Eksamensoppgaver – Funksjoner (1P)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Funksjonen $P$ gitt ved

$P(x) = 3 600 \cdot 0{,}85^x + 600$

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

a) Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.

b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, P(4))$ og $(14, P(14))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

I 2019 abonnerte 1 000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

c) Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne antall papirabonnenter i 2010 på to måter (a), stigningstallet til sekantlinjen mellom to punkter på grafen til $P$ og hva det forteller praktisk (b), og det første året antallet digitale abonnenter passerer antallet papirabonnenter (c).

Strategi og formel: For a): sett $x=0$ direkte i formelen, ELLER bruk at $0{,}85^0 = 1$ slik at leddet forsvinner og bare konstanten står igjen. For b): stigningstall er endring i $P$ delt på endring i $x$ . For c): sett opp en funksjon $D(t)$ for antall digitale abonnenter $t$ år etter 2019, og finn det første heltallige året der $D(t) > P(x)$ (samme kalenderår).

Trinnvis utregning:

a) Metode 1: $P(0) = 3 600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3 600 \cdot 1 + 600 = 4 200$
Metode 2: les av grafen til $P$ der den krysser $x=0$ , eller resonner at $0{,}85^0=1$ uten å regne det ut på kalkulator
b) $P(4) = 3 600 \cdot 0{,}85^4 + 600 \approx 2 280$ , $P(14) = 3 600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 \approx 966$
stigningstall $= \dfrac{966 - 2 280}{14-4} \approx -151$
c) $D(t) = 1 000 \cdot 1{,}055^t$ for år $2019+t$ , sammenlignet med $P(x)$ for $x=(2019+t)-2010$ : i 2021 er $D \approx 1 113$ og $P \approx 1 202$ (papir størst), mens i 2022 er $D \approx 1 174$ og $P \approx 1 112$ (digital størst)

Svar: a) I 2010 abonnerte 4 200 personer på papirutgaven. b) Stigningstallet er omtrent $-151$ , som betyr at papirabonnementet i snitt minket med ca. 151 personer per år mellom 2014 og 2024. c) Digital utgave passerte papirutgaven for første gang i 2022.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5–6/6	Alle tre deloppgaver riktig løst – to reelt ulike metoder i a), riktig stigningstall MED praktisk tolkning i b), og riktig krysningsår funnet ved sammenligning av begge funksjonene i c).
2–4/6	To av tre deloppgaver riktige, eller riktig metode i alle tre med enkelte regnefeil, eller manglende praktisk tolkning i b).
0–1/6	Kun a) løst riktig, eller c) løst uten å faktisk sette opp og sammenligne $D(t)$ mot $P(x)$ år for år.

Sensor-tips

I a) må de to metodene faktisk være ULIKE (f.eks. innsetting OG et resonnement om at $0{,}85^0=1$ ) – to like regnestykker med ulik notasjon gir ikke full uttelling.
I c) er det lett å blande sammen $x$ (år etter 2010, for papir) og $t$ (år etter 2019, for digital) – sjekk at eleven regner om til SAMME kalenderår før de to funksjonsverdiene sammenlignes.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 4 poeng

For 8 måneder siden hadde Isabel 290 000 følgere på Snapchat. I dag har hun 340 000 følgere.

a) Sett opp et uttrykk for en funksjon $f$ som beskriver utviklingen dersom antallet følgere har økt med samme antall hver måned. Gjør rede for valg av funksjon.

b) Sett opp et uttrykk for en funksjon $g$ som beskriver utviklingen dersom antallet følgere har økt med samme prosent hver måned. Gjør rede for valg av funksjon.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sette opp to ulike modeller for den samme utviklingen: en LINEÆR modell $f$ (fast antall nye følgere hver måned) og en EKSPONENTIELL modell $g$ (fast prosentvis vekst hver måned).

Strategi og formel: For $f$ : finn stigningstallet (økning per måned) ved å dele totaløkningen på antall måneder, og bruk startverdien 290 000. For $g$ : finn den månedlige vekstfaktoren ved å ta den 8.-roten av det totale forholdstallet mellom sluttverdi og startverdi.

Trinnvis utregning:

a) Total økning: $340\ 000 - 290\ 000 = 50\ 000$ over 8 måneder
per måned: $\dfrac{50\ 000}{8} = 6\ 250$
$f(x) = 290\ 000 + 6\ 250x$
b) Forholdstall: $\dfrac{340\ 000}{290\ 000} \approx 1{,}1724$
månedlig vekstfaktor: $\sqrt[8]{1{,}1724} \approx 1{,}0203$
$g(x) = 290\ 000 \cdot 1{,}0203^x$

Svar: a) $f(x) = 290\ 000 + 6\ 250x$ (lineær modell, $x$ i måneder). b) $g(x) = 290\ 000 \cdot 1{,}0203^x$ (eksponentiell modell, $x$ i måneder).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Begge funksjonsuttrykkene riktig satt opp, med en begrunnelse som forklarer HVORFOR den ene er lineær (fast antall) og den andre eksponentiell (fast prosent) – ikke bare riktige tall.
2–3/4	Riktig lineær modell (a), men feil metode for å finne vekstfaktoren i b) (f.eks. deler prosentøkningen på 8 i stedet for å ta 8.-roten), eller omvendt.
0–1/4	Begge funksjonene forvekslet (lineær vekstfaktor brukt i en eksponentialfunksjon, eller omvendt), eller ingen fungerende metode for å finne den ukjente konstanten i noen av uttrykkene.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å dele den totale prosentveksten (ca. 17,24 %) på 8 måneder i stedet for å ta 8.-roten av vekstfaktoren – dette er nøyaktig samme feil som å legge sammen prosenter i stedet for å multiplisere vekstfaktorer (se prosent-og-vekstfaktor-temaet).
Godta små variasjoner i avrunding av vekstfaktoren i b) (f.eks. 1,020 eller 1,0203), så lenge metoden (8.-rot av forholdstallet) er riktig vist.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 5