Analysens fundamentalteorem

Analysens fundamentalteorem kobler INTEGRASJON til DERIVASJON: finn en ANTIDERIVERT $F(x)$ til $f(x)$ (altså en funksjon der $F'(x) = f(x)$ ), og da er $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ . Dette gjør bestemte integraler til et RASKT regnestykke i stedet for en geometrisk arealutregning – spesielt nyttig for krumme grafer der arealformler ikke finnes.

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)$

Antiderivert (potensregelen baklengs)

$\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Antiderivert med potensregelen
Funksjon f(x)	Antiderivert F(x)
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$x^2$	$\frac{x^3}{3}$

Tips

Antiderivasjon er potensregelen for derivasjon BAKLENGS: legg til $1$ i eksponenten, og del på den NYE eksponenten – motsatt rekkefølge av å derivere.
Ved et BESTEMT integral trenger du ikke konstanten $C$ – den kansellerer alltid når du regner $F(b) - F(a)$ , siden $C$ er den samme i begge.

Eksempel: Bruke fundamentalteoremet på en krum graf

Finn $\int_1^4 x^2\, dx$ ved hjelp av analysens fundamentalteorem.

Fra antiderivert til bestemt integral
Steg	Uttrykk
Antiderivert	F(x) = x³/3
F(4)	$\frac{64}{3}$
F(1)	$\frac{1}{3}$
F(4) − F(1)	21

Løsning:

Vi trenger en antiderivert $F(x)$ der $F'(x) = x^2$
bruk potensregelen baklengs: $F(x) = \frac{x^3}{3}$
sjekk: $F'(x) = \frac{3x^2}{3} = x^2$ , stemmer
bruk fundamentalteoremet: $\int_1^4 x^2\, dx = F(4) - F(1) = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{1}{3}$ . Integralet er $\frac{63}{3} = 21$ .

Alternativ forklaring/metode: Anslå integralet med en sum av smale rektangler

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Numerisk tilnærming med rektangler

Uten fundamentalteoremet kan du ANSLÅ $\int_1^4 x^2\, dx$ ved å dele intervallet $[1,4]$ inn i mange smale rektangler, regne $f(x)$ i hvert delintervall, og summere rektangelarealene. Med nok rektangler nærmer summen seg $21$ . Denne metoden (grunnlaget for selve definisjonen av det bestemte integralet) er upraktisk å gjøre for hånd, men viser HVORFOR fundamental- teoremet er en så stor forenkling – det gjør en uendelig summeringsprosess om til to innsettinger.

Numerisk tilnærming
Antall rektangler	Tilnærming
Få	Grovt anslag
Mange	Nærmer seg 21

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva krever analysens fundamentalteorem at du finner FØRST?

Vis fasit

Første steg
Steg	Krav
Første steg	Finn antiderivert F(x)

Fundamentalteoremet bruker F(b)-F(a)
du må først finne en antiderivert F(x)

L-22Finn antideriverten til

f(x) = x^3

Vis fasit

Finn antideriverten
f(x)	F(x)
x³	x⁴/4

Potensregelen baklengs: legg til 1 i eksponenten (3
4), del på den nye eksponenten
F(x) = x⁴/4

L-23Hvorfor trenger du ikke konstanten

C

ved et BESTEMT integral?

Vis fasit

Hvorfor C forsvinner
Uttrykk	Resultat
(F(b)+C) − (F(a)+C)	C kansellerer

F(b)+C minus (F(a)+C)
C-leddene kansellerer hverandre

Middels(3)

M-21Finn antideriverten til

f(x) = x^2 + 1

Vis fasit

Finn antideriverten
f(x)	F(x)
x² + 1	x³/3 + x

Antideriver hvert ledd: x² gir x³/3, 1 gir x
F(x) = x³/3 + x

M-22Bruk fundamentalteoremet til å finne

\int_0^3 x^2\, dx

Vis fasit

Bruk fundamentalteoremet
F(3)	F(0)	Integral
9	0	9

F(x)=x³/3
F(3)-F(0) = $\frac{27}{3}$ - 0 = 9

M-23Bruk fundamentalteoremet til å finne $\int_0^2 (x^2+1)\, dx$ .

Vis fasit

Bruk fundamentalteoremet
F(2)	F(0)	Integral
$\frac{14}{3}$	0	ca. 4,67

Fra x=0 til x=2, antideriverte F(x)=x³/3+x
F(2)-F(0) = ( $\frac{8}{3}$ +2) - 0 = $\frac{14}{3}$ , altså ca. 4,67

Vanskelig(3)

V-21Bruk fundamentalteoremet til å finne $\int_1^2 x^3\, dx$ .

Vis fasit

Bruk fundamentalteoremet
F(2)	F(1)	Integral
4	$\frac{1}{4}$	3,75

Fra x=1 til x=2, antideriverte F(x)=x⁴/4
F(2)-F(1) = $\frac{16}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{15}{4}$ , altså 3,75

V-22Kontroller svaret i forrige oppgave ved å derivere $F(x) = \frac{x^4}{4}$ og sjekke at du får $f(x) = x^3$ tilbake.

Vis fasit

Kontroller ved derivasjon
F(x)	F'(x)
x⁴/4	x³

Deriver x⁴/4: potensregelen gir 4 gange x³ delt på 4
x³, stemmer med f(x)

V-23Forklar med egne ord hvorfor fundamentalteoremet gjør en bestemt integral-utregning enklere enn å summere uendelig mange smale rektangler.

Vis fasit

Hvorfor fundamentalteoremet er enklere
Metode	Antall steg
Rektangelsummering	Uendelig mange
Fundamentalteoremet	To (F(b), F(a))

Rektangelsummering krever uendelig mange ledd
fundamentalteoremet reduserer dette til F(b) minus F(a), to enkle innsettinger