Løse eksponentiallikninger

En eksponentiallikning har den ukjente i EKSPONENTEN, som $5^x = 20$ . Har begge sider SAMME grunntall (eller kan skrives med samme grunntall), kan du sette eksponentene like og løse direkte. Går ikke det, ta LOGARITMEN av begge sider – da kommer $x$ ned fra eksponenten ved hjelp av potensregelen for logaritmer, og du kan løse for $x$ som en vanlig likning.

Løse med logaritme

$a^x = b \Rightarrow x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$

To strategier
Situasjon	Strategi
Samme grunntall mulig (16 = 2⁴)	Sett eksponentene like
Ikke samme grunntall (20 er ikke en 5-potens)	Ta logaritmen av begge sider

Tips

Sjekk ALLTID først om tallet på høyre side kan skrives som en potens av samme grunntall som venstre side ( $16 = 2^4$ ) – da slipper du logaritmer helt.
Ta logaritmen av HELE uttrykket på begge sider av likhetstegnet, ikke bare av tallet – $\log(3 \cdot 2^x)$ er IKKE det samme som $3 \cdot \log(2^x)$ .

Eksempel: Løse en eksponentiallikning med logaritme

Løs likningen $5^x = 20$ for $x$ , avrundet til to desimaler.

Fra eksponentiallikning til x
Steg	Uttrykk
Ta logaritmen	log(5^x) = log(20)
Bruk potensregelen	x · log(5) = log(20)
Del på log(5)	x = log(20) / log(5)
Regn ut	x ≈ 1,86

Løsning:

Vi sjekker om $20$ kan skrives som en potens av $5$ – det kan den ikke, så vi må bruke logaritmer
ta logaritmen av begge sider: $\log(5^x) = \log(20)$
bruk potensregelen for logaritmer på venstre side: $x \cdot \log(5) = \log(20)$
del begge sider på $\log(5)$ : $x = \frac{\log(20)}{\log(5)}$
regn ut: $\log(20) \approx 1,301$ og $\log(5) \approx 0,699$
$x \approx \frac{1,301}{0,699}$ . Løsningen er $x \approx 1,86$ .

Alternativ forklaring/metode: Gjenkjenn når logaritmer ikke er nødvendig

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Løse med samme grunntall der det er mulig

For en likning som $2^x = 16$ trenger du IKKE logaritmer: $16 = 2^4$ , så likningen blir $2^x = 2^4$ , og siden grunntallet er likt på begge sider, må eksponentene være like: $x = 4$ . Denne snarveien er raskere enn å ta logaritmer når høyresiden faktisk ER en potens av grunntallet – sjekk alltid dette FØRST.

Når trengs logaritmer?
Likning	Strategi
2^x = 16 (16=2⁴)	Sett eksponentene like: x = 4
Generell a^x=b (b ikke potens av a)	Ta logaritmen av begge sider

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Løs likningen $2^x = 16$ .

Vis fasit

Løs 2^x=16
Steg	Uttrykk
16 = 2^?	2⁴
Løsning	x = 4

16 = 2⁴, samme grunntall som venstre side
x = 4

L-22Løs likningen

3^x = 81

Vis fasit

Løs 3^x=81
Steg	Uttrykk
81 = 3^?	3⁴
Løsning	x = 4

81 = 3⁴, samme grunntall
x = 4

L-23Hvorfor trenger du IKKE logaritmer for å løse

2^x = 16

Vis fasit

Hvorfor logaritmer ikke er nødvendig her
Situasjon	Grunn
16 = 2⁴	Samme grunntall, eksponentene settes like direkte

16 = 2⁴, samme grunntall på begge sider
eksponentene settes like uten logaritmer

Middels(3)

M-21Løs likningen

2 \cdot 3^x = 54

Vis fasit

Løs 2·3^x=54
Steg	Uttrykk
Del på 2	3^x = 27
27 = 3^?	3³
Løsning	x = 3

Del begge sider på 2: 3^x = 27
27 = 3³
x = 3

M-22Løs likningen

4^x = 64

Vis fasit

Løs 4^x=64
Steg	Uttrykk
64 = 4^?	4³
Løsning	x = 3

64 = 4³, samme grunntall
x = 3

M-23Løs likningen

7^x = 50

, avrundet til to desimaler.

Vis fasit

Løs 7^x=50
Steg	Uttrykk
Ta logaritmen	x = log(50) / log(7)
Løsning	x ≈ 2,01

50 er ikke en potens av 7
ta logaritmen: x = log(50) delt på log(7)
x ≈ 2,01

Vanskelig(3)

V-21Løs likningen

10^x = 250

, avrundet til to desimaler.

Vis fasit

Løs 10^x=250
Steg	Uttrykk
Ta logaritmen	x = log(250) / log(10)
log(10)	1
Løsning	x ≈ 2,40

250 er ikke en enkel potens av 10
x = log(250) delt på log(10)
log(10) = 1
x ≈ 2,40

V-22Kontroller svaret i forrige oppgave: er

10^{2,40}

omtrent lik

250

Vis fasit

Kontroll: er 10^2,40 ≈ 250?
Steg	Uttrykk
10^2,40	≈ 251
Konklusjon	Stemmer godt med 250

10 opphøyd i 2,40 gir omtrent 251
stemmer godt med det avrundede svaret 250

V-23En bakteriekultur følger

N(t) = 100 \cdot 2^t

. Etter hvor mange timer

t

er kulturen

1\ 600

bakterier?

Vis fasit

N(t)=100·2^t, når er N=1 600
Steg	Uttrykk
100·2^t = 1 600	2^t = 16
16 = 2^?	2⁴
Løsning	t = 4 timer

1 600 = 100 · 2^t
del på 100: 2^t = 16
16 = 2⁴
t = 4 timer