NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2011, Del 1 – Oppgave 14

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Skriv så enkelt som mulig:

  • a) 2(b+4a)−(b+a)2(b + 4a) - (b + a)
  • b) 4a2−2a2a\frac{4a^2 - 2a}{2a}
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forenkle to algebraiske uttrykk så langt det går.

Strategi og formel: I a) bruker vi den distributive loven på parentesen, fjerner parentesen med minus foran (som snur fortegnet på leddene inni), og samler like ledd til slutt. I b) deler vi HVERT ledd i telleren på nevneren 2a2a hver for seg.

Trinnvis utregning:

  1. a) 2(b+4a)−(b+a)2(b+4a) - (b+a)
  2. distribuer: 2b+8a−(b+a)2b + 8a - (b+a)
  3. fjern parentes med minus foran (snur fortegn): 2b+8a−b−a2b + 8a - b - a
  4. samle like ledd: (2b−b)+(8a−a)=b+7a(2b-b) + (8a-a) = b + 7a
  5. b) 4a2−2a2a\frac{4a^2 - 2a}{2a}
  6. del hvert ledd på 2a2a: 4a22a−2a2a\frac{4a^2}{2a} - \frac{2a}{2a}
  7. 4a22a=2a\frac{4a^2}{2a} = 2a og 2a2a=1\frac{2a}{2a} = 1
  8. 2a−12a - 1

Svar: a) 7a+b7a + b b) 2a−12a - 1

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)
PoengKrav
2/2Begge uttrykkene er riktig forenklet (a = 7a + b, b = 2a − 1), med vist mellomregning.
1/2Ett av uttrykkene er riktig forenklet, eller begge har riktig metode med en tegn-/regnefeil underveis.
0/2Ingen av uttrykkene er riktig forenklet, eller ingen fremgangsmåte er vist.

Sensor-tips

  • Den vanligste feilen i a) er å glemme at minustegnet foran parentesen snur fortegnet på BÅDE b og a, ikke bare b.
  • I b) er det en vanlig felle å bare dele det FØRSTE leddet (4a24a^2) på 2a2a og glemme det andre leddet (−2a-2a).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2011, Del 1, Oppgave 14

Utdanningsdirektoratet

Vår 2012, Del 1 – Oppgave 9

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Skriv så enkelt som mulig:

  • a) 4a−(a+2a)4a - (a + 2a)
  • b) x2y+xy2xy\frac{x^2y + xy^2}{xy}
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forenkle to algebraiske uttrykk så langt det går.

Strategi og formel: I a) regner vi ut innholdet i parentesen først, og fjerner deretter parentesen med minus foran. I b) deler vi HVERT ledd i telleren på nevneren xyxy hver for seg: samme prinsipp som å dele et tallutrykk med flere ledd på en fellesnevner.

Trinnvis utregning:

  1. a) 4a−(a+2a)4a - (a+2a)
  2. regn ut i parentesen: a+2a=3aa + 2a = 3a
  3. 4a−3a=a4a - 3a = a
  4. b) x2y+xy2xy\frac{x^2y + xy^2}{xy}
  5. del hvert ledd på xyxy: x2yxy+xy2xy\frac{x^2y}{xy} + \frac{xy^2}{xy}
  6. x2yxy=x\frac{x^2y}{xy} = x og xy2xy=y\frac{xy^2}{xy} = y
  7. x+yx + y

Svar: a) aa b) x+yx + y

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)
PoengKrav
2/2Begge uttrykkene er riktig forenklet (a = a, b = x + y), med vist mellomregning.
1/2Ett av uttrykkene er riktig forenklet, eller begge har riktig metode med en regnefeil underveis.
0/2Ingen av uttrykkene er riktig forenklet, eller ingen fremgangsmåte er vist.

Sensor-tips

  • I b) er det lett å tro at xx og yy må «forkortes bort» på en mer komplisert måte, men samme termvise divisjons-regel som med tall gjelder også med to variabler i hvert ledd.
  • Sjekk svaret ved å sette inn tall, f.eks. x=2,y=3x=2, y=3: opprinnelig uttrykk gir 4⋅3+2⋅96=306=5\frac{4\cdot3+2\cdot9}{6}=\frac{30}{6}=5, og x+y=5x+y=5: stemmer.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2012, Del 1, Oppgave 9

Utdanningsdirektoratet

Høst 2013, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 3 poeng

Vi kan regne ut varmemengden som forsvinner ut gjennom et glassvindu, med formelen nedenfor.

V = 10{,}5 \cdot A \cdot T \cdot (I - U)

  • VV: varmemengden målt i kilojoule (kJ)
  • AA: arealet av vinduet målt i kvadratmeter (m2^2)
  • TT: antall timer som målingen varer
  • II: gjennomsnittstemperatur inne målt i celsiusgrader (°C)
  • UU: gjennomsnittstemperatur ute målt i celsiusgrader (°C)

Et døgn var gjennomsnittstemperaturen inne 20 °C og gjennomsnittstemperaturen ute 1 °C.

  • a) Hvor stor varmemengde VV forsvant ut gjennom glassvinduet dette døgnet?

  • b) Hva betyr det i praksis at verdien til VV blir negativ?

0,80 m1,10 m
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sette tallene inn i formelen for å finne varmemengden, og tolke hva et negativt svar betyr.

Strategi og formel: Vi finner arealet av vinduet, setter inn T=24T = 24 timer, I=20I = 20 og U=1U = 1, og regner ut. I b) tenker vi på hva det betyr at I−UI - U blir negativ.

Trinnvis utregning:

  1. a) areal: A=0,80⋅1,10=0,88A = 0{,}80 \cdot 1{,}10 = 0{,}88 m2^2
  2. et døgn er T=24T = 24 timer
  3. V=10,5⋅0,88⋅24⋅(20−1)V = 10{,}5 \cdot 0{,}88 \cdot 24 \cdot (20 - 1)
  4. V=10,5⋅0,88⋅24⋅19=4 213,44V = 10{,}5 \cdot 0{,}88 \cdot 24 \cdot 19 = 4\ 213{,}44 kJ
  5. b) VV er negativ når I−U<0I - U < 0, altså når U>IU > I

Svar: a) Det forsvant ca. 4 2134\ 213 kJ ut gjennom vinduet. b) Når VV er negativ, er det varmere ute enn inne, og varme kommer inn i rommet i stedet for å forsvinne ut.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)
PoengKrav
3/3a) ca. 4 213 kJ med riktig areal og innsetting, og b) forklart riktig.
2/3a) riktig og b) feil eller mangler, eller små feil i a) og b) riktig.
1/3Riktig areal eller riktig innsetting i formelen, men ellers feil.
0/3Ingen riktige deler.

Sensor-tips

  • Husk at et døgn er 24 timer. Det er den vanligste feilen i a).
  • Det er I−UI - U som avgjør fortegnet: er det varmere ute enn inne, blir VV negativ.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Høst 2013, Del 2, Oppgave 4