NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Regn ut integralet

∫−11(x3+x2) dx\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+x^2)\,dx.

Hva forteller svaret deg?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut et bestemt integral, og deretter tolke hva RESULTATET forteller om funksjonen som integreres. Ikke bare levere et tall, men forklare hvorfor svaret ble akkurat slik.

Strategi og formel: Del integralet i to ledd og integrer hvert for seg. Legg merke til at x3x^3 er en ODDE funksjon (symmetrisk om origo med motsatt fortegn), som gir null bidrag over et symmetrisk intervall [−1,1][-1,1], mens x2x^2 er en JEVN funksjon som gir et positivt bidrag.

Trinnvis utregning:

  1. ∫−11(x3+x2) dx=[x44+x33]−11\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}
  2. =(14+13)−(14−13)=14+13−14+13=23=\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\right)-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
  3. Legg merke til at x4x^4-leddet (fra x3x^3-integralet) er en JEVN funksjon og gir SAMME verdi ved x=1x=1 og x=−1x=-1, slik at det kanselleres helt i differansen – dette er nettopp fordi x3x^3 selv er en ODDE funksjon, og integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall er alltid null.
  4. Hele svaret 23\frac{2}{3} kommer derfor kun fra x2x^2-leddet: 2∫01x2 dx=2⋅13=232\int_0^1x^2\,dx=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Svar: Integralet er 23\dfrac{2}{3}. Svaret forteller at hele bidraget kommer fra x2x^2-leddet, siden x3x^3 er en odde funksjon som gir null netto bidrag over det symmetriske intervallet [−1,1][-1,1].

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Finner riktig antiderivert, setter inn grensene riktig og får 23\frac{2}{3}, OG gir en presis tolkning som kobler resultatet til at x3x^3-bidraget kanselleres pga. odde symmetri over det symmetriske intervallet.
2/4Finner riktig svar 23\frac{2}{3} ved korrekt utregning, men tolkningen i andre del av oppgaven er vag eller mangler helt (f.eks. bare 'svaret er arealet', uten å nevne symmetriargumentet).
0/4Gjør en fortegnsfeil ved innsetting av x=−1x=-1 (glemmer at (−1)4=1(-1)^4=1 men (−1)3=−1(-1)^3=-1), som gir feil sluttsvar.

Sensor-tips

  • Denne oppgaven tester ikke bare regneferdighet, men FORSTÅELSE av hva et bestemt integral betyr: en elev som kun regner mekanisk uten å kommentere symmetrien har ikke svart fullstendig på spørsmålet 'hva forteller svaret deg'.
  • En rask sjekk uten full utregning: siden x3x^3 er odde, kan eleven med fordel forutsi at svaret blir 2∫01x2 dx2\int_0^1x^2\,dx FØR den fulle utregningen gjøres. Dette er en verdifull kontrollstrategi å fremheve i sensorveiledningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Regn ut integralene

a) ∫01(2ex+2x2) dx\displaystyle\int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx

b) ∫2x−1x2−x−6 dx\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi regne ut et bestemt integral av en sum av en eksponentialfunksjon og en potensfunksjon. I b) skal vi integrere en rasjonal funksjon der telleren ikke er den deriverte av nevneren direkte: delbrøksoppspalting er nødvendig.

Strategi og formel: a) Integrer hvert ledd for seg og sett inn grensene. b) Faktoriser nevneren, spalt brøken i delbrøker med ukjente konstanter i telleren, og integrer hver delbrøk for seg (gir logaritmer).

Trinnvis utregning:

  1. a) ∫01(2ex+2x2) dx=[2ex+2x33]01=(2e+23)−(2+0)=2e−43≈4,10\displaystyle\int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx=\left[2e^x+\dfrac{2x^3}{3}\right]_0^1=\left(2e+\dfrac{2}{3}\right)-(2+0)=2e-\dfrac{4}{3}\approx 4{,}10. b) Nevneren faktoriseres: x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2-x-6=(x-3)(x+2). Delbrøksoppspalting: 2x−1(x−3)(x+2)=Ax−3+Bx+2\dfrac{2x-1}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+2}. 2x−1=A(x+2)+B(x−3)2x-1=A(x+2)+B(x-3). Ved x=3x=3: 5=5A5=5A
  2. A=1A=1. Ved x=−2x=-2: −5=−5B-5=-5B
  3. B=1B=1. ∫(1x−3+1x+2)dx=ln⁡∣x−3∣+ln⁡∣x+2∣+C=ln⁡∣x2−x−6∣+C\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+2}\right)dx=\ln|x-3|+\ln|x+2|+C=\ln|x^2-x-6|+C.

Svar: a) ∫01(2ex+2x2) dx=\displaystyle\int_0^1(2e^x+2x^2)\,dx=2e−43≈4,102e-\dfrac{4}{3}\approx 4{,}10. b) ∫2x−1x2−x−6 dx=\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx=ln⁡∣x2−x−6∣+C\ln|x^2-x-6|+C

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Finner riktig antiderivert og riktig tallsvar 2e−432e-\frac{4}{3} i a), og gjennomfører i b) en korrekt delbrøksoppspalting med riktige konstanter A=1A=1, B=1B=1, og integrerer riktig til ln⁡∣x−3∣+ln⁡∣x+2∣+C\ln|x-3|+\ln|x+2|+C (eller ekvivalent ln⁡∣x2−x−6∣+C\ln|x^2-x-6|+C).
2/4Riktig i a), men i b) faktoriseres nevneren riktig, men delbrøkskonstantene regnes feil ut (f.eks. bytter om AA og BB, som likevel her gir samme sluttsvar siden A=B=1A=B=1 – men metoden bør vises riktig).
0/4Prøver i b) å integrere direkte uten delbrøksoppspalting, og lander på et uttrykk som ikke er en gyldig antiderivert av den opprinnelige brøken.

Sensor-tips

  • I dette spesialtilfellet er A=B=1A=B=1, som gjør at ln⁡∣x−3∣+ln⁡∣x+2∣\ln|x-3|+\ln|x+2| kan skrives kompakt som ln⁡∣(x−3)(x+2)∣=ln⁡∣x2−x−6∣\ln|(x-3)(x+2)|=\ln|x^2-x-6|. Begge former er fullgode svar, sensor bør akseptere begge.
  • Sjekk at eleven faktisk BEKREFTER delbrøkskonstantene (f.eks. ved innsetting av spesifikke xx-verdier som x=3x=3 og x=−2x=-2 som eliminerer én av de ukjente), ikke bare postulerer svaret uten synlig utregning.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 1