Anvende integralet til å analysere funksjoner

Kjenner du en VEKSTRATE (som en hastighet eller en kostnadsrate), gir det bestemte integralet av raten den TOTALE ENDRINGEN over intervallet. Er $v(t)$ hastigheten til et objekt, gir $\int_a^b v(t)\, dt$ den totale TILBAKELAGTE STREKNINGEN fra tidspunkt $a$ til $b$ – integralet «legger sammen» alle de små endringene til én total.

Total endring fra en rate

$\text{total endring} = \int_a^b \text{rate}(x)\, dx$

Fra rate til total endring
Rate (funksjon)	Integral gir
Hastighet v(t)	Total strekning
Kostnadsrate K'(x)	Total kostnadsendring

Tips

Sjekk ALLTID hva funksjonen du integrerer FAKTISK representerer (en rate, en tetthet) – integralet av en RATE gir en TOTAL STØRRELSE, en helt annen type størrelse enn raten selv.
Total endring fra et integral sier ingenting om hvordan endringen fordelte seg UNDERVEIS i intervallet – bare selve sluttresultatet.

Eksempel: Finne total strekning fra en hastighetsfunksjon

Et objekts hastighet er gitt ved $v(t) = 3t^2 + 2$ (i m/s), der $t$ er tid i sekunder. Finn den totale tilbakelagte strekningen fra $t=0$ til $t=4$ .

Fra hastighet til total strekning
Steg	Uttrykk
Antiderivert	F(t) = t³ + 2t
F(4)	64 + 8 = 72
F(0)	0
Total strekning	72 m

Løsning:

Vi skal finne den totale strekningen, som er integralet av hastigheten: $\int_0^4 (3t^2 + 2)\, dt$
finn antideriverten: $F(t) = t^3 + 2t$ (siden $F'(t) = 3t^2 + 2 = v(t)$ )
bruk fundamentalteoremet: $F(4) - F(0) = (4^3 + 2 \cdot 4) - (0 + 0) = (64 + 8) - 0$ . Den totale strekningen er $72$ m.

Alternativ forklaring/metode: Regn total strekning i to deler og summer

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Dele opp tidsintervallet i mindre biter

I stedet for å integrere hele intervallet $[0,4]$ på én gang, del det i to: $\int_0^2 (3t^2+2)\, dt = 12$ og $\int_2^4 (3t^2+2)\, dt = 60$ , og summer: $12 + 60 = 72$ – samme svar. Dette illustrerer en generell egenskap ved bestemte integraler: du kan alltid dele opp intervallet i biter og summere delintegralene, nyttig når du for eksempel vil vite strekningen i EN bestemt del av reisen, ikke bare totalen.

Del opp og summer
Intervall	Integral
[0, 2]	12
[2, 4]	60
Sum	72

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva gir det bestemte integralet av en HASTIGHETSFUNKSJON $v(t)$ ?

Vis fasit

Fra rate til total
Rate	Integral gir
Hastighet v(t)	Total strekning

Integralet av en rate gir den totale mengden
total tilbakelagt strekning

L-32En hastighet er konstant

v(t) = 5

m/s. Hva er strekningen fra

t=0

til

t=10

Vis fasit

Finn strekningen
Hastighet	Tid	Strekning
5 m/s	10 s	50 m

Konstant hastighet 5 m/s i 10 s
5 gange 10 = 50 m

L-33Hva slags størrelse (rate eller total) er

K'(x)

, den deriverte av en kostnadsfunksjon?

Vis fasit

Rate eller total?
Størrelse	Type
K'(x)	Rate (grensekostnad)

Den deriverte av en total kostnadsfunksjon gir
en rate (kostnad per ekstra enhet)

Middels(3)

M-31En hastighet er

v(t) = 2t

(m/s). Finn total strekning fra

t=0

til

t=5

Vis fasit

Finn total strekning
F(5)	F(0)	Strekning
25	0	25 m

Fra t=0 til t=5, antiderivert F(t)=t²
F(5)-F(0) = 25 - 0 = 25 m

M-32En kostnadsrate er

K'(x) = 2x + 5

(kr per enhet). Finn total kostnadsendring fra

x=0

til

x=10

Vis fasit

Finn kostnadsendringen
F(10)	F(0)	Kostnadsendring
150	0	150 kr

Antiderivert F(x)=x²+5x
F(10)-F(0) = (100+50) - 0 = 150 kr

M-33Bruk oppdelingsmetoden: regn

\int_0^2 v(t)\, dt

\int_2^4 v(t)\, dt

for

v(t) = 3t^2+2

, og sjekk at de summerer til

72

Vis fasit

Sjekk oppdelingen
Intervall	Integral
[0, 2]	12
[2, 4]	60
Sum	72

F(t)=t³+2t
F(2)-F(0)=12
F(4)-F(2)=60
12+60=72, stemmer

Vanskelig(3)

V-31Et objekts hastighet er

v(t) = t^2 + 1

(m/s). Finn total strekning fra

t=0

til

t=3

Vis fasit

Finn total strekning
F(3)	F(0)	Strekning
12	0	12 m

Antiderivert F(t)=t³/3+t
F(3)-F(0) = (9+3) - 0 = 12 m

V-32En bedrifts grensekostnad (kostnadsrate) er

K'(x) = 4x

kr per enhet. Finn den totale kostnadsøkningen når produksjonen økes fra

x=5

til

x=10

enheter.

Vis fasit

Finn kostnadsøkningen
F(10)	F(5)	Kostnadsøkning
200	50	150 kr

Fra x=5 til x=10, antiderivert F(x)=2x²
F(10)-F(5) = 200 - 50 = 150 kr

V-33Hvorfor forteller totalstrekningen

\int_0^4 v(t)\, dt = 72

m INGENTING om hvor RASKT objektet beveget seg midt i intervallet (som ved

t=2

Vis fasit

Total sier ingenting om underveis
Spørsmål	Krever
Total strekning	Integralet
Hastighet ved ett tidspunkt	v(t) direkte, ikke integralet

72 m er SUMMEN av all bevegelse i intervallet
selve fordelingen underveis krever v(t) direkte, ikke bare totalintegralet