NumiSum

Optimalisering med derivasjon

Et optimaliseringsproblem spør etter den STØRSTE eller MINSTE verdien en modell kan ta: maksimal profitt, minimalt materiale- forbruk. Fremgangsmåten: (1) sett opp en formel for størrelsen du vil optimere, (2) deriver den, (3) sett den deriverte lik null og løs, (4) bekreft med et fortegnsskjema (eller den dobbeltderiverte) at punktet faktisk er et maksimum eller minimum, ikke bare et kritisk punkt.

Kritisk punkt

f′(x)=0f'(x) = 0

Andrederiverttesten

f′′(x)<0⇒toppunkt,f′′(x)>0⇒bunnpunktf''(x) < 0 \Rightarrow \text{toppunkt}, \quad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{bunnpunkt}

Fire steg i et optimaliseringsproblem
StegGjør dette
1Sett opp en formel for størrelsen
2Deriver formelen
3Sett den deriverte lik null og løs
4Bekreft maks/min med fortegnsskjema
xy51015202530−200−100100200300(15, 300)
Overskudd P(x) = R(x) − C(x) = −2x² + 60x − 150: størst ved x = 15

Tips

  • Sett ALLTID opp profittfunksjonen som P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x) (inntekt minus kostnad) FØR du deriverer. Å derivere inntekt og kostnad hver for seg og trekke fra til slutt gir samme svar, men er lettere å rote med.
  • Et kritisk punkt er IKKE automatisk et maksimum. Bekreft alltid med fortegnsskjema eller andrederiverttesten før du konkluderer.
  • Bekreft maksimum med fortegnsskjema for P'(x). I stedet for å derivere en gang til, sjekk fortegnet til P′(x)=−4x+60P'(x) = -4x + 60 på hver side av x=15x = 15: for x=10x = 10 er P′(10)=20>0P'(10) = 20 > 0 (profitten vokser), for x=20x = 20 er P′(20)=−20<0P'(20) = -20 < 0 (profitten avtar). Fortegnet skifter fra ++ til −-, som bekrefter et TOPPUNKT: samme konklusjon som andrederiverttesten, men uten å måtte derivere på nytt.

Eksempel: Maksimere profitten til en bedrift

En bedrift har kostnadsfunksjon C(x)=x2−20x+150C(x) = x^2 - 20x + 150 og inntektsfunksjon R(x)=−x2+40xR(x) = -x^2 + 40x (begge i tusen kr, xx i hundre solgte enheter). Finn hvor mange enheter som gir maksimal profitt, og hva profitten da blir.

Løsning:
  1. Profitten er inntekt minus kostnad: P(x)=R(x)−C(x)=(−x2+40x)−(x2−20x+150)=−2x2+60x−150P(x) = R(x) - C(x) = (-x^2 + 40x) - (x^2 - 20x + 150) = -2x^2 + 60x - 150
  2. deriver: P′(x)=−4x+60P'(x) = -4x + 60
  3. sett lik null: −4x+60=0-4x + 60 = 0
  4. x=604=15x = \frac{60}{4} = 15
  5. sjekk med andrederiverttesten: P′′(x)=−4<0P''(x) = -4 < 0, som bekrefter et TOPPUNKT (maksimum)
  6. regn ut profitten: P(15)=−2⋅152+60⋅15−150=−450+900−150P(15) = -2 \cdot 15^2 + 60 \cdot 15 - 150 = -450 + 900 - 150. Maksimal profitt oppnås ved x=15x = 15 (altså 1 5001\ 500 solgte enheter), og profitten blir 300300 tusen kr.
Fra profittfunksjon til maksimum
StegUttrykk
ProfittfunksjonP(x) = −2x² + 60x − 150
DerivertP'(x) = −4x + 60
Kritisk punktx = 15
AndrederivertP''(x) = −4 < 0 (toppunkt)
Maksimal profittP(15) = 300 tusen kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er de fire stegene i et optimaliseringsproblem?

