Eksamensoppgaver – Derivasjon i modellering og optimering (S1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 2 poeng

En funksjon $f$ er gitt ved

$f(x) = 4x^2 \cdot \ln x$

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen – de er de punktene der den deriverte skifter fortegn.

Strategi og formel: Deriver med produktregelen (siden $f$ er et produkt av $4x^2$ og $\ln x$ ), sett den deriverte lik null, og sjekk fortegnsskiftet rundt løsningen (husk at $\ln x$ bare er definert for $x>0$ ).

Trinnvis utregning:

Produktregelen med $u=4x^2$ (så $u'=8x$ ) og $v=\ln x$ (så $v'=\frac{1}{x}$ ):
$f'(x) = 8x\cdot \ln x + 4x^2\cdot \frac{1}{x} = 8x\ln x + 4x$
faktoriser ut $4x$ : $f'(x) = 4x(2\ln x + 1)$ . Siden $x>0$ (definisjonsområdet til $\ln x$ ) er faktoren $4x$ alltid positiv der – fortegnet til $f'(x)$ avgjøres derfor kun av $2\ln x + 1$ :
$2\ln x + 1 = 0$
$\ln x = -\frac{1}{2}$
$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}607$ . Fortegnsskjema for $2\ln x+1$ : for $0<x<e^{-\frac{1}{2}}$ er $\ln x < -\frac{1}{2}$ , altså negativ – $f'(x)<0$ . For $x>e^{-\frac{1}{2}}$ er $\ln x>-\frac{1}{2}$ , altså positiv – $f'(x)>0$ .
$f'$ skifter fra negativ til positiv, altså BUNNPUNKT. $f(e^{-\frac{1}{2}}) = 4\cdot(e^{-\frac{1}{2}})^2\cdot \ln(e^{-\frac{1}{2}}) = 4e^{-1}\cdot(-\tfrac{1}{2}) = -2e^{-1} = -\frac{2}{e} \approx -0{,}736$ .

Svar: Grafen har ett bunnpunkt i $\left(e^{-\frac{1}{2}},\ -\dfrac{2}{e}\right) \approx (0{,}61,\ -0{,}74)$ , og ingen toppunkt.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Deriverer riktig med produktregelen, finner riktig $x=e^{-\frac{1}{2}}$ , argumenterer for fortegnsskiftet (ikke bare hevder det), og regner ut riktig $y$ -verdi.
1/2	Deriverer riktig og finner riktig $x$ -verdi, men mangler fortegnsdrøftingen (sier ikke om det er topp- eller bunnpunkt), eller gjør en regnefeil i utregningen av $y$ -verdien.
0/2	Deriverer feil (f.eks. glemmer produktregelen og deriverer $4x^2$ og $\ln x$ hver for seg uten å sette dem sammen riktig), eller setter ikke den deriverte lik null.

Sensor-tips

Godta $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ som likeverdig svarform med $x=e^{-\frac{1}{2}}$ – det er samme tall skrevet på to måter.
Se etter at eleven har husket definisjonsområdet $x>0$ i fortegnsdrøftingen – uten den begrensningen kan resonnementet virke ufullstendig selv om selve fortegnsskiftet er riktig identifisert.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Bedriften Edison produserer biler. Kostnaden (oppgitt i 1 000 kroner) ved å produsere $x$ biler per måned er gitt ved

$K(x) = 200x \cdot 1{,}015^x + 200$

Edison selger alle bilene de produserer. Hver bil selges for 600 000 kroner.

a) Hvilken produksjonsmengde gir størst mulig overskudd?

b) Hvilken produksjonsmengde gir lavest mulig enhetskostnad?

En måned trenger et firma 70 biler. De er villige til å betale mer enn 600 000 kroner per bil. Firmaet inngår en kontrakt om at Edison skal lage 70 biler denne måneden og selge alle til dem. Kontrakten gir Edison et overskudd på 15 millioner kroner.

c) Hvilken pris ble avtalt per bil i denne kontrakten?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) og b) skal vi finne den produksjonsmengden som maksimerer overskuddet, og den som minimerer kostnaden PER BIL – to ulike optimaliseringsproblemer med samme kostnadsfunksjon. I c) skal vi snu problemet: bruke et OPPGITT overskudd til å finne prisen.

