NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 6 poeng

a) Regn ut integralet ∫x2⋅ln⁡x dx\displaystyle\int x^2\cdot \ln x\ dx

b) Bestem xx når ∫−1x(3t2−1) dt=0,x>−1\displaystyle\int_{-1}^{x} (3t^2-1)\, dt = 0, \quad x > -1

c) Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne en antiderivert til x2ln⁡xx^2\ln x (delvis integrasjon). I b) skal vi bruke fundamentalteoremet til å regne ut et BESTEMT integral som en funksjon av den øvre grensen xx, og finne hvilke xx-verdier som gjør integralet null. I c) skal vi si hva et slikt nullpunkt faktisk BETYR.

Strategi og formel: a) Bruk delvis integrasjon med u=ln⁡xu=\ln x (deriveres til noe enklere) og dv=x2 dx\mathrm{d}v=x^2\,\mathrm{d}x. b) Regn ut det bestemte integralet med fundamentalteoremet – finn en antiderivert FF av 3t2−13t^2-1, og bruk F(x)−F(−1)F(x)-F(-1) – og løs likningen F(x)−F(−1)=0F(x)-F(-1)=0 for xx. c) Tenk på 3t2−13t^2-1 som en HASTIGHET: integralet fra −1-1 til xx er da den totale FORFLYTNINGEN i den tidsperioden.

Trinnvis utregning:

  1. a) Delvis integrasjon: u=ln⁡xu=\ln x
  2. u′=1xu'=\frac{1}{x}, v′=x2v'=x^2
  3. v=x33v=\frac{x^3}{3}
  4. ∫x2ln⁡x dx=x33ln⁡x−∫x33⋅1x dx\int x^2\ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx
  5. x33ln⁡x−∫x23 dx\frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^2}{3}\,dx
  6. x33ln⁡x−x39+C\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C. b) En antiderivert til 3t2−13t^2-1 er F(t)=t3−tF(t)=t^3-t
  7. ∫−1x(3t2−1) dt=F(x)−F(−1)=(x3−x)−((−1)3−(−1))\int_{-1}^{x}(3t^2-1)\,dt = F(x)-F(-1) = (x^3-x) - \big((-1)^3-(-1)\big)
  8. (x3−x)−(−1+1)=x3−x(x^3-x) - (-1+1) = x^3-x
  9. løs x3−x=0x^3-x=0: x(x2−1)=0x(x^2-1)=0
  10. x(x−1)(x+1)=0x(x-1)(x+1)=0
  11. x=−1, x=0, x=1x=-1,\ x=0,\ x=1
  12. med kravet x>−1x>-1 gjenstår x=0x=0 og x=1x=1. c) Praktisk tolkning: dersom 3t2−13t^2-1 tolkes som farten til et objekt ved tidspunkt tt, er ∫−1x(3t2−1) dt\int_{-1}^{x}(3t^2-1)\,dt den totale forflytningen fra t=−1t=-1 til t=xt=x
  13. at integralet er null ved x=0x=0 og x=1x=1 betyr at objektet på disse to tidspunktene er TILBAKE der det startet ved t=−1t=-1 – den totale forflytningen har «kansellert seg selv».

Svar: a) ∫x2ln⁡x dx=x33ln⁡x−x39+C\displaystyle\int x^2\ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C. b) x=0x=0 eller x=1x=1. c) Objektet er tilbake i startposisjonen (samme posisjon som ved t=−1t=-1) ved disse to tidspunktene – total forflytning er null.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)
PoengKrav
6/6Utfører delvis integrasjon riktig i a) og finner x33ln⁡x−x39+C\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C, finner riktig antiderivert og løser likningen korrekt i b) (begge løsninger x=0x=0 og x=1x=1, med riktig utelukkelse av x=−1x=-1), og gir en fysisk/praktisk tolkning i c) som faktisk kobler nullpunktene til «tilbake i utgangspunktet».
4/6Riktig i a) og finner riktig likning x3−x=0x^3-x=0 i b), men glemmer å utelukke x=−1x=-1 (siden x>−1x>-1 er strengt), eller mangler en fungerende tolkning i c).
2/6Setter opp delvis integrasjon riktig i a) men gjør en regnefeil i utregningen, og har ingen fungerende strategi i b).
0/6Prøver å integrere x2ln⁡xx^2\ln x direkte uten delvis integrasjon (f.eks. multipliserer antiderivertene til x2x^2 og ln⁡x\ln x hver for seg), eller setter opp integralgrensene feil vei i b).

