Optimalisering med derivasjon

Et optimaliseringsproblem spør etter den STØRSTE eller MINSTE verdien en modell kan ta – maksimal profitt, minimalt materiale- forbruk. Fremgangsmåten: (1) sett opp en formel for størrelsen du vil optimere, (2) deriver den, (3) sett den deriverte lik null og løs, (4) bekreft med et fortegnsskjema (eller den dobbeltderiverte) at punktet faktisk er et maksimum eller minimum, ikke bare et kritisk punkt.

Kritisk punkt

$f'(x) = 0$

Andrederiverttesten

$f''(x) < 0 \Rightarrow \text{toppunkt}, \quad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{bunnpunkt}$

Fire steg i et optimaliseringsproblem
Steg	Gjør dette
1	Sett opp en formel for størrelsen
2	Deriver formelen
3	Sett den deriverte lik null og løs
4	Bekreft maks/min med fortegnsskjema

Tips

Sett ALLTID opp profittfunksjonen som $P(x) = R(x) - C(x)$ (inntekt minus kostnad) FØR du deriverer – å derivere inntekt og kostnad hver for seg og trekke fra til slutt gir samme svar, men er lettere å rote med.
Et kritisk punkt er IKKE automatisk et maksimum. Bekreft alltid med fortegnsskjema eller andrederiverttesten før du konkluderer.

Eksempel: Maksimere profitten til en bedrift

En bedrift har kostnadsfunksjon $C(x) = x^2 - 20x + 150$ og inntektsfunksjon $R(x) = -x^2 + 40x$ (begge i tusen kr, $x$ i hundre solgte enheter). Finn hvor mange enheter som gir maksimal profitt, og hva profitten da blir.

Fra profittfunksjon til maksimum
Steg	Uttrykk
Profittfunksjon	P(x) = −2x² + 60x − 150
Derivert	P'(x) = −4x + 60
Kritisk punkt	x = 15
Andrederivert	P''(x) = −4 < 0 (toppunkt)
Maksimal profitt	P(15) = 300 tusen kr

Løsning:

Profitten er inntekt minus kostnad: $P(x) = R(x) - C(x) = (-x^2 + 40x) - (x^2 - 20x + 150) = -2x^2 + 60x - 150$
deriver: $P'(x) = -4x + 60$
sett lik null: $-4x + 60 = 0$
$x = \frac{60}{4} = 15$
sjekk med andrederiverttesten: $P''(x) = -4 < 0$ , som bekrefter et TOPPUNKT (maksimum)
regn ut profitten: $P(15) = -2 \cdot 15^2 + 60 \cdot 15 - 150 = -450 + 900 - 150$ . Maksimal profitt oppnås ved $x = 15$ (altså $1\ 500$ solgte enheter), og profitten blir $300$ tusen kr.

Alternativ forklaring/metode: Bekreft maksimum med fortegnsskjema for P'(x)

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Fortegnsskjema i stedet for andrederiverttesten

I stedet for å derivere en gang til, sjekk fortegnet til $P'(x) = -4x + 60$ på hver side av $x = 15$ : for $x = 10$ er $P'(10) = 20 > 0$ (profitten vokser), for $x = 20$ er $P'(20) = -20 < 0$ (profitten avtar). Fortegnet skifter fra $+$ til $-$ , som bekrefter et TOPPUNKT – samme konklusjon som andrederiverttesten, men uten å måtte derivere på nytt.

Fortegnsskjema som bekreftelse
x	P'(x)
10	20 (positiv)
20	−20 (negativ)
Konklusjon	Fortegnsskifte + til −, toppunkt

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er de fire stegene i et optimaliseringsproblem?

Vis fasit

De fire stegene i optimalisering
Steg	Innhold
1	Sett opp formel
2	Deriver
3	Sett lik null, løs
4	Bekreft maks/min

Optimalisering følger en fast prosedyre
formel, derivert, løs for null, bekreft maks/min

L-22Hva forteller andrederiverttesten deg hvis

f''(x) < 0

i et kritisk punkt?

Vis fasit

Andrederiverttesten
Fortegn f''(x)	Betyr
f''(x) < 0	Toppunkt (maksimum)

f''(x) < 0 betyr grafen krummer nedover
toppunkt

L-23Et rektangel har omkrets

40

m. Sett opp en formel for arealet

A(s)

som funksjon av sidelengden

s

, der den andre siden er

20 - s

Vis fasit

Arealformel for rektangel med omkrets 40 m
Størrelse	Uttrykk
Motstående side	20 − s
Areal A(s)	s(20 − s)

Areal er side gange side, og motstående side er 20 - s
A(s) = s(20 - s)

Middels(3)

M-21Deriver arealformelen

A(s) = s(20 - s) = 20s - s^2

fra forrige oppgave.

Vis fasit

Deriver A(s)=20s-s²
Ledd	Deriverte
20s	20
−s²	−2s
A'(s)	20 − 2s

Deriver ledd for ledd: 20s gir 20, -s² gir -2s
A'(s) = 20 − 2s

M-22Finn sidelengden

s

som gir maksimalt areal, ved å sette

A'(s) = 0

Vis fasit

Sidelengde som gir maksimalt areal
Steg	Uttrykk
A'(s) = 0	20 − 2s = 0
Løsning	s = 10 m

20 - 2s = 0
2s = 20
s = 10 m

M-23Regn ut det maksimale arealet når

s = 10

Vis fasit

Maksimalt areal ved s=10
Steg	Verdi
A(10)	10 · (20 − 10)
Svar	100 m²

A(10) = 10 gange (20 - 10) = 10 gange 10 = 100 m²

Vanskelig(3)

V-21En bedrift har

C(x) = x^2 - 10x + 80

R(x) = -x^2 + 30x

. Sett opp profittfunksjonen

P(x)

Vis fasit

Sette opp profittfunksjonen P(x)
Steg	Uttrykk
R(x) − C(x)	(−x² + 30x) − (x² − 10x + 80)
P(x)	−2x² + 40x − 80

P(x) = R(x) - C(x) = (-x² + 30x) - (x² - 10x + 80)
P(x) = -2x² + 40x - 80

V-22Finn

x

-verdien som gir maksimal profitt for

P(x) = -2x^2 + 40x - 80

Vis fasit

x-verdi som gir maksimal profitt
Steg	Uttrykk
P'(x)	−4x + 40
Satt lik null	−4x + 40 = 0
Løsning	x = 10

P'(x) = -4x + 40
satt lik null: -4x + 40 = 0
x = 10

V-23Regn ut maksimal profitt for

x = 10

i forrige oppgave, og bekreft at det er et maksimum med andrederiverttesten.

Vis fasit

Maksimal profitt ved x=10
Steg	Verdi
P(10)	−200 + 400 − 80
Maksimal profitt	120
P''(x)	−4 < 0, bekrefter maksimum

P(10) = -2 gange 100 + 40 gange 10 - 80 = -200+400-80 = 120
P''(x) = -4 < 0
bekrefter toppunkt/maksimum