NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Regn ut integralet

∫−11(x3+x2) dx\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+x^2)\,dx.

Hva forteller svaret deg?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut et bestemt integral, og deretter tolke hva RESULTATET forteller om funksjonen som integreres – ikke bare levere et tall, men forklare hvorfor svaret ble akkurat slik.

Strategi og formel: Del integralet i to ledd og integrer hvert for seg. Legg merke til at x3x^3 er en ODDE funksjon (symmetrisk om origo med motsatt fortegn), som gir null bidrag over et symmetrisk intervall [−1,1][-1,1], mens x2x^2 er en JEVN funksjon som gir et positivt bidrag.

Trinnvis utregning:

  1. ∫−11(x3+x2) dx=[x44+x33]−11\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}
  2. =(14+13)−(14−13)=14+13−14+13=23=\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\right)-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
  3. Legg merke til at x4x^4-leddet (fra x3x^3-integralet) er en JEVN funksjon og gir SAMME verdi ved x=1x=1 og x=−1x=-1, slik at det kanselleres helt i differansen – dette er nettopp fordi x3x^3 selv er en ODDE funksjon, og integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall er alltid null.
  4. Hele svaret 23\frac{2}{3} kommer derfor kun fra x2x^2-leddet: 2∫01x2 dx=2⋅13=232\int_0^1x^2\,dx=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Svar: Integralet er 23\dfrac{2}{3}. Svaret forteller at hele bidraget kommer fra x2x^2-leddet, siden x3x^3 er en odde funksjon som gir null netto bidrag over det symmetriske intervallet [−1,1][-1,1].

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Finner riktig antiderivert, setter inn grensene riktig og får 23\frac{2}{3}, OG gir en presis tolkning som kobler resultatet til at x3x^3-bidraget kanselleres pga. odde symmetri over det symmetriske intervallet.
2/4Finner riktig svar 23\frac{2}{3} ved korrekt utregning, men tolkningen i andre del av oppgaven er vag eller mangler helt (f.eks. bare 'svaret er arealet', uten å nevne symmetriargumentet).
0/4Gjør en fortegnsfeil ved innsetting av x=−1x=-1 (glemmer at (−1)4=1(-1)^4=1 men (−1)3=−1(-1)^3=-1), som gir feil sluttsvar.

Sensor-tips

  • Denne oppgaven tester ikke bare regneferdighet, men FORSTÅELSE av hva et bestemt integral betyr – en elev som kun regner mekanisk uten å kommentere symmetrien har ikke svart fullstendig på spørsmålet 'hva forteller svaret deg'.
  • En rask sjekk uten full utregning: siden x3x^3 er odde, kan eleven med fordel forutsi at svaret blir 2∫01x2 dx2\int_0^1x^2\,dx FØR den fulle utregningen gjøres – dette er en verdifull kontrollstrategi å fremheve i sensorveiledningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Regn ut integralene

a) ∫01(2ex+2x2) dx\displaystyle\int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx

b) ∫2x−1x2−x−6 dx\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi regne ut et bestemt integral av en sum av en eksponentialfunksjon og en potensfunksjon. I b) skal vi integrere en rasjonal funksjon der telleren ikke er den deriverte av nevneren direkte – delbrøksoppspalting er nødvendig.

Strategi og formel: a) Integrer hvert ledd for seg og sett inn grensene. b) Faktoriser nevneren, spalt brøken i delbrøker med ukjente konstanter i telleren, og integrer hver delbrøk for seg (gir logaritmer).

Trinnvis utregning:

  1. a) ∫01(2ex+2x2) dx=[2ex+2x33]01=(2e+23)−(2+0)=2e−43≈4,10\displaystyle\int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx=\left[2e^x+\dfrac{2x^3}{3}\right]_0^1=\left(2e+\dfrac{2}{3}\right)-(2+0)=2e-\dfrac{4}{3}\approx 4{,}10. b) Nevneren faktoriseres: x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2-x-6=(x-3)(x+2). Delbrøksoppspalting: 2x−1(x−3)(x+2)=Ax−3+Bx+2\dfrac{2x-1}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+2}. 2x−1=A(x+2)+B(x−3)2x-1=A(x+2)+B(x-3). Ved x=3x=3: 5=5A5=5A
  2. A=1A=1. Ved x=−2x=-2: −5=−5B-5=-5B
  3. B=1B=1. ∫(1x−3+1x+2)dx=ln⁡∣x−3∣+ln⁡∣x+2∣+C=ln⁡∣x2−x−6∣+C\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2}\right)dx=\ln|x-3|+\ln|x+2|+C=\ln|x^2-x-6|+C.

Svar: a) ∫01(2ex+2x2) dx=\displaystyle\int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx=2e−43≈4,102e-\dfrac{4}{3}\approx 4{,}10. b) ∫2x−1x2−x−6 dx=\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx=ln⁡∣x2−x−6∣+C\ln|x^2-x-6|+C

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Finner riktig antiderivert og riktig tallsvar 2e−432e-\frac{4}{3} i a), og gjennomfører i b) en korrekt delbrøksoppspalting med riktige konstanter A=1A=1, B=1B=1, og integrerer riktig til ln⁡∣x−3∣+ln⁡∣x+2∣+C\ln|x-3|+\ln|x+2|+C (eller ekvivalent ln⁡∣x2−x−6∣+C\ln|x^2-x-6|+C).
2/4Riktig i a), men i b) faktoriseres nevneren riktig, men delbrøkskonstantene regnes feil ut (f.eks. bytter om AA og BB, som likevel her gir samme sluttsvar siden A=B=1A=B=1 – men metoden bør vises riktig).
0/4Prøver i b) å integrere direkte uten delbrøksoppspalting, og lander på et uttrykk som ikke er en gyldig antiderivert av den opprinnelige brøken.

Sensor-tips

  • I dette spesialtilfellet er A=B=1A=B=1, som gjør at ln⁡∣x−3∣+ln⁡∣x+2∣\ln|x-3|+\ln|x+2| kan skrives kompakt som ln⁡∣(x−3)(x+2)∣=ln⁡∣x2−x−6∣\ln|(x-3)(x+2)|=\ln|x^2-x-6| – begge former er fullgode svar, sensor bør akseptere begge.
  • Sjekk at eleven faktisk BEKREFTER delbrøkskonstantene (f.eks. ved innsetting av spesifikke xx-verdier som x=3x=3 og x=−2x=-2 som eliminerer én av de ukjente), ikke bare postulerer svaret uten synlig utregning.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 1