Sensor-tips

  • Den vanligste feilen i a) er å bytte om uu og dv\mathrm{d}v (velge u=x2u=x^2 i stedet for u=ln⁡xu=\ln x) – det gir et VANSKELIGERE integral igjen (ln⁡x\ln x har ingen enkel antiderivert), ikke et enklere, og fører sjelden fram.
  • I b) er x=−1x=-1 en MATEMATISK gyldig løsning av x3−x=0x^3-x=0, men skal utelukkes på grunn av oppgavens eksplisitte krav x>−1x>-1 – godta ikke svar som inkluderer x=−1x=-1 uten forbehold.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 5 poeng

Nedenfor ser du grafen til funksjonen ff gitt ved f(x)=x3+x2−2xf(x) = x^3+x^2-2x. Grafen viser ff for xx omtrent fra −3-3 til 22: kurven kommer fra nede til venstre, krysser xx-aksen ved x=−2x=-2, stiger til et toppunkt (verdi omtrent 22) rundt x≈−1,2x\approx -1{,}2, synker igjen og krysser xx-aksen ved x=0x=0, fortsetter ned til et bunnpunkt (verdi omtrent −0,4-0{,}4) rundt x≈0,5x\approx 0{,}5, krysser xx-aksen igjen ved x=1x=1, og stiger deretter bratt. Det MARKERTE (grå) området på figuren er hele arealet mellom grafen og xx-aksen for xx fra −2-2 til 11 – både «bulken» over aksen (fra x=−2x=-2 til x=0x=0) og «bulken» under aksen (fra x=0x=0 til x=1x=1) er skyggelagt.

a) Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.

  1. ∫−21f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{1} f(x)\,dx
  2. ∫−21f(x) dx−∫01f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{1} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx
  3. ∫−20f(x) dx+∫01f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx
  4. ∫−20f(x) dx−∫01f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx

b) Regn ut arealet av det markerte området på figuren.

Kristian ønsker å finne en verdi a<0a<0 som er slik at ∫a1f(x) dx=0\displaystyle\int_{a}^{1} f(x)\,dx = 0. Han bruker en kalkulator og finner at a≈−0,6a\approx -0{,}6. Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.

c) Forklar hvorfor påstanden til Unni er riktig, og bruk figuren til å anslå omtrent hvilken verdi den andre løsningen kan ha.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi kjenne igjen hvorfor et vanlig integral IKKE gir riktig areal når grafen krysser xx-aksen (siden integralet trekker fra der funksjonen er negativ), og hvilket uttrykk som korrigerer for dette. I b) skal vi faktisk regne ut arealet. I c) skal vi innse at likningen ∫a1f dx=0\int_a^1 f\,dx=0 kan ha FLERE løsninger, siden F(a)=F(1)F(a)=F(1) kan være sant for mer enn én verdi av aa.

Strategi og formel: a) ff er negativ på (0,1)(0,1), så ∫01f dx\int_0^1 f\,dx er et NEGATIVT tall – for å få arealet (som alltid er positivt) må dette bidraget TREKKES FRA, ikke legges til. b) Finn en antiderivert FF og bruk fundamentalteoremet på de to delintervallene hver for seg. c) ∫a1f dx=0⇔F(a)=F(1)\int_a^1 f\,dx=0 \Leftrightarrow F(a)=F(1) – tenk på grafen til FF (som har lokale topp-/bunnpunkter der f=0f=0, altså ved x=−2,0,1x=-2,0,1): en horisontal linje ved høyden F(1)F(1) kan treffe grafen til FF flere steder.

Trinnvis utregning:

