NumiSum

Analysens fundamentalteorem

Analysens fundamentalteorem kobler INTEGRASJON til DERIVASJON: finn en ANTIDERIVERT F(x)F(x) til f(x)f(x) (altså en funksjon der F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)), og da er ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). Dette gjør bestemte integraler til et RASKT regnestykke i stedet for en geometrisk arealutregning: spesielt nyttig for krumme grafer der arealformler ikke finnes.

Analysens fundamentalteorem

∫abf(x) dx=F(b)−F(a),F′(x)=f(x)\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

Antiderivert (potensregelen baklengs)

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Antiderivert med potensregelen
Funksjon f(x)Antiderivert F(x)
xnx^n (n≠−1n \neq -1)xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}
x2x^2x33\frac{x^3}{3}

Tips

  • Antiderivasjon er potensregelen for derivasjon BAKLENGS: legg til 11 i eksponenten, og del på den NYE eksponenten: motsatt rekkefølge av å derivere.
  • Ved et BESTEMT integral trenger du ikke konstanten CC. Den kansellerer alltid når du regner F(b)−F(a)F(b) - F(a), siden CC er den samme i begge.

Eksempel: Bruke fundamentalteoremet på en krum graf

Finn ∫14x2 dx\int_1^4 x^2\, dx ved hjelp av analysens fundamentalteorem.

Løsning:
  1. Vi trenger en antiderivert F(x)F(x) der F′(x)=x2F'(x) = x^2
  2. bruk potensregelen baklengs: F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}
  3. sjekk: F′(x)=3x23=x2F'(x) = \frac{3x^2}{3} = x^2, stemmer
  4. bruk fundamentalteoremet: ∫14x2 dx=F(4)−F(1)=433−133=643−13\int_1^4 x^2\, dx = F(4) - F(1) = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{1}{3}. Integralet er 633=21\frac{63}{3} = 21.
Fra antiderivert til bestemt integral
StegUttrykk
AntiderivertF(x) = x³/3
F(4)643\frac{64}{3}
F(1)13\frac{1}{3}
F(4) − F(1)21
Alternativ forklaring/metode: Anslå integralet med en sum av smale rektangler

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Numerisk tilnærming med rektangler

Uten fundamentalteoremet kan du ANSLÅ ∫14x2 dx\int_1^4 x^2\, dx ved å dele intervallet [1,4][1,4] inn i mange smale rektangler, regne f(x)f(x) i hvert delintervall, og summere rektangelarealene. Med nok rektangler nærmer summen seg 2121. Denne metoden (grunnlaget for selve definisjonen av det bestemte integralet) er upraktisk å gjøre for hånd, men viser HVORFOR fundamental- teoremet er en så stor forenkling. Det gjør en uendelig summeringsprosess om til to innsettinger.

Numerisk tilnærming
Antall rektanglerTilnærming
FåGrovt anslag
MangeNærmer seg 21

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva krever analysens fundamentalteorem at du finner FØRST?

Vis fasit
  1. Fundamentalteoremet bruker F(b)-F(a)
  2. du må først finne en antiderivert F(x)
Første steg
StegKrav
Første stegFinn antiderivert F(x)

L-22Finn antideriverten til f(x)=x3f(x) = x^3.

Vis fasit
  1. Potensregelen baklengs: legg til 1 i eksponenten (3
  2. 4), del på den nye eksponenten
  3. F(x) = x⁴/4
Finn antideriverten
f(x)F(x)
x³x⁴/4

L-23Hvorfor trenger du ikke konstanten CC ved et BESTEMT integral?

Vis fasit
  1. F(b)+C−(F(a)+C)F(b)+C - (F(a)+C)
  2. C-leddene kansellerer hverandre
Hvorfor C forsvinner
UttrykkResultat
(F(b)+C) − (F(a)+C)C kansellerer
Middels(3)

M-21Finn antideriverten til f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1.

Vis fasit
  1. Antideriver hvert ledd: x² gir x³/3, 1 gir x
  2. F(x) = x³/3 + x
Finn antideriverten
f(x)F(x)
x² + 1x³/3 + x

M-22Bruk fundamentalteoremet til å finne ∫03x2 dx\int_0^3 x^2\, dx.

Vis fasit
  1. F(x)=x³/3
  2. F(3)-F(0) = 273\frac{27}{3} - 0 = 9
Bruk fundamentalteoremet
F(3)F(0)Integral
909

M-23Bruk fundamentalteoremet til å finne ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2+1)\, dx. Oppgi svaret som brøk.

Vis fasit
  1. Fra x=0 til x=2, antideriverte F(x)=x³/3+x
  2. F(2)-F(0) = (83\frac{8}{3}+2) - 0 = 143\frac{14}{3}, altså ca. 4,67
Bruk fundamentalteoremet
F(2)F(0)Integral
143\frac{14}{3}0ca. 4,67
Vanskelig(3)

V-21Bruk fundamentalteoremet til å finne ∫12x3 dx\int_1^2 x^3\, dx. Oppgi svaret som brøk.

Vis fasit
  1. Fra x=1 til x=2, antideriverte F(x)=x⁴/4
  2. F(2)-F(1) = 164\frac{16}{4} - 14\frac{1}{4} = 154\frac{15}{4}, altså 3,75
Bruk fundamentalteoremet
F(2)F(1)Integral
414\frac{1}{4}3,75

V-22Fundamentalteoremet gir ∫12x3 dx=[x44]12=154\int_1^2 x^3\, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_1^2 = \frac{15}{4}. Kontroller antiderivert ved å derivere F(x)=x44F(x) = \frac{x^4}{4} og sjekke at du får f(x)=x3f(x) = x^3 tilbake.

Vis fasit
  1. Deriver x⁴/4: potensregelen gir 4⋅x34\frac{4 \cdot x^3}{4}
  2. x³, stemmer med f(x)
Kontroller ved derivasjon
F(x)F'(x)
x⁴/4x³

V-23Forklar med egne ord hvorfor fundamentalteoremet gjør en bestemt integral-utregning enklere enn å summere uendelig mange smale rektangler.

Vis fasit
  1. Rektangelsummering krever uendelig mange ledd
  2. fundamentalteoremet reduserer dette til F(b) minus F(a), to enkle innsettinger
Hvorfor fundamentalteoremet er enklere
MetodeAntall steg
RektangelsummeringUendelig mange
FundamentalteoremetTo (F(b), F(a))