Modellere med reelle datasett

Å modellere et datasett betyr å finne en FUNKSJON som beskriver sammenhengen mellom to størrelser så godt som mulig. Er differansen mellom påfølgende $y$ -verdier omtrent konstant (for jevnt fordelte $x$ -verdier), passer en LINEÆR modell $y=ax+b$ .

Lineær modell fra to punkter

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad b = y_1 - a \cdot x_1$

y = 3x - 25 (iskrem-modell)

Tips

Plott dataene FØRST og se om punktene ser ut til å ligge omtrent på en rett linje, før du regner ut en lineær modell: noen datasett passer bedre med en annen funksjonstype.
Bruk to punkter som ligger LANGT fra hverandre i datasettet når du regner ut stigningstallet. Det gir et mer stabilt anslag enn to punkter som ligger tett.

Eksempel: Lage en lineær modell for iskremsalg

En iskremkiosk registrerte salg (antall iskremer) ved ulike temperaturer: 15°C→20 stk, 20°C→35 stk, 25°C→50 stk, 30°C→65 stk. Finn en lineær modell for salget.

Løsning:

Dataene ser lineære ut: hver økning på 5°C gir 15 flere solgte iskremer
stigningstallet er $a = \frac{35-20}{20-15} = \frac{15}{5} = 3$
vi finner $b$ ved å sette inn punktet (15, 20): $20 = 3 \cdot 15 + b$
$b = 20 - 45 = -25$
svaret er modellen er $y = 3x - 25$ , der $x$ er temperatur og $y$ er antall solgte iskremer.

Datasett og modellert verdi
Temperatur (°C)	Faktisk salg	Modell: 3x - 25
15	20	20
20	35	35
25	50	50
30	65	65

Alternativ forklaring/metode: La et digitalt verktøy regne ut modellen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke regresjon i et digitalt verktøy

I stedet for å regne ut stigningstallet manuelt fra to punkter, kan digitale verktøy (som GeoGebra eller regneark) finne en «best mulig» rett linje gjennom ALLE datapunktene samtidig (lineær regresjon): nyttig når punktene ikke ligger perfekt på en linje, som de sjelden gjør i ekte datasett.

Digitalt verktøy vs. manuell utregning
Metode	Bruker
Manuell	to punkter
Digital regresjon	alle datapunktene

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Et datasett viser: x=0→y=5, x=2→y=9. Finn stigningstallet for en lineær modell.

Vis fasit

a = (9-5) : (2-0) = 4 : 2 = 2

Stigningstall fra to punkter
Punkt	Verdi
(0,5) til (2,9)	Δy=4, Δx=2
a	2

L-12En lineær modell er y = 4x + 10. Hva blir y når x = 5?

Vis fasit

y = 4*5 + 10 = 20 + 10 = 30

y = 4x + 10 for x = 5
Steg	Verdi
4*5	20
20+10	30

L-13Et datasett viser jevnt økende y-verdier for jevnt økende x-verdier. Hvilken funksjonstype passer trolig best?

Vis fasit

Jevnt økende y for jevnt økende x tyder på konstant differanse
lineær modell passer trolig

Vurdere funksjonstype
Mønster	Modelltype
Konstant differanse	lineær

Middels(3)

M-11Et datasett viser: x=10→y=50, x=20→y=90. Finn en lineær modell y=ax+b.

Vis fasit

a = (90-50) : (20-10) = 40 : 10 = 4. b: 50 = 4*10 + b
b = 10, altså y = 4x + 10

Lineær modell fra (10,50) og (20,90)
Steg	Verdi
a = 40:10	4
b (fra 50=4*10+b)	10

M-12En modell for planteveksten er høyde = 2 * uker + 5 (cm). Hvor høy er planten etter 8 uker ifølge modellen? Svar i cm.

Vis fasit

høyde = 2*8 + 5 = 16 + 5 = 21 cm

Plantevekst etter 8 uker
Steg	Verdi
2*8	16
16+5	21 cm

M-13Et datasett har punktene (5, 12) og (15, 32). Finn stigningstallet og konstantleddet for en lineær modell.

Vis fasit

a = (32-12) : (15-5) = 20 : 10 = 2. b: 12 = 2*5 + b
b = 2, altså a=2 og b=2

Lineær modell fra (5,12) og (15,32)
Steg	Verdi
a = 20:10	2
b (fra 12=2*5+b)	2

Vanskelig(3)

V-11Et datasett viser forbruk av strøm ved ulike temperaturer: -5°C→40 kWh, 5°C→20 kWh, 15°C→0 kWh. Finn en lineær modell.

Vis fasit

a = (20-40) : (5-(-5)) = -20 : 10 = -2. b: 40 = -2*(-5) + b
40 = 10 + b
b = 30, altså y = -2x + 30

Lineær modell for strømforbruk
Steg	Verdi
a = -20:10	-2
b (fra 40=10+b)	30

V-12En modell y = 3x - 25 (iskremsalg fra eksempelet) brukes til å anslå salget ved 22°C. Hva gir modellen?

Vis fasit

y = 3*22 - 25 = 66 - 25 = 41 stk

Iskrem-modellen ved 22°C
Steg	Verdi
3*22	66
66-25	41 stk

V-13Forklar hvorfor to punkter som ligger TETT sammen i et datasett gir et mindre pålitelig anslag på stigningstallet enn to punkter langt fra hverandre.

Vis fasit

Stigningstallet deler på differansen i x – er denne differansen liten, forstørres enhver liten unøyaktighet i y-verdiene kraftig
tette punkter gir mer usikkert stigningstall

Tette vs. fjerne punkter
Punktavstand	Pålitelighet
Tette punkter	usikkert stigningstall
Fjerne punkter	stabilt