi $\frac{1}{6}$ .
2/3	Riktig i a) og finner riktig $a$ i b), men gjør en regnefeil i selve grenseverdiutregningen i b) 2), eller mangler begrunnelsen for hvorfor grenseverdien i a) ikke eksisterer.
1/3	Faktoriserer nevneren riktig og ser at $x=-2$ er problematisk, men konkluderer feil i a) (f.eks. påstår grenseverdien er $0$ uten videre argumentasjon).
0/3	Prøver å sette $x=-2$ direkte inn uten å oppdage at nevneren blir $0$ , eller mangler en fungerende strategi helt.

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å konkludere «grenseverdien er $\frac{14}{0}$ , altså udefinert» uten å skille mellom de to ensidige grensene: godta svaret KUN hvis eleven faktisk viser at venstre- og høyregrensen peker i hver sin retning (mot $+\infty$ og $-\infty$ ), ikke bare at nevneren blir null.
I b) er det lett å bytte om fortegn ved likningen $4-2a+2=0$ : sjekk at eleven får $a=3$ , ikke $a=-3$ eller $a=-1$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

$f(x) = \begin{cases} x^2+2, & x<0 \\ 2e^x, & x\geq 0 \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} x^2+2, & x<0 \\ 1, & x=0 \\ 2e^x, & x>0 \end{cases}$

a) Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x=0$ .

b) Avgjør om $g$ er kontinuerlig i $x=0$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sjekke om hver av de to funksjonene oppfyller kontinuitetskravet i $x=0$ : at venstregrense, høyregrense og funksjonsverdien i punktet ALLE er like.

Strategi og formel: Regn ut de tre tallene hver for seg: venstregrensen (bruk grenen som gjelder for $x<0$ ), høyregrensen (bruk grenen som gjelder for $x>0$ ), og selve funksjonsverdien (bruk grenen som faktisk definerer $f(0)$ / $g(0)$ ), og sammenlign.

Trinnvis utregning:

For BEGGE funksjonene er venstregrensen den samme: $\lim_{x\to 0^-}(x^2+2)=0^2+2=2$ . Og høyregrensen er den samme: $\lim_{x\to 0^+}2e^x=2e^0=2\cdot 1=2$ . For $f$ : $f(0)$ er definert av grenen $x\geq 0$ , altså $f(0)=2e^0=2$ .
Venstregrense $=2$ , høyregrense $=2$ , $f(0)=2$
alle tre like. For $g$ : $g(0)$ er definert EKSPLISITT som $1$ (den midterste grenen).
Venstregrense $=2$ , høyregrense $=2$ , men $g(0)=1$
funksjonsverdien stemmer IKKE med grensene.

Svar: a) $f$ er kontinuerlig i $x=0$ (venstregrense $=$ høyregrense $=$ $f(0) = 2$ ). b) $g$ er IKKE kontinuerlig i $x=0$ (grensene er $2$ , men $g(0)=1$ ).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Regner riktig ut venstregrense, høyregrense og funksjonsverdi for begge funksjonene, og trekker riktig konklusjon for begge (kontinuerlig for $f$ , ikke kontinuerlig for $g$ ).
1/2	Regner grensene riktig for én av funksjonene og konkluderer riktig for den, men bommer på den andre – eller bytter om konklusjonene for $f$ og $g$ .
0/2	Regner ut venstre- og høyregrense feil, eller sjekker bare grensene mot hverandre uten å sammenligne med selve funksjonsverdien i $x=0$ .

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å tro at «venstregrense = høyregrense» ALENE er nok for kontinuitet. Poenget med denne oppgaven er nettopp at $g$ viser at funksjonsVERDIEN i punktet også må stemme med grensene, ikke bare at grensene stemmer med hverandre.
Minn eleven på at $2e^0=2\cdot 1=2$ , ikke $2e^0=0$ : en vanlig forvekslingsfeil med at «alt opphøyd i $0$ er $0$ » (riktig regel er $e^0=1$ ).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 6