Tolke egne modeller med derivasjon

Har du en modell $f(t)$ for en reell størrelse (omsetning, besøkstall, temperatur), forteller den DERIVERTE $f'(t)$ deg noe den opprinnelige modellen ikke viser like tydelig: er størrelsen på vei OPP eller NED akkurat nå, og HVOR RASKT? Er $f'(t) > 0$ , vokser $f(t)$ ; er $f'(t) < 0$ , avtar den; er $f'(t) = 0$ , er $f(t)$ i et TOPP- eller BUNNPUNKT.

Potensregelen (repetisjon fra 1T)

$(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$

Sum- og konstantregel

$(f + g)' = f' + g', \quad (k)' = 0$

Fortegnet til den deriverte forteller
Fortegn til f'(t)	Betyr
f'(t) > 0	f(t) vokser
f'(t) < 0	f(t) avtar
f'(t) = 0	Topp- eller bunnpunkt

R(t) = t³ − 6t² + 9t + 20 (hundre tusen kr): toppunkt ved t = 1, bunnpunkt ved t = 3

Tips

Sett den deriverte lik null og løs likningen for å finne KANDIDATER til topp-/bunnpunkt: selve fortegnsskiftet avgjør om det faktisk ER et slikt punkt.
En kubisk modell ( $t^3$ -ledd) kan ha to kritiske punkter (ett toppunkt og ett bunnpunkt), til forskjell fra en parabel som bare har ett.
Bekreft mønsteret med tallverdier fra selve modellen. Usikker på fortegnsskjemaet? Regn ut $R(t)$ for noen konkrete $t$ -verdier: $R(0) = 20$ , $R(1) = 24$ (toppunkt), $R(3) = 20$ (bunnpunkt), $R(5) = 40$ . Tallene bekrefter mønsteret: overskuddet stiger fra $20$ til $24$ (vokser), synker tilbake til $20$ (avtar), og stiger så videre til $40$ (vokser igjen): nøyaktig det fortegnsskjemaet forutsa.

Eksempel: Tolke en modell for en bedrifts overskudd

En bedrifts overskudd de første $5$ årene etter oppstart er modellert ved $R(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 20$ (i hundre tusen kr), der $t$ er antall år. Finn $R'(t)$ , og bestem for hvilke $t$ -verdier overskuddet vokser.

Løsning:

Vi deriverer ledd for ledd: $R'(t) = 3t^2 - 12t + 9$
faktoriser for å finne fortegnsskifte: $R'(t) = 3(t-1)(t-3)$
dette er null ved $t = 1$ og $t = 3$
et fortegnsskjema viser at $R'(t) > 0$ for $t < 1$ , $R'(t) < 0$ mellom $t = 1$ og $t = 3$ , og $R'(t) > 0$ for $t > 3$ . Overskuddet vokser i de to intervallene $t < 1$ og $t > 3$ , og AVTAR mellom $t = 1$ og $t = 3$ .

Fortegnsskjema for R'(t)
Intervall	Fortegn R'(t)	R(t)
t < 1	+	Vokser
1 < t < 3	−	Avtar
t > 3	+	Vokser

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Deriver $f(t) = t^3 - 3t^2 + 5$ .

Vis fasit

Deriver ledd for ledd: t³ gir 3t², -3t² gir -6t, 5 gir 0
f'(t) = 3t² − 6t

Deriver f(t)=t³-3t²+5
Ledd	Deriverte
t³	3t²
−3t²	−6t
5	0
f'(t)	3t² − 6t

L-12Hva betyr det når

f'(t) > 0

i et punkt?

Vis fasit

f'(t) > 0 betyr positiv stigning
f(t) vokser

Betydningen av f'(t)>0
Fortegn	Betyr
f'(t) > 0	f(t) vokser

L-13Hva betyr det når $f'(t) = 0$ i et punkt?

Vis fasit

f'(t) = 0 betyr flat tangent
kandidat for topp- eller bunnpunkt

Betydningen av f'(t)=0
Fortegn	Betyr
f'(t) = 0	Kandidat for topp- eller bunnpunkt

Middels(3)

M-11Finn de kritiske punktene til $f(t) = t^3 - 3t^2 + 5$ (der $f'(t) = 0$ ).

Vis fasit

f'(t) = 3t² − 6t = 3t(t − 2)
satt lik null gir t = 0 og t = 2

Kritiske punkter for f(t)=t³-3t²+5
Steg	Uttrykk
f'(t)	3t² − 6t
Faktorisert	3t(t − 2)
Løsning	t = 0 og t = 2

M-12Regn ut $f(0)$ og $f(2)$ for $f(t) = t^3 - 3t^2 + 5$ .

Vis fasit

f(0) = 0 − 0 + 5 = 5
f(2) = 8 − 12 + 5 = 1

Funksjonsverdier ved t=0 og t=2
Punkt	Verdi
f(0)	0 − 0 + 5 = 5
f(2)	8 − 12 + 5 = 1

M-13Er $t = 0$ i $f(t) = t^3 - 3t^2 + 5$ et topp- eller bunnpunkt? Begrunn med fortegnet til $f'(t)$ rundt $t = 0$ .

Vis fasit

f'(t) = 3t(t-2) er positiv for t < 0 og negativ for 0 < t < 2
fortegnet skifter fra + til −, altså et toppunkt

Topp- eller bunnpunkt ved t=0
Intervall	Fortegn f'(t)
t < 0	+
0 < t < 2	−
Konklusjon	Toppunkt

Vanskelig(3)

V-11En modell $g(t) = -t^3 + 12t$ beskriver en størrelse over tid. Finn $g'(t)$ og de kritiske punktene.

Vis fasit

g'(t) = -3t² + 12
satt lik null: -3t² = -12
t² = 4
t = -2 og t = 2

Kritiske punkter for g(t)=-t³+12t
Steg	Uttrykk
g'(t)	−3t² + 12
Satt lik null	t² = 4
Løsning	t = −2 og t = 2

V-12En modell $g(t) = -t^3 + 12t$ har kritiske punkter $t = -2$ og $t = 2$ . Er $t = 2$ et topp- eller bunnpunkt?

Vis fasit

g'(t) = -3t² + 12 er positiv for t < 2 (nær 2) og negativ for t > 2
fortegnet skifter fra + til −, et toppunkt

Topp- eller bunnpunkt ved t=2
Intervall	Fortegn g'(t)
t < 2	+
t > 2	−
Konklusjon	Toppunkt

V-13Hvorfor kan en kubisk modell ( $t^3$ -ledd) ha to kritiske punkter, mens en andregradsmodell (parabel) bare kan ha ett?

Vis fasit

Et t^3-ledd deriveres til en t²-funksjon (opptil to nullpunkter)
et t²-ledd deriveres til en lineær funksjon (ett nullpunkt)
antall kritiske punkter avhenger av graden til den deriverte

Hvorfor en kubisk modell kan ha to kritiske punkter
Modelltype	Antall kritiske punkter
Andregradsmodell (parabel)	Ett (derivert er lineær)
Kubisk modell	Opptil to (derivert er andregrad)