Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 3 poeng

Du har fått tilbud om jobb hos tre ulike bedrifter. Bedriftene har ulike måter å regne ut lønn på.

Bedrift	Fast månedslønn	Tillegg ved reiseoppdrag
A	32 000 kroner	20 000 kroner
B	63 000 kroner	16 000 kroner
C	75 000 kroner	8 000 kroner

a) Bestem årslønnen din hos hver av bedriftene dersom du får tre reiseoppdrag i løpet av året.

Du forventer å ha like mange reiseoppdrag hos hver av de tre bedriftene.

b) Hvor mange reiseoppdrag må du ha i løpet av ett år for at du skal få best lønn i bedrift A, for at du skal få best lønn i bedrift B, og for at du skal få best lønn i bedrift C?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut årslønnen ved 3 reiseoppdrag hos alle tre bedriftene (a), og finne hvilke antall reiseoppdrag som gjør hver av de tre bedriftene til den beste (høyeste lønn) (b).

Strategi og formel: Årslønn $= 12 \cdot \text{fast månedslønn} + \text{tillegg} \cdot n$ , der $n$ er antall reiseoppdrag. For b): sett opp de tre uttrykkene og finn skjæringspunktene mellom dem parvis – siden A har det STØRSTE tillegget per oppdrag, vil A til slutt bli størst hvis $n$ blir stor nok, selv om A starter lavest.

Trinnvis utregning:

a) A: $32\ 000 \cdot 12 + 20\ 000 \cdot 3 = 384\ 000 + 60\ 000 = 444\ 000$ kr
B: $63\ 000 \cdot 12 + 16\ 000 \cdot 3 = 756\ 000 + 48\ 000 = 804\ 000$ kr
C: $75\ 000 \cdot 12 + 8\ 000 \cdot 3 = 900\ 000 + 24\ 000 = 924\ 000$ kr
b) $B(n)=C(n)$ : $756\ 000+16\ 000n = 900\ 000+8\ 000n \Rightarrow n=18$
$A(n)=B(n)$ : $384\ 000+20\ 000n = 756\ 000+16\ 000n \Rightarrow n=93$
for $n<18$ er C størst, for $18<n<93$ er B størst, for $n>93$ er A størst

Svar: a) Med tre reiseoppdrag: A gir 444 000 kr, B gir 804 000 kr, C gir 924 000 kr – bedrift C gir best lønn. b) Bedrift C gir best lønn ved færre enn 18 oppdrag, bedrift B ved mellom 18 og 93 oppdrag, og bedrift A gir best lønn ved flere enn 93 oppdrag i året.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Riktig årslønn for alle tre bedriftene i a), OG riktig identifisering av alle tre intervallene i b) (C best for lave n, B best i midten, A best for høye n) med skjæringspunktene $n=18$ og $n=93$ vist.
1–2/3	Riktig a), men i b) finnes bare ETT av de to skjæringspunktene, eller rekkefølgen på hvilken bedrift som er best i hvert intervall er byttet om.
0/3	Antar at bedriften med høyest fast lønn (C) alltid er best, uten å undersøke hva som skjer når antall reiseoppdrag øker.

Sensor-tips

Denne oppgaven fanger en vanlig feilslutning: at bedriften som er best ved ETT antall oppdrag (her: C, ved 3 oppdrag) automatisk er best ved ALLE antall – be eleven eksplisitt sette opp alle tre lønnsuttrykkene som funksjoner av $n$ og sammenligne STIGNINGSTALLENE, ikke bare ett enkelt tilfelle.
Godta at eleven løser b) grafisk (tegner de tre linjene og leser av skjæringspunktene) i stedet for algebraisk, så lenge skjæringspunktene og konklusjonen om hvilken bedrift som er best i hvert intervall, er riktige.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 5 poeng

I en by koster det 1 200 kroner for en 30-dagersbillett med buss. Du kan ta bussen så mange ganger du ønsker i denne perioden.

Siri har kjøpt en 30-dagersbillett og lurer på hva prisen per busstur blir dersom hun bruker billetten 4, 8, 20 eller 30 ganger.

a) Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn tallene som mangler.

Antall bussturer: 4, 8, 20, 30. Pris per busstur: ?

b) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall bussturer og prisen per busstur.

En enkeltbillett med buss koster 80 kroner.

c) Vis grafisk hvor mange ganger Siri må ta bussen for at det skal lønne seg å kjøpe en 30-dagersbillett i stedet for enkeltbilletter.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal fylle ut prisen per busstur for fire ulike antall turer (a), illustrere sammenhengen med en graf (b), og finne hvor mange turer som skal til før 30-dagersbilletten er lønnsom sammenlignet med å kjøpe enkeltbilletter (c).

Strategi og formel: Pris per tur er $\frac{1 200}{n}$ , der $n$ er antall turer – en omvendt proporsjonal sammenheng. For c): 30-dagersbilletten lønner seg når prisen per tur blir LAVERE enn enkeltbillettprisen (80 kr), altså når $\frac{1 200}{n} < 80$ .

Trinnvis utregning:

a) $n=4$ : $\frac{1 200}{4}=300$ kr
$n=8$ : $\frac{1 200}{8}=150$ kr
$n=20$ : $\frac{1 200}{20}=60$ kr
$n=30$ : $\frac{1 200}{30}=40$ kr
c) $\frac{1 200}{n}=80 \Rightarrow n = 15$
for $n>15$ er $\frac{1 200}{n}<80$ , altså lønner 30-dagersbilletten seg fra og med 16 turer

Svar: a) Prisen per tur er 300 kr, 150 kr, 60 kr og 40 kr ved henholdsvis 4, 8, 20 og 30 turer. b) Grafen er en avtagende hyperbel-kurve ( $y=\frac{1 200}{x}$ ). c) Fra og med 16 bussturer lønner det seg å ha kjøpt 30-dagersbilletten.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
4–5/5	Riktig utfylt tabell i a), en graf i b) som viser riktig avtagende, ikke-lineær form, OG riktig grense (mellom 15 og 16 turer) funnet grafisk eller algebraisk i c).
2–3/5	Riktig tabell i a), men grafen i b) er tegnet som en rett linje i stedet for en hyperbel, eller c) mangler en tydelig grafisk begrunnelse selv om svaret (16) er riktig.
0–1/5	Feil i flere av tabellverdiene i a), eller c) løses uten noen kobling til grafen fra b) (oppgaven ber eksplisitt om en GRAFISK løsning).

Sensor-tips

Oppgaven ber eksplisitt om at c) vises GRAFISK – en elev som kun regner algebraisk (uten å vise det på/med grafen fra b, f.eks. ved å markere linjen $y=80$ og skjæringspunktet) har ikke fullt ut svart på det som etterspørres.
Vær oppmerksom på at svaret er 16, ikke 15 – ved nøyaktig 15 turer er prisen per tur akkurat 80 kr (samme som enkeltbillett, ingen besparelse), så billetten lønner seg først fra og med det 16. gangen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 6