Vis fasit
  1. Optimalisering følger en fast prosedyre
  2. formel, derivert, løs for null, bekreft maks/min
De fire stegene i optimalisering
StegInnhold
1Sett opp formel
2Deriver
3Sett lik null, løs
4Bekreft maks/min

L-22Hva forteller andrederiverttesten deg hvis f′′(x)<0f''(x) < 0 i et kritisk punkt?

Vis fasit
  1. f''(x) < 0 betyr grafen krummer nedover
  2. toppunkt
Andrederiverttesten
Fortegn f''(x)Betyr
f''(x) < 0Toppunkt (maksimum)

L-23Et rektangel har omkrets 4040 m. Sett opp en formel for arealet A(s)A(s) som funksjon av sidelengden ss, der den andre siden er 20−s20 - s.

Vis fasit
  1. Areal er side gange side, og motstående side er 20 - s
  2. A(s) = s(20 - s)
Arealformel for rektangel med omkrets 40 m
StørrelseUttrykk
Motstående side20 − s
Areal A(s)s(20 − s)
Middels(3)

M-21Et rektangel har omkrets 4040 m. Arealet som funksjon av sidelengden ss er A(s)=s(20−s)=20s−s2A(s) = s(20 - s) = 20s - s^2. Deriver arealformelen.

Vis fasit
  1. Deriver ledd for ledd: 20s gir 20, -s² gir -2s
  2. A'(s) = 20 − 2s
Deriver A(s)=20s-s²
LeddDeriverte
20s20
−s²−2s
A'(s)20 − 2s

M-22Finn sidelengden ss som gir maksimalt areal, ved å sette A′(s)=0A'(s) = 0.

Vis fasit
  1. 20 - 2s = 0
  2. 2s = 20
  3. s = 10 m
Sidelengde som gir maksimalt areal
StegUttrykk
A'(s) = 020 − 2s = 0
Løsnings = 10 m

M-23Regn ut det maksimale arealet når s=10s = 10 m. Svar i m².

Vis fasit

A(10) = 10⋅(20−10)=10⋅10=10 \cdot (20 - 10) = 10 \cdot 10 = 100 m²

Maksimalt areal ved s=10
StegVerdi
A(10)10 · (20 − 10)
Svar100 m²
Vanskelig(3)

V-21En bedrift har C(x)=x2−10x+80C(x) = x^2 - 10x + 80 og R(x)=−x2+30xR(x) = -x^2 + 30x. Sett opp profittfunksjonen P(x)P(x).

Vis fasit
  1. P(x) = R(x) - C(x) = (-x² + 30x) - (x² - 10x + 80)
  2. P(x) = -2x² + 40x - 80
Sette opp profittfunksjonen P(x)
StegUttrykk
R(x) − C(x)(−x² + 30x) − (x² − 10x + 80)
P(x)−2x² + 40x − 80

V-22Finn xx-verdien som gir maksimal profitt for P(x)=−2x2+40x−80P(x) = -2x^2 + 40x - 80.

Vis fasit
  1. P'(x) = -4x + 40
  2. satt lik null: -4x + 40 = 0
  3. x = 10
x-verdi som gir maksimal profitt
StegUttrykk
P'(x)−4x + 40
Satt lik null−4x + 40 = 0
Løsningx = 10

V-23En profittfunksjon er P(x)=−2x2+40x−80P(x) = -2x^2 + 40x - 80, og maksimal profitt nås ved x=10x = 10. Regn ut maksimal profitt, og bekreft at det er et maksimum med andrederiverttesten.

Vis fasit
  1. P(10) = −2⋅100+40⋅10−80=−200-2 \cdot 100 + 40 \cdot 10 - 80 = -200+400-80 = 120
  2. P''(x) = -4 < 0
  3. bekrefter toppunkt/maksimum
Maksimal profitt ved x=10
StegVerdi
P(10)−200 + 400 − 80
Maksimal profitt120
P''(x)−4 < 0, bekrefter maksimum