  1. a) f(x)=x3+x2−2x=x(x+2)(x−1)f(x)=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1), med nullpunkter x=−2,0,1x=-2,0,1
  2. på (−2,0)(-2,0) er f>0f>0, på (0,1)(0,1) er f<0f<0
  3. siden arealet skal være POSITIVT, og ∫01f dx\int_0^1 f\,dx er negativt, må dette bidraget trekkes fra: riktig uttrykk er alternativ 4. b) En antiderivert: F(x)=x44+x33−x2F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2
  4. ∫−20f dx=F(0)−F(−2)=0−(4−83−4)\int_{-2}^{0} f\,dx = F(0)-F(-2) = 0 - \left(4-\frac{8}{3}-4\right)
  5. 0−(−83)=830-\left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}
  6. ∫01f dx=F(1)−F(0)=(14+13−1)−0=−512\int_{0}^{1} f\,dx = F(1)-F(0) = \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1\right) - 0 = -\frac{5}{12}
  7. areal =83−(−512)=3212+512=3712≈3,08= \frac{8}{3} - \left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{32}{12}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\approx 3{,}08. c) ∫a1f dx=F(1)−F(a)=0⇔F(a)=F(1)\int_a^1 f\,dx = F(1)-F(a) = 0 \Leftrightarrow F(a)=F(1)
  8. siden F(1)=−512≈−0,42F(1)=-\frac{5}{12}\approx -0{,}42, søker vi ALLE x<0x<0 der F(x)≈−0,42F(x)\approx -0{,}42
  9. siden F′=fF'=f, og f<0f<0 for x<−2x<-2 mens f>0f>0 på (−2,0)(-2,0), er FF SYNKENDE for x<−2x<-2 og STIGENDE på (−2,0)(-2,0) – altså har FF et BUNNPUNKT ved x=−2x=-2, med F(−2)=164−83−4=4−83−4=−83≈−2,67F(-2)=\frac{16}{4}-\frac{8}{3}-4=4-\frac{8}{3}-4=-\frac{8}{3}\approx -2{,}67
  10. fordi x4x^4-leddet i FF dominerer for store ∣x∣|x| og har positivt fortegn, går F(x)→+∞F(x)\to +\infty BÅDE når x→−∞x\to -\infty OG når x→+∞x\to +\infty (ikke mot −∞-\infty i noen retning)
  11. det gir to atskilte intervaller der FF passerer verdien −0,42-0{,}42 for x<0x<0: på (−2,0)(-2,0) stiger FF fra −2,67-2{,}67 opp til F(0)=0F(0)=0, og passerer −0,42-0{,}42 nøyaktig én gang underveis (det er Kristians a≈−0,6a\approx -0{,}6)
  12. for x<−2x<-2 SYNKER FF fra +∞+\infty (ved svært negative xx) ned mot −2,67-2{,}67 (ved x=−2x=-2), og passerer dermed OGSÅ verdien −0,42-0{,}42 nøyaktig én gang underveis, et sted til venstre for x=−2x=-2
  13. ved å lese av figuren (grafen til ff, ikke FF) kan denne andre løsningen anslås til omtrent a≈−2,7a\approx -2{,}7 (kontrollert: F(−2,72)≈−0,42F(-2{,}72)\approx -0{,}42).

Svar: a) Riktig uttrykk er alternativ 4: ∫−20f(x) dx−∫01f(x) dx\int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx. b) Arealet er 3712≈3,08\frac{37}{12}\approx 3{,}08. c) FF er synkende for x<−2x<-2 og har et bunnpunkt ved x=−2x=-2 før den stiger igjen – det gir to steder der F(x)=F(1)F(x)=F(1), det ene ved Kristians a≈−0,6a\approx -0{,}6, det andre ved omtrent a≈−2,7a\approx -2{,}7.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)
PoengKrav
5/5Velger riktig alternativ 4 i a) med en begrunnelse som faktisk nevner at f<0f<0 på (0,1)(0,1), regner ut riktig areal 3712\frac{37}{12} i b), og gir en fullstendig forklaring i c) (basert på FFs formforløp, ikke bare en påstand) med et rimelig anslag for den andre løsningen (mellom −3-3 og −2-2).
3/5Riktig i a) og b), men i c) forklares KUN at det finnes to løsninger uten et konkret anslag, eller anslaget er urimelig (utenfor grafens synlige område).
1/5Velger feil alternativ i a) (typisk alternativ 3, se sensortips), men regner ut et konsistent (om enn feil) areal i b) ut fra det valgte uttrykket.
0/5Ingen fungerende strategi for å skille fortegn på ff i de to delintervallene.

Sensor-tips

  • Den klassiske fellen i a) er alternativ 3 (bare LEGGE SAMMEN de to delintegralene) – dette gir 83+(−512)=94=2,25\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{9}{4}=2{,}25, et for LITE tall siden det negative bidraget delvis kansellerer i stedet for å telle med full styrke. Sjekk at eleven har forstått HVORFOR man må trekke fra, ikke bare pugget riktig alternativ.
  • I c) er det fullt akseptabelt å anslå den andre løsningen grafisk (fra figuren) i stedet for å regne den eksakt ut algebraisk (fjerdegradslikningen F(x)=F(1)F(x)=F(1) har ikke en enkel lukket løsning) – poenget er å FORSTÅ hvorfor det finnes to løsninger, ikke å finne den eksakte verdien.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 3