Modellere med reelle datasett

Å modellere et datasett betyr å finne en FUNKSJON som beskriver sammenhengen mellom to størrelser så godt som mulig. Er differansen mellom påfølgende $y$ -verdier omtrent konstant (for jevnt fordelte $x$ -verdier), passer en LINEÆR modell $y=ax+b$ .

Lineær modell fra to punkter

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad b = y_1 - a \cdot x_1$

y = 3x - 25 (iskrem-modell)

Tips

Plott dataene FØRST og se om punktene ser ut til å ligge omtrent på en rett linje, før du regner ut en lineær modell – noen datasett passer bedre med en annen funksjonstype.
Bruk to punkter som ligger LANGT fra hverandre i datasettet når du regner ut stigningstallet – det gir et mer stabilt anslag enn to punkter som ligger tett.

Eksempel: Lage en lineær modell for iskremsalg

En iskremkiosk registrerte salg (antall iskremer) ved ulike temperaturer: 15°C→20 stk, 20°C→35 stk, 25°C→50 stk, 30°C→65 stk. Finn en lineær modell for salget.

Datasett og modellert verdi
Temperatur (°C)	Faktisk salg	Modell: 3x - 25
15	20	20
20	35	35
25	50	50
30	65	65

Løsning:

Dataene ser lineære ut: hver økning på 5°C gir 15 flere solgte iskremer
stigningstallet er $a = \frac{35-20}{20-15} = \frac{15}{5} = 3$
vi finner $b$ ved å sette inn punktet (15, 20): $20 = 3 \cdot 15 + b$
$b = 20 - 45 = -25$
svaret er modellen er $y = 3x - 25$ , der $x$ er temperatur og $y$ er antall solgte iskremer.

Alternativ forklaring/metode: La et digitalt verktøy regne ut modellen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke regresjon i et digitalt verktøy

I stedet for å regne ut stigningstallet manuelt fra to punkter, kan digitale verktøy (som GeoGebra eller regneark) finne en «best mulig» rett linje gjennom ALLE datapunktene samtidig (lineær regresjon) – nyttig når punktene ikke ligger perfekt på en linje, som de sjelden gjør i ekte datasett.

Digitalt verktøy vs. manuell utregning
Metode	Bruker
Manuell	to punkter
Digital regresjon	alle datapunktene

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Et datasett viser: x=0→y=5, x=2→y=9. Finn stigningstallet for en lineær modell.

Vis fasit

Stigningstall fra to punkter
Punkt	Verdi
(0,5) til (2,9)	Δy=4, Δx=2
a	2

a = (9-5) : (2-0) = 4 : 2 = 2

L-12En lineær modell er y = 4x + 10. Hva blir y når x = 5?

Vis fasit

y = 4x + 10 for x = 5
Steg	Verdi
4*5	20
20+10	30

y = 4*5 + 10 = 20 + 10 = 30

L-13Et datasett viser jevnt økende y-verdier for jevnt økende x-verdier. Hvilken funksjonstype passer trolig best?

Vis fasit

Vurdere funksjonstype
Mønster	Modelltype
Konstant differanse	lineær

Jevnt økende y for jevnt økende x tyder på konstant differanse
lineær modell passer trolig

Middels(3)

M-11Et datasett viser: x=10→y=50, x=20→y=90. Finn en lineær modell y=ax+b.

Vis fasit

Lineær modell fra (10,50) og (20,90)
Steg	Verdi
a = 40:10	4
b (fra 50=4*10+b)	10

a = (90-50) : (20-10) = 40 : 10 = 4. b: 50 = 4*10 + b
b = 10, altså y = 4x + 10

M-12En modell for planteveksten er høyde = 2 * uker + 5 (cm). Hvor høy er planten etter 8 uker ifølge modellen?

Vis fasit

Plantevekst etter 8 uker
Steg	Verdi
2*8	16
16+5	21 cm

høyde = 2*8 + 5 = 16 + 5 = 21 cm

M-13Et datasett har punktene (5, 12) og (15, 32). Finn stigningstallet og konstantleddet for en lineær modell.

Vis fasit

Lineær modell fra (5,12) og (15,32)
Steg	Verdi
a = 20:10	2
b (fra 12=2*5+b)	2

a = (32-12) : (15-5) = 20 : 10 = 2. b: 12 = 2*5 + b
b = 2, altså a=2 og b=2

Vanskelig(3)

V-11Et datasett viser forbruk av strøm ved ulike temperaturer: -5°C→40 kWh, 5°C→20 kWh, 15°C→0 kWh. Finn en lineær modell.

Vis fasit

Lineær modell for strømforbruk
Steg	Verdi
a = -20:10	-2
b (fra 40=10+b)	30

a = (20-40) : (5-(-5)) = -20 : 10 = -2. b: 40 = -2*(-5) + b
40 = 10 + b
b = 30, altså y = -2x + 30

V-12En modell y = 3x - 25 (iskremsalg fra eksempelet) brukes til å anslå salget ved 22°C. Hva gir modellen?

Vis fasit

Iskrem-modellen ved 22°C
Steg	Verdi
3*22	66
66-25	41 stk

y = 3*22 - 25 = 66 - 25 = 41 stk

V-13Forklar hvorfor to punkter som ligger TETT sammen i et datasett gir et mindre pålitelig anslag på stigningstallet enn to punkter langt fra hverandre.

Vis fasit

Tette vs. fjerne punkter
Punktavstand	Pålitelighet
Tette punkter	usikkert stigningstall
Fjerne punkter	stabilt

Stigningstallet deler på differansen i x – er denne differansen liten, forstørres enhver liten unøyaktighet i y-verdiene kraftig
tette punkter gir mer usikkert stigningstall