Regneregler for potenser og logaritmer

Logaritmen $\log(a)$ svarer på spørsmålet « $10$ opphøyd i hvilken eksponent gir $a$ ?». Den er altså den OMVENDTE operasjonen av å opphøye $10$ i en potens. Logaritmer har regneregler som speiler potensreglene: en PRODUKT blir en SUM ( $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ ), en KVOTIENT blir en DIFFERANSE, og en POTENS blir en MULTIPLIKASJON foran logaritmen. Disse reglene gjør logaritmiske skalaer (som Richterskalaen) nyttige: en ENKEL addisjon eller subtraksjon i den logaritmiske skalaen svarer til å GANGE eller DELE den underliggende størrelsen.

Produktregelen

$\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)$

Kvotientregelen

$\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$

Potensregelen for logaritmer

$\log(a^n) = n \cdot \log(a)$

Logaritme-regler
Regel	Uttrykk
Produkt	log(a·b) = log(a) + log(b)
Kvotient	log(a/b) = log(a) − log(b)
Potens	log(aⁿ) = n · log(a)
Spesialtilfeller	log(1) = 0, log(10) = 1

Tips

Husk potensreglene fra tidligere: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ . Logaritme-reglene er den SPEILVENDTE versjonen av disse.
$\log(10) = 1$ og $\log(1) = 0$ er verdt å pugge – de dukker opp igjen og igjen som sjekkpunkter i utregninger.

Eksempel: Richterskalaen – en logaritmisk skala

Richterskalaen for jordskjelv er logaritmisk: hvert helt trinn oppover tilsvarer $10$ ganger så stor bakkerystelse. Hvor mange ganger sterkere er et jordskjelv på styrke $6$ enn et på styrke $3$ ?

Fra skalatrinn til faktor
Størrelse	Verdi
Styrkeforskjell	6 − 3 = 3 trinn
Faktor per trinn	10
Samlet faktor	10³ = 1 000 ganger

Løsning:

Forskjellen mellom styrke $6$ og styrke $3$ er $6 - 3 = 3$ hele trinn på skalaen
siden hvert trinn tilsvarer en faktor $10$ i rystelse, tilsvarer $3$ trinn en faktor $10^3$
$10^3 = 1\ 000$ . Jordskjelvet på styrke $6$ er $1\ 000$ ganger sterkere enn jordskjelvet på styrke $3$ .

Alternativ forklaring/metode: Se den samme logaritmiske ideen i en annen skala

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Lydstyrke i desibel

Lydnivå måles ofte i desibel med formelen $L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , der $I_0$ er en referanse- intensitet. Er lydintensiteten $I$ nøyaktig $100$ ganger $I_0$ , blir lydnivået $L = 10 \cdot \log(100) = 10 \cdot 2 = 20$ dB. Samme prinsipp som Richterskalaen: en logaritmisk skala gjør at enorme forskjeller i den underliggende størrelsen (her: lyd- intensitet) kan beskrives med små, håndterlige tall.

Richterskalaen og desibel-skalaen
Skala	Faktor pr. trinn
Richterskala	10 (jordskjelvstyrke)
Desibel-skala	10 gange intensitet gir +10 dB

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Forenkle $5^2 \cdot 5^3$ til én potens.

Vis fasit

Forenkle 5²·5³
Steg	Uttrykk
Samme grunntall	5
Legg sammen eksponentene	2 + 3
Resultat	5⁵

Samme grunntall, legg sammen eksponentene: 2 + 3 = 5⁵

L-12Hva er

\log(100)

Vis fasit

Verdien av log(100)
Steg	Uttrykk
100 = 10^?	10²
log(100)	2

100 = 10²
log(100) er eksponenten
2

L-13Hva er

\log(1)

Vis fasit

Verdien av log(1)
Steg	Uttrykk
1 = 10^?	10⁰
log(1)	0

10 opphøyd i 0 er 1
log(1) = 0

Middels(3)

M-11Forenkle

\frac{4^6}{4^4}

til én potens.

Vis fasit

Forenkle 4⁶/4⁴
Steg	Uttrykk
Samme grunntall	4
Trekk fra eksponentene	6 − 4
Resultat	4²

Samme grunntall, trekk fra eksponentene: 6 - 4 = 4²

M-12Bruk produktregelen til å skrive

\log(2) + \log(3)

som én logaritme.

Vis fasit

Slå sammen log(2)+log(3)
Steg	Uttrykk
Regel	Produktregelen
log(2) + log(3)	log(2·3)
Resultat	log(6)

log(2) og log(3): produktregelen sier log(a) + log(b) = log(a·b)
2 gange 3 = log(6)

M-13Bruk potensregelen for logaritmer til å skrive

2\log(3)

som én logaritme.

Vis fasit

Slå sammen 2·log(3)
Steg	Uttrykk
Regel	Potensregelen
2·log(3)	log(3²)
Resultat	log(9)

2 log(3): potensregelen sier n · log(a) = log(aⁿ)
3 opphøyd i 2 = log(9)

Vanskelig(3)

V-11Hvor mange ganger sterkere er et jordskjelv på styrke

7

enn et på styrke

4

, gitt at hvert trinn er en faktor

10

Vis fasit

Jordskjelv styrke 7 mot styrke 4
Steg	Uttrykk
Styrkeforskjell	7 − 4 = 3 trinn
Faktor per trinn	10
Samlet faktor	1 000 ganger

Styrkeforskjell 7 - 4 = 3 trinn
10 opphøyd i 3 = 1 000 ganger

V-12Et jordskjelv er

100

ganger sterkere enn et annet. Hvor mange trinn er det mellom dem på Richterskalaen?

Vis fasit

Trinn fra faktor 100
Steg	Uttrykk
Faktor	100 = 10²
Trinn	2

100 = 10²
faktoren 100 svarer til 2 trinn

V-13Forklar hvorfor logaritme-reglene kalles «speilvendte» versjoner av potensreglene.

Vis fasit

Hvorfor logaritme-regler er speilvendte
Regel	Kobling
Potensregel a^m·a^n=a^(m+n)	Multiplikasjon → addisjon av eksponenter
Logaritmeregel log(a·b)=log(a)+log(b)	Multiplikasjon → addisjon, motsatt retning

Potensregel: a^m · a^n = a^(m+n) (multiplikasjon av grunntall gir addisjon av eksponenter)
logaritmeregel: log(a·b) = log(a) + log(b)
begge kobler multiplikasjon til addisjon, bare i motsatt retning