Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For $f(x) = ax^2 + bx + c$ med $a \neq 0$ er grafen symmetrisk om den loddrette linja $x = -\frac{b}{2a}$, og dette er nøyaktig der funksjonen har sitt topp- eller bunnpunkt.

1. Kall den påståtte symmetrilinja $h = -\frac{b}{2a}$. Legg merke til én ting om dette tallet, som vi får bruk for hele veien: ganger vi det med $2a$ og legger til $b$, får vi null.
   $2ah + b = 2a \cdot \left(-\frac{b}{2a}\right) + b = -b + b = 0$
2. Vi skal vise at grafen har samme høyde like langt til hver side av $h$. Ta derfor en vilkårlig avstand $t$, og regn ut funksjonsverdien i punktet $h + t$. Gang ut med første kvadratsetning:
   $f(h+t) = a(h+t)^2 + b(h+t) + c = ah^2 + 2aht + at^2 + bh + bt + c$
3. Samle de to leddene som inneholder $t$ i første potens, og sett $t$ utenfor en parentes:
   $f(h+t) = \underbrace{ah^2 + bh + c}_{= \; f(h)} + at^2 + t(2ah + b)$
4. Men vi så i første steg at $2ah + b = 0$. Hele det siste leddet faller derfor bort:
   $f(h+t) = f(h) + at^2$
5. Regner vi på samme måte for punktet $h - t$, får vi $(-t)^2 = t^2$ og $-t(2ah+b) = 0$ – altså nøyaktig det samme svaret:
   $f(h-t) = f(h) + at^2 = f(h+t)$
6. Funksjonsverdien er altså den samme i avstand $t$ på hver side av $h$, uansett hvilken $t$ vi velger. Det er nettopp det å være symmetrisk om linja $x = h$ betyr.
7. Samme likning gir også ekstremalpunktet: siden $t^2 \geq 0$ alltid, er $at^2$ aldri negativ når $a > 0$. Da er $f(h+t) \geq f(h)$ for alle $t$, så $f$ er minst i $x = h$ (bunnpunkt). Er $a < 0$, er $at^2$ aldri positiv, og $f$ er størst i $x = h$ (toppunkt).
   $f(h+t) - f(h) = at^2$

Symmetrilinja (og topp-/bunnpunktets $x$-verdi) er $x = -\frac{b}{2a}$ ∎