Integralet som grenseverdi av en sum

Del intervallet $[a, b]$ inn i $n$ like brede rektangler, hver med bredde $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ . Summer AREALET av alle rektanglene. Dette kalles en RIEMANN-SUM, og gir en TILNÆRMING til arealet under grafen. Jo FLERE (og smalere) rektangler du bruker, jo bedre blir tilnærmingen. Det bestemte integralet er DEFINERT som grenseverdien av denne summen når $n \to \infty$ : $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$ .

Riemann-sum

$\sum_{i=1}^n f(x_i)\, \Delta x$

Det bestemte integralet som grenseverdi

$\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$

Riemann-sum for f(x)=x² på [0,2], høyre endepunkt
Antall rektangler n	Riemann-sum
4	3,75
10	3,08
100	2,7068, nærmer seg $\frac{8}{3}$ ≈ 2,6667

Tips

Bruker du HØYRE endepunkt i hvert delintervall for en VOKSENDE funksjon, overvurderer Riemann-summen arealet. Den inkluderer «for mye» i hvert rektangel. Venstre endepunkt gir da en undervurdering.
Jo flere rektangler ( $n$ større), jo mindre blir bredden $\Delta x$ på hvert, og jo nærmere kommer summen den eksakte verdien. Dette ER selve ideen bak grenseverdien.

Eksempel: Beregne en Riemann-sum for hånd

Del intervallet $[0, 2]$ inn i $n = 4$ like brede rektangler for $f(x) = x^2$ , bruk høyre endepunkt i hvert delintervall, og regn ut Riemann-summen.

Løsning:

Bredden på hvert rektangel er $\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0{,}5$
høyre endepunktene blir $x_1=0{,}5$ , $x_2=1$ , $x_3=1{,}5$ , $x_4=2$
arealene blir $f(0{,}5) \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$ , $f(1) \cdot 0{,}5 = 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5$ , $f(1{,}5) \cdot 0{,}5 = 2{,}25 \cdot 0{,}5 = 1{,}125$ , $f(2) \cdot 0{,}5 = 4 \cdot 0{,}5 = 2$
summer alle fire: $0{,}125 + 0{,}5 + 1{,}125 + 2 = 3{,}75$ . Riemann-summen med $n=4$ er $3{,}75$ : en overvurdering av det eksakte integralet $\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ .

De fire rektanglene
x-verdi	f(x)	Areal (· 0,5)
0,5	0,25	0,125
1	1	0,5
1,5	2,25	1,125
2	4	2

Alternativ forklaring/metode: Sammenlign med en undervurdering

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke venstre endepunkt i stedet

Bruker du i stedet VENSTRE endepunkt i hvert delintervall ( $x_0=0$ , $x_1=0{,}5$ , $x_2=1$ , $x_3=1{,}5$ ), blir summen $0 + 0{,}125 + 0{,}5 + 1{,}125 = 1{,}75$ : en UNDERVURdering, siden $f(x)=x^2$ er voksende og venstre endepunkt gir den LAVESTE verdien i hvert delintervall. Det virkelige integralet ( $\approx 2{,}67$ ) ligger et sted MELLOM disse to tilnærmingene ( $1{,}75$ og $3{,}75$ ): en nyttig sjekk på at svaret er rimelig.

Venstre vs. høyre endepunkt
Endepunkt	Riemann-sum
Venstre	1,75 (undervurdering)
Høyre	3,75 (overvurdering)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva kalles summen av arealene til rektangler brukt til å tilnærme et bestemt integral?

Vis fasit

Summen av rektangel-arealer har et eget navn
en Riemann-sum

Navnet på summen
Begrep	Betydning
Sum av rektangelarealer	En Riemann-sum

L-12Hva skjer med Riemann-summens nøyaktighet når antall rektangler $n$ øker?

Vis fasit

Flere, smalere rektangler følger grafen tettere
nøyaktigheten øker med flere rektangler

Nøyaktighet og antall rektangler
n	Nøyaktighet
Øker	Øker

L-13For $f(x)=x^2$ på $[0,2]$ med $n=4$ rektangler: hva er bredden $\Delta x$ på hvert rektangel?

Vis fasit

Δx =

\frac{2-0}{4} =

0,5

Finn bredden
Intervall	n	Δx
[0, 2]	4	0,5

Middels(3)

M-11Del $[0, 4]$ inn i $n = 4$ rektangler for $f(x) = x$ , bruk høyre endepunkt, og regn ut Riemann-summen.

Vis fasit

Δx = $\frac{4-0}{4} = 1$ , høyre endepunkter er 1, 2, 3 og 4
summen = 1+2+3+4 (hver gange Δx=1) = 10

Regn ut Riemann-summen
n	Riemann-sum
4	10

M-12Del $[0, 4]$ inn i $n = 4$ rektangler for $f(x) = x$ og bruk høyre endepunkt. Riemann-summen blir $10$ , og det eksakte integralet er $\int_0^4 x\,dx = 8$ . Er Riemann-summen en over- eller undervurdering?

Vis fasit

Riemann-summen 10 er større enn det eksakte svaret 8
en overvurdering, siden f(x)=x er voksende og høyre endepunkt gir høyeste verdi

Over- eller undervurdering?
Riemann-sum	Eksakt integral	Vurdering
10	8	Overvurdering

M-13Del $[0, 4]$ inn i $n = 8$ rektangler for $f(x) = x$ i stedet, bruk høyre endepunkt. Er denne summen nærmere det eksakte svaret $8$ enn summen med $n=4$ ?

Vis fasit

Med n=8 er Δx=0,5, og summen blir 9
9 er nærmere 8 enn 10 var, som bekrefter at flere rektangler gir bedre tilnærming

Flere rektangler, bedre tilnærming
n	Riemann-sum
4	10
8	9 – nærmere 8

Vanskelig(3)

V-11Del $[0, 3]$ inn i $n = 3$ rektangler for $f(x) = x^2$ , bruk høyre endepunkt, og regn ut Riemann-summen.

Vis fasit

Δx=1, høyre endepunkter 1,2,3
f(1)+f(2)+f(3), hver gange Δx=1
1+4+9 = 14

Regn ut Riemann-summen
n	Riemann-sum
3	14

V-12Del

[0, 3]

inn i

n = 3

rektangler for

f(x) = x^2

og bruk høyre endepunkt. Riemann-summen blir

14

, og det eksakte integralet er

\int_0^3 x^2\,dx = 9

. Hvor stort er avviket, og hvorfor er avviket relativt stort med bare

n=3

Vis fasit

14 - 9 = 5
et lite antall rektangler (n=3) gir brede, unøyaktige rektangler

Finn avviket
Riemann-sum	Eksakt integral	Avvik
14	9	5

V-13Forklar med egne ord hvorfor grenseverdien $\lim_{n \to \infty}$ er nødvendig i definisjonen av det bestemte integralet, og ikke bare «et stort antall rektangler».

Vis fasit

Ethvert endelig n gir fortsatt en tilnærming, uansett hvor stor n er
kun grenseverdien når n går mot uendelig definerer integralet eksakt, uten noe gjenværende avvik

Hvorfor grenseverdien er nødvendig
n	Type resultat
Endelig	Tilnærming
n → ∞	Eksakt verdi