Nullpunkter og faktorisering

Nullpunktene til $f(x) = ax^2 + bx + c$ er akkurat løsningene på likningen $ax^2 + bx + c = 0$ . Og motsatt: kjenner du nullpunktene $x_1$ og $x_2$ , kan funksjonen skrives faktorisert som $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Denne formen gjør nullpunktene synlige med én gang, og er derfor ofte den mest nyttige å skrive funksjonen på.

Faktorisert form

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

Tips

Faktorisert form viser nullpunktene direkte, mens $ax^2+bx+c$ viser $y$ -skjæringen direkte ( $c$ ). Velg formen etter hva du er ute etter.
Husk $a$ foran parentesene. $f(x) = 2x^2 - 8$ har nullpunkter $\pm 2$ , men faktorisert er den $2(x-2)(x+2)$ , ikke $(x-2)(x+2)$ .
Kjenner du kvadratsetningene (fra algebraiske-uttrykk/1T) igjen et uttrykk på formen $x^2-a^2$ , går faktoriseringen enda raskere: konjugatsetningen gir direkte $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ , uten å måtte lete etter nullpunktene først. $f(x)=x^2-16$ under er nettopp et slikt tilfelle.

Eksempel: Fra nullpunkter til faktorisert form

En andregradsfunksjon har $a = 1$ og nullpunkter i $x = -1$ og $x = 4$ . Skriv den på faktorisert form og gang ut.

Kontroll av nullpunktene
x	(x+1)(x-4)	f(x)
-1	0 * (-5)	0
0	1 * (-4)	-4
4	5 * 0	0

Løsning:

Vi setter inn i formelen $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ med $a = 1$ , $x_1 = -1$ og $x_2 = 4$
$f(x) = (x - (-1))(x - 4) = (x + 1)(x - 4)$
gang ut for å få standardformen: $x \cdot x - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4$ . Funksjonen er $f(x) = (x+1)(x-4) = x^2 - 3x - 4$ .

Alternativ forklaring/metode: Sjekk konstantleddet mot produktet av nullpunktene

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kontroll via y-skjæring

For $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ er $y$ -skjæringen $f(0) = a \cdot x_1 \cdot x_2$ (med fortegn). For $(x+1)(x-4)$ blir det $1 \cdot 1 \cdot (-4) = -4$ , som stemmer med konstantleddet $-4$ i den utgangne formen. En rask kontroll som fanger de fleste fortegnsfeil i faktoriseringen.

Kontroll for (x+1)(x-4)
Steg	Verdi
Nullpunkter	x₁ = -1, x₂ = 4
a · x₁ · x₂	1 · (-1) · 4 = -4
Konstantledd i utgangnet uttrykk	-4

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Les av nullpunktene til $f(x) = (x - 2)(x - 6)$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
(x - 2)(x - 6)	0
hver faktor lik null
x = 2 og x = 6

(x - 2)(x - 6) = 0
hver faktor lik null
x = 2 og x = 6

L-22Skriv funksjonen med

a = 1

og nullpunkter

0

5

på faktorisert form.

Vis fasit

Beregning	Resultat
a(x - x₁)(x - x₂) med x₁ = 0, x₂	5
f(x) = x(x - 5)

a(x - x₁)(x - x₂) med x₁ = 0, x₂ = 5
f(x) = x(x - 5)

L-23Finn nullpunktene til

f(x) = x^2 - 16

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 16	0
(x+4)(x-4)	0
x = 4 og x = -4

x² - 16 = 0
(x+4)(x-4) = 0
x = 4 og x = -4

Middels(3)

M-21Gang ut

f(x) = (x - 1)(x - 3)

Vis fasit

Beregning	Resultat
(x - 1)(x - 3)
x² - 3x - x + 3	x² - 4x + 3

(x - 1)(x - 3)
x² - 3x - x + 3 = x² - 4x + 3

M-22Skriv

f(x) = x^2 - 5x + 6

på faktorisert form.

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 5x + 6	0
nullpunkt 2 og 3
(x - 2)(x - 3)

x² - 5x + 6 = 0
nullpunkt 2 og 3
(x - 2)(x - 3)

M-23Hvor krysser

f(x) = (x + 1)(x - 4)

y-aksen?

Vis fasit

Beregning	Resultat
f(x) = (x + 1)(x - 4), sett x	0
(0 + 1)(0 - 4) = 1 * (-4)	-4

f(x) = (x + 1)(x - 4), sett x = 0
(0 + 1)(0 - 4) = 1 * (-4) = -4

Vanskelig(3)

V-21Skriv funksjonen med

a = 2

og nullpunkter

-2

2

på faktorisert form.

Vis fasit

Beregning	Resultat
a(x - x₁)(x - x₂) med a	2
f(x) = 2(x + 2)(x - 2)

a(x - x₁)(x - x₂) med a = 2
f(x) = 2(x + 2)(x - 2)

V-22Hvor mange nullpunkter har

f(x) = x^2 + 1

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² + 1	0
x²	-1
ingen reell løsning
0 nullpunkter, grafen treffer ikke x-aksen

x² + 1 = 0
x² = -1
ingen reell løsning
0 nullpunkter, grafen treffer ikke x-aksen

V-23En parabel har bare ETT nullpunkt, i

x = 3

, og

a = 1

. Skriv funksjonen.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nullpunkt x = 3 med a	1
ett nullpunkt betyr dobbel rot, x₁ = x₂	3
f(x) = (x - 3)²

Nullpunkt x = 3 med a = 1
ett nullpunkt betyr dobbel rot, x₁ = x₂ = 3
f(x) = (x - 3)²