NumiSum

Nullpunkter og faktorisering

Nullpunktene til f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c er akkurat løsningene på likningen ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. Og motsatt: kjenner du nullpunktene x1x_1 og x2x_2, kan funksjonen skrives faktorisert som f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2). Denne formen gjør nullpunktene synlige med én gang, og er derfor ofte den mest nyttige å skrive funksjonen på.

Faktorisert form

f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

Tips

  • Faktorisert form viser nullpunktene direkte, mens ax2+bx+cax^2+bx+c viser yy-skjæringen direkte (cc). Velg formen etter hva du er ute etter.
  • Husk aa foran parentesene. f(x)=2x2−8f(x) = 2x^2 - 8 har nullpunkter ±2\pm 2, men faktorisert er den 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2), ikke (x−2)(x+2)(x-2)(x+2).
  • Kjenner du kvadratsetningene (fra algebraiske-uttrykk/1T) igjen et uttrykk på formen x2−a2x^2-a^2, går faktoriseringen enda raskere: konjugatsetningen gir direkte x2−a2=(x−a)(x+a)x^2-a^2=(x-a)(x+a), uten å måtte lete etter nullpunktene først. f(x)=x2−16f(x)=x^2-16 under er nettopp et slikt tilfelle.
  • Sjekk konstantleddet mot produktet av nullpunktene. For f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) er yy-skjæringen f(0)=a⋅x1⋅x2f(0) = a \cdot x_1 \cdot x_2 (med fortegn). For (x+1)(x−4)(x+1)(x-4) blir det 1⋅1⋅(−4)=−41 \cdot 1 \cdot (-4) = -4, som stemmer med konstantleddet −4-4 i den utgangne formen. En rask kontroll som fanger de fleste fortegnsfeil i faktoriseringen.

Eksempel: Fra nullpunkter til faktorisert form

En andregradsfunksjon har a=1a = 1 og nullpunkter i x=−1x = -1 og x=4x = 4. Skriv den på faktorisert form og gang ut.

Løsning:
  1. Vi setter inn i formelen f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) med a=1a = 1, x1=−1x_1 = -1 og x2=4x_2 = 4
  2. f(x)=(x−(−1))(x−4)=(x+1)(x−4)f(x) = (x - (-1))(x - 4) = (x + 1)(x - 4)
  3. gang ut for å få standardformen: x⋅x−4x+x−4=x2−3x−4x \cdot x - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4. Funksjonen er f(x)=(x+1)(x−4)=x2−3x−4f(x) = (x+1)(x-4) = x^2 - 3x - 4.
Kontroll av nullpunktene
x(x+1)(x-4)f(x)
-10 * (-5)0
01 * (-4)-4
45 * 00

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Les av nullpunktene til f(x)=(x−2)(x−6)f(x) = (x - 2)(x - 6).

Vis fasit
  1. (x - 2)(x - 6) = 0
  2. hver faktor lik null
  3. x = 2 og x = 6

L-22Skriv funksjonen med a=1a = 1 og nullpunkter 00 og 55 på faktorisert form.

Vis fasit
  1. a(x - x₁)(x - x₂) med x₁ = 0, x₂ = 5
  2. f(x) = x(x - 5)

L-23Finn nullpunktene til f(x)=x2−16f(x) = x^2 - 16.

Vis fasit
  1. x² - 16 = 0
  2. (x+4)(x-4) = 0 (her er a = 1)
  3. x = 4 og x = -4
Middels(3)

M-21Gang ut f(x)=(x−1)(x−3)f(x) = (x - 1)(x - 3).

Vis fasit
  1. (x - 1)(x - 3)
  2. x² - 3x - x + 3 = x² - 4x + 3

M-22Skriv f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 på faktorisert form.

Vis fasit
  1. a = 1
  2. x² - 5x + 6 = 0
  3. nullpunkt 2 og 3
  4. a(x - x₁)(x - x₂) med a = 1
  5. (x - 2)(x - 3)

M-23Hvor krysser f(x)=(x+1)(x−4)f(x) = (x + 1)(x - 4) y-aksen?

Vis fasit
  1. f(x) = (x + 1)(x - 4), her er a = 1, sett x = 0
  2. (0 + 1)(0 - 4) = 1 * (-4) = -4
Vanskelig(3)

V-21Skriv funksjonen med a=2a = 2 og nullpunkter −2-2 og 22 på faktorisert form.

Vis fasit
  1. a(x - x₁)(x - x₂) med a = 2
  2. f(x) = 2(x + 2)(x - 2)

V-22Hvor mange nullpunkter har f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1?

Vis fasit
  1. x² + 1 = 0
  2. x² = -1
  3. ingen reell løsning
  4. 0 nullpunkter, grafen treffer ikke x-aksen

V-23En parabel har bare ETT nullpunkt, i x=3x = 3, og a=1a = 1. Skriv funksjonen.

Vis fasit
  1. Nullpunkt x = 3 med a = 1
  2. ett nullpunkt betyr dobbel rot, x₁ = x₂ = 3
  3. f(x) = (x - 3)²