NumiSum

Parabelens form og toppunkt

Er aa positiv, vender parabelen opp og har et BUNNPUNKT. Er aa negativ, vender den ned og har et TOPPUNKT. Parabelen er symmetrisk om en loddrett linje gjennom dette punktet, og denne symmetrilinjen ligger alltid i x=−b2ax = -\frac{b}{2a}. Setter du den xx-verdien inn i funksjonen, får du yy-verdien til topp- eller bunnpunktet.

Symmetrilinje

x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

xy-112345-22468(2, -1)
f(x) = x² - 4x + 3

Tips

  • Fortegnet på aa alene forteller om parabelen vender opp eller ned – du trenger ikke tegne for å vite det.
  • Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene, når det finnes to. Det er en rask kontroll av symmetrilinjen.

Eksempel: Finne bunnpunktet

Finn bunnpunktet til f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3.

Verditabell rundt bunnpunktet
xf(x)
03
10
2-1
30
43
Løsning:
  1. Vi leser av koeffisientene: a=1a = 1, b=−4b = -4, c=3c = 3
  2. aa er positiv, så parabelen vender opp og har et bunnpunkt
  3. finn symmetrilinjen: x=−b2a=−−42=2x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2
  4. sett x=2x = 2 inn i funksjonen: f(2)=4−8+3=−1f(2) = 4 - 8 + 3 = -1. Bunnpunktet er (2,−1)(2, -1).
Alternativ forklaring/metode: Bruk symmetrien i stedet for formelen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Midtpunkt mellom nullpunktene

Har funksjonen to nullpunkter, ligger symmetrilinjen nøyaktig midt mellom dem. For f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 er nullpunktene 11 og 33, og midt imellom er 1+32=2\frac{1+3}{2} = 2 – samme svar som formelen gir. Metoden krever at du kjenner nullpunktene, men er rask og gjør symmetrien synlig i stedet for å skjule den bak en formel.

xy-112345-22468(2, -1)
f(x) = x² - 4x + 3, symmetrilinje midt mellom 1 og 3
Alternativ forklaring/metode: Deriver og sett lik null

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

Derivasjonsmetoden

Forutsetninger:

  • Den deriverte og potensregelen (temaet «Derivasjon», som kommer SENERE i 1T-progresjonen enn dette temaet) – ikke pensum ennå på dette punktet, tatt med som en forhåndsvisning av en metode du møter igjen.

Dette er en forhåndsvisning, ikke en metode du forventes å kunne ennå: toppunktet eller bunnpunktet er der stigningstallet til grafen er null – og stigningstallet i ethvert punkt er nettopp den DERIVERTE, som du lærer om senere i temaet Derivasjon. Deriver funksjonen, sett f′(x)=0f'(x) = 0, og løs for xx. For f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3: f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 → sett lik null: 2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 → sett x=2x = 2 inn i den opprinnelige funksjonen: f(2)=4−8+3=−1f(2) = 4 - 8 + 3 = -1. Bunnpunktet er (2,−1)(2, -1), samme svar som symmetrilinjeformelen gir – når du når temaet Derivasjon, kom gjerne tilbake hit og se hvordan de to metodene henger sammen.

Derivasjonsmetoden på x² - 4x + 3
StegUttrykk
Deriverf′(x)=2x−4f'(x)=2x-4
Sett lik null2x−4=02x-4=0
Løs for xx=2x=2
Sett inn i f(x)f(2)=−1f(2)=-1

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Vender parabelen til f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x opp eller ned?

Vis fasit
BeregningResultat
f(x)x² + 2x
a1 er positiv
parabelen vender opp
  1. f(x) = x² + 2x
  2. a = 1 er positiv
  3. parabelen vender opp

L-12Vender parabelen til f(x)=−x2+3f(x) = -x^2 + 3 opp eller ned?

Vis fasit
BeregningResultat
f(x)-x² + 3
a-1 er negativ
parabelen vender ned
  1. f(x) = -x² + 3
  2. a = -1 er negativ
  3. parabelen vender ned

L-13Finn symmetrilinjen til f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5.

Vis fasit
BeregningResultat
a = 1, b-6
x = -(-6)/(2*1)x = 3
  1. a = 1, b = -6
  2. x = -(-6)/(2*1) = x = 3
Middels(3)

M-11Finn bunnpunktet til f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x.

Vis fasit
BeregningResultat
a = 1, b-2
x=22=1x = \frac{2}{2} = 1
f(1) = 1 - 2-1
(1, -1)
  1. a = 1, b = -2
  2. x=22=1x = \frac{2}{2} = 1
  3. f(1) = 1 - 2 = -1
  4. (1, -1)

M-12Finn toppunktet til f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x.

Vis fasit
BeregningResultat
a = -1, b4
x = -4/(-2)2
f(2) = -4 + 84
(2, 4)
  1. a = -1, b = 4
  2. x = -4/(-2) = 2
  3. f(2) = -4 + 8 = 4
  4. (2, 4)

M-13Nullpunktene er 2 og 8. Hvor er symmetrilinjen?

Vis fasit
BeregningResultat
Midt mellom 2 og 8
(2 + 8)/2x = 5
  1. Midt mellom 2 og 8
  2. (2 + 8)/2 = x = 5
Vanskelig(3)

V-11Finn bunnpunktet til f(x)=2x2−8x+1f(x) = 2x^2 - 8x + 1.

Vis fasit
BeregningResultat
a = 2, b-8
x=84=2x = \frac{8}{4} = 2
f(2) = 8 - 16 + 1-7
(2, -7)
  1. a = 2, b = -8
  2. x=84=2x = \frac{8}{4} = 2
  3. f(2) = 8 - 16 + 1 = -7
  4. (2, -7)

V-12Hvorfor ligger toppunktet alltid midt mellom nullpunktene?

Vis fasit
BeregningResultat
Nullpunktene ligger like langt fra symmetrilinjen på hver side
midtpunktet deres ER symmetrilinjen
  1. Nullpunktene ligger like langt fra symmetrilinjen på hver side
  2. midtpunktet deres ER symmetrilinjen

V-13Hva er minste verdi f(x)=x2+6x+10f(x) = x^2 + 6x + 10 kan ha?

Vis fasit
BeregningResultat
a = 1, b6
x-3
f(-3) = 9 - 18 + 101, som er bunnpunktets y-verdi
  1. a = 1, b = 6
  2. x = -3
  3. f(-3) = 9 - 18 + 10 = 1, som er bunnpunktets y-verdi