Strategi og formel: Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x) =$ inntekt $-$ kostnad, og finn maksimum ved å derivere og lete etter fortegnsskifte (siden $x$ må være et helt antall biler, sjekk de to nærmeste heltallene rundt det du finner). Gjør samme derivasjons-strategi for enhetskostnaden $\frac{K(x)}{x}$ i b). I c), regn ut $K(70)$ eksakt, og løs likningen overskudd $=$ inntekt $-$ kostnad $=15$ millioner for den ukjente prisen.

Trinnvis utregning:

a) Inntekt (i tusen kr) ved $x$ biler: $600x$ . Overskudd: $O(x) = 600x - K(x) = 600x - 200x\cdot 1{,}015^x - 200$ . $O'(x) = 600 - 200\cdot 1{,}015^x - 200x\cdot 1{,}015^x\cdot \ln(1{,}015)$
satt lik null og løst numerisk (GDC): $x \approx 41{,}5$ . Siden $x$ må være et helt tall, sjekkes $x=41$ og $x=42$ : $O(41)\approx 9\,301{,}9$ (tusen kr), $O(42)\approx 9\,301{,}7$ (tusen kr)
$x=41$ gir marginalt størst overskudd. b) Enhetskostnad: $\frac{K(x)}{x} = 200\cdot 1{,}015^x + \frac{200}{x}$ . Derivert lik null løst numerisk: nullpunkt mellom $x=7$ og $x=8$ . Siden $x$ må være et helt tall, sjekkes begge: $\frac{K(7)}{7}\approx 250{,}5$ (tusen kr/bil), $\frac{K(8)}{8}\approx 250{,}3$ (tusen kr/bil)
$x=8$ gir lavest enhetskostnad. c) $K(70) = 200\cdot 70\cdot 1{,}015^{70} + 200 \approx 39\,896{,}4$ (tusen kr) $= 39\,896\,388$ kr. Overskudd $=$ pris $\cdot 70 - K(70) = 15\,000\,000$
pris $\cdot 70 = 15\,000\,000 + 39\,896\,388 = 54\,896\,388$
pris $= \frac{54\,896\,388}{70} \approx 784\,234$ kr.

Svar: a) 41 biler gir størst overskudd (ca. $9{,}30$ millioner kr). b) 8 biler gir lavest enhetskostnad (ca. $250\,300$ kr/bil). c) Prisen i kontrakten var ca. 784 234 kr per bil.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5-6/6	Setter opp riktig overskuddsfunksjon i a), finner riktig heltallig $x$ i BÅDE a) og b) med en tydelig sjekk av de to nærmeste heltallene, og regner ut riktig pris i c) inkludert riktig omregning mellom tusen kroner og kroner.
3-4/6	Riktig strategi og riktig svar i to av de tre delene, men med en feil i den tredje (f.eks. glemmer å sjekke begge nærliggende heltall i a) eller b), eller bommer på en enhetsomregning i c)).
1-2/6	Setter opp riktig overskudds- eller enhetskostnadsfunksjon, men mangler optimaliseringsstrategien (deriverer ikke, eller finner ikke et fungerende nullpunkt), eller løser kun én av de tre deloppgavene riktig.
0/6	Blander sammen kostnad og overskudd, eller mangler en fungerende strategi for optimalisering helt.

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å glemme at $x$ må være et HELT antall biler – godta svaret kun hvis eleven faktisk sammenligner de to nærmeste heltallene og ikke bare oppgir det ikke-heltallige nullpunktet til den deriverte.
I c) er enhetsomregningen mellom «tusen kroner» (som $K(x)$ er oppgitt i) og hele kroner (som svaret skal oppgis i) den vanligste feilkilden – sjekk at eleven multipliserer $K(70)$ med $1 000$ før den settes inn i overskuddslikningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 1