Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

Hvis $f$ er kontinuerlig på $[a,b]$ og $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ for $x$ i $[a,b]$, så er $F$ deriverbar og $F'(x) = f(x)$ (analysens fundamentalteorem).

1. Sett $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ inn i differansekvotienten, og bruk oppdelingsregelen fra forutsetningene til å skrive om telleren – de to integralene fra $a$ til $x$ kansellerer hverandre:
   $F(x+h)-F(x) = \left(\int_a^x f(t)\,dt + \int_x^{x+h} f(t)\,dt\right) - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$
2. Differansekvotienten blir dermed gjennomsnittsverdien av $f$ over det lille intervallet $[x, x+h]$:
   $\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt$
3. La $m_h$ og $M_h$ være den minste og den største verdien $f$ har på $[x, x+h]$ (disse finnes siden $f$ er kontinuerlig på et lukket intervall). Arealet under grafen på dette intervallet ligger mellom arealet av det laveste og det høyeste rektangelet med bredde $h$:
   $m_h \cdot h \le \int_x^{x+h} f(t)\,dt \le M_h \cdot h$
4. Del alle tre leddene på $h$ (lovlig for $h > 0$):
   $m_h \le \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt \le M_h$
5. Når $h \to 0$, krymper intervallet $[x, x+h]$ til selve punktet $x$. Siden $f$ er kontinuerlig, går da BÅDE $m_h$ og $M_h$ mot $f(x)$ – minste og største verdi på et intervall som krymper til ett punkt, må begge nærme seg funksjonsverdien i akkurat det punktet. Uttrykket i midten er «klemt» mellom to grenser som begge går mot $f(x)$, så det må selv gå mot $f(x)$ (klem-prinsippet):
   $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(x)$

$F'(x) = f(x)$